Στη μνήμη του Ευτύχη Μπιτσάκη

Βασίλης Λεμπέσης

Η κβαντική μηχανική είναι ίσως η πιο ενδιαφέρουσα και ταυτόχρονα αινιγματική θεωρία της σύγχρονης φυσικής καθώς οι νόμοι της φαίνονται συχνά παράδοξοι σε σχέση με την καθημερινή μας εμπειρία. Δύο από τις πιο γνωστές αλληγορίες που ενσαρκώνουν αυτή την κβαντική παραδοξότητα είναι η γάτα του Schrödinger και η γάτα του Cheshire. Η πρώτη σχετίζεται με την δυνατότητα ενός συστήματος να βρίσκεται σε δύο διαφορετικές καταστάσεις ταυτόχρονα. Η δεύτερη, που οφείλει το όνομά της σε έναν χαρακτήρα από το κλασικό βιβλίο “Η Αλίκη στη Χώρα των Θαυμάτων”, έχει γίνει σύμβολο ενός ακόμα πιο περίεργου κβαντικού φαινομένου: το διαχωρισμό ενός σωματιδίου από τις ιδιότητές του. Στο παρόν άρθρο, θα κάνουμε μια σύντομη αναφορά σε αυτές τις ιδέες και στους τρόπους με τους οποίους έχουν επιδειχθεί σε πειράματα, χρησιμοποιώντας παγιδευμένα ιόντα και φωτόνια σε οπτικές κοιλότητες. Το άρθρο ξεκινά με την παρουσίαση κάποιων βασικών αρχών που χρειάζονται στον αναγνώστη για να κατανοήσει το περιεχόμενο των θεμάτων που θα παρουσιάσουμε.

ΥΠΕΡΘΕΣΗ ΚΒΑΝΤΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΕΤΡΗΣΗ

Η κβαντική φυσική μίλησε εδώ και ένα αιώνα για την διπλή φύση της ύλης η οποία μας παρουσιάζεται πότε με το ένα πρόσωπό της ως σωματίδιο και πότε με το άλλο ως κύμα. Η παραδοχή αυτή άνοιξε τις πύλες ενός παράξενου κόσμου κυριαρχούμενου από φαινόμενα που ήταν εντελώς ανοίκεια στην αντίληψή μας. Ένα από αυτά ήταν η αρχή της υπέρθεσης των καταστάσεων (superposition principle) σύμφωνα με την οποία ένα σύστημα που έχει δύο ή περισσότερες δυνατές καταστάσεις (π.χ. ένας διακόπτης που μπορεί να είναι «ανοικτός» ή «κλειστός») συμπεριφέρεται εντελώς διαφορετικά στην κλασική και στην κβαντική του εκδοχή. Στη μεν κλασική εκδοχή μπορεί να βρίσκεται αποκλειστικά σε μια από τις δύο καταστάσεις, κάτι το οποίο πολύ εύκολα μπορούμε να το αποδεχτούμε. Ένας κβαντικός, όμως, διακόπτης μπορεί να βρίσκεται σε μια κατάσταση που αποτελεί ταυτόχρονα ένα συνδυασμό των δύο δυνατών καταστάσεων. Αν, για παράδειγμα, συμβολίσουμε την «ανοικτή» κατάσταση με |0⟩ και την «κλειστή» με |1⟩ τότε μια ισοπίθανη υπέρθεση αυτών των καταστάσεων συμβολίζεται από την κυματοσυνάρτηση^[1] (wave function):

   

Η υπέρθεση των κβαντικών καταστάσεων, και κυρίως η διατήρησή της, προϋποθέτει μια «απομόνωση» του κβαντικού συστήματος. Αν προσπαθήσουμε να διαταράξουμε αυτήν την «απομόνωση», για παράδειγμα, εκτελώντας μια μέτρηση στο σωματίδιο, αυτό υπονοεί απαραίτητα μια αλληλεπίδραση με τη συσκευή μέτρησης. Ως αποτέλεσμα, το σωματίδιο καταρρέει σε μία από τις δύο πιθανές καταστάσεις του και παραμένει σε αυτήν. Αυτό οφείλεται στο ότι η μέτρηση, στην κβαντομηχανική, είναι μια μη αναστρέψιμη και εντελώς τυχαία διαδικασία. Ένα κβαντικό σύστημα έχει ένα σύνολο αποτελεσμάτων που προβλέπονται από την κατανομή πιθανότητας της κυματοσυνάρτησης. Τα αποτελέσματα είναι ντετερμινιστικά^[2] αλλά όχι προβλέψιμα. Ακόμη πιο ενδιαφέρον είναι πως μετά από μια μέτρηση, ένα κβαντικό σύστημα παραμένει στην μετρούμενη κατάσταση καθώς σύμφωνα με το μετρητικό αξίωμα: οποιαδήποτε και αν είναι η κατάσταση ενός κβαντικού συστήματος πριν από μια μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους, η κατάσταση μετά τη μέτρηση θα περιγραφεί από την ιδιοσυνάρτηση που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή του μεγέθους που μετρήθηκε (Τραχανάς, 2009). Στην κβαντομηχανική αυτό είναι γνωστό με τον όρο κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης (collapse of wavefunction).

Η κατανόηση και η επεξήγηση της υπέρθεσης καταστάσεων είναι αρκετά δύσκολη, ακόμη και για καταξιωμένους φυσικούς, επειδή τα κβαντομηχανικά φαινόμενα έρχονται σε αντίθεση με την καθημερινή μας διαίσθηση. Ένα πολύ επιτυχημένο ανάλογο αυτής της έννοιας παρουσιάστηκε από τον C. R. Monroe και τον βραβευμένο με βραβείο Νόμπελ D. J. Wineland , και απεικονίζεται στην Εικ.1 (Monroe & Wineland, 2008). Στο παράδειγμά τους, οι Monroe και Wineland χρησιμοποιούν ένα φαινόμενο που μας είναι οικείο όταν προσπαθούμε να σχεδιάσουμε έναν κύβο σε ένα κομμάτι χαρτί. Το μάτι μας συνήθως «ξεγελιέται» και δεν μπορεί να ξεχωρίσει ποια πλευρά είναι στο προσκήνιο και ποια πίσω από αυτό. Αυτό είναι ένα ανάλογο της υπέρθεσης δύο κβαντικών καταστάσεων – ο κύβος είναι «αιωρούμενος» μεταξύ δύο διαφορετικών καταστάσεων. Όταν, όμως, προσπαθήσουμε να εστιάσουμε σε μία από τις δύο πλευρές, αυτή η πλευρά «μετακινείται» στο προσκήνιο, αφήνοντας την άλλη στο παρασκήνιο. Αυτό ισοδυναμεί με την εκτέλεση μιας μέτρησης σε ένα κβαντικό σύστημα.

Η ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΣΥΜΠΛΕΞΗ

Το άλλο κβαντικό φαινόμενο που φτάνει τη διαίσθηση και φαντασία μας στα όριά τους είναι η περίφημη κβαντική σύμπλεξη (quantum entanglement). Πρόκειται για ένα φυσικό φαινόμενο που εμφανίζεται όταν δημιουργούνται ή αλληλεπιδρούν μεταξύ τους κβαντικά σωματίδια ή σύνολα κβαντικών σωματιδίων με τέτοιο τρόπο ώστε η κβαντική κατάσταση κάθε σωματιδίου να μην μπορεί να περιγραφεί ανεξάρτητα από την κατάσταση των άλλων σωματιδίων, ακόμη και όταν τα δύο σωματίδια χωρίζονται από πολύ μεγάλες αποστάσεις. Η κατάσταση των σωματιδίων μπορεί να περιγραφεί μόνο ως κατάσταση ενός ενιαίου συστήματος. Αν, για παράδειγμα, έχουμε ένα σύστημα δύο σωματιδίων που μπορούν να βρίσκονται σε δύο δυνατές καταστάσεις, όπως στην προηγούμενη παράγραφο, τότε μια σύμπλεκτη κατάσταση περιγράφεται από την κυματοσυνάρτηση:

   

Ακολουθώντας ξανά τους Monroe και Wineland μπορούμε να πούμε πως η περίπτωση της κβαντικής σύμπλεξης είναι ανάλογη με το σχέδιο δύο πανομοιότυπων κύβων (Εικ. 2). Σε αυτή την περίπτωση, τα μάτια μας βλέπουν τους δύο κύβους άλλες φορές με τη μια πλευρά σε πρώτο πλάνο και άλλες φορές με την άλλη πλευρά σε πρώτο πλάνο. Οποιαδήποτε προσπάθεια εστίασης στο σχέδιο «αναγκάζει» τους κύβους να βρίσκονται στην ίδια κατάσταση, ανεξάρτητα από το αν υπάρχει κάποια «φυσική» σύνδεση μεταξύ τους.

Η κβαντική σύμπλεξη χαρακτηρίστηκε το 1935 από τον E. Schrödinger ως η καρδιά και η ουσία της κβαντικής φυσικής—το φαινόμενο που διαχωρίζει ριζικά την κβαντική φυσική από την κλασική (Schrödinger, 1935). Η κβαντική σύμπλεξη σχετίζεται άμεσα με όλες τις περίφημες «ιδιοτροπίες» της κβαντικής φυσικής, όπως η αρχή του μη διαχωρίσιμου^[3] (principle of inseparability) και η αρχή της συμπληρωματικότητας^[4] (principle of complementarity) ενώ αποτελεί μαζί με την αρχή της υπέρθεσης τους πυλώνες του κβαντικού υπολογισμού και ως εκ τούτου της λειτουργίας των κβαντικών υπολογιστών.

Όπως έχει γραφτεί, η κβαντική σύμπλεξη μπορεί να θεωρηθεί ως ένας «αόρατος αγωγός» μεταξύ σωματιδίων που δεν έχει κλασικό ανάλογο (Monroe & Wineland, 2008). Είναι εξαιρετικά ενδιαφέρον, από την άποψη του Υπολογισμού, πως μια σύμπλεκτη κατάσταση μπορεί να περιέχει περισσότερες πληροφορίες από όσες είναι πιθανό να περιέχονται σε οποιαδήποτε κλασική κατάσταση με τον ίδιο αριθμό σωματιδίων. Το μείζον πρόβλημα με αυτές τις καταστάσεις είναι η ταχεία απώλεια της σύμπλεξης ως αποτέλεσμα κάθε λογής αλληλεπίδρασης με το περιβάλλον. Πολλοί πιστεύουν ότι αυτό και μόνο το γεγονός θέτει όρια στον κβαντικό υπολογισμό. Αυτό γιατί, με απλά λόγια, η συμφωνία είναι η αιτία που επιτρέπει σε ένα κβαντικό σύστημα να βρίσκεται ταυτόχρονα σε πολλαπλές καταστάσεις — κάτι σαν ένα τέλεια συγχρονισμένο πολυφωνικό τραγούδι. Όταν χάνεται αυτή η συμφωνία (quantum coherence) , το κβαντικό σύστημα «ξεχνά» τις εξαιρετικά λεπτές συσχετίσεις του και αρχίζει να συμπεριφέρεται σαν ένα κλασικό σύστημα, χάνοντας έτσι το κβαντικό του πλεονέκτημα. Χωρίς συμφωνία, οι κβαντικοί υπολογισμοί καταρρέουν — όπως μια μουσική συμφωνία που μετατρέπεται ξαφνικά σε θόρυβο. Για τον λόγο αυτό, η διατήρηση της συμφωνίας όσο το δυνατόν περισσότερο είναι θεμελιώδης προϋπόθεση για κάθε κβαντική τεχνολογία.

ΙΔΙΟΜΟΡΦΙΕΣ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ

Η εκτίμηση του φάσματος των δυνατών αποτελεσμάτων μιας μέτρησης ενός φυσικού μεγέθους σε ένα κβαντικό σύστημα και η εξαγωγή της αντίστοιχης κατανομής πιθανότητας προϋποθέτει την επανάληψη της μέτρησης στο σύστημα εκκινώντας κάθε φορά από τις ίδιες αρχικές συνθήκες. Όμως ανάμεσα στη θεωρία και την πράξη παρεμβάλλονται και οι εκάστοτε πειραματικές δυνατότητες που καθορίζονται σε μεγάλο βαθμό από το τεχνολογικό κεκτημένο κάθε εποχής.

Θα πρέπει να σημειώσουμε πως ήδη από τη δεκαετία του 1930 μεμονωμένα σωματίδια μπορούσαν να ανιχνευθούν και να μελετηθούν, για παράδειγμα σε θαλάμους με φυσαλίδες παρατηρώντας τα ίχνη τους ή τα υπολείμματά τους μετά τον θρυμματισμό τους εξαιτίας των μεταξύ τους ισχυρών συγκρούσεων. Σε αυτά τα πειράματα, η ύπαρξη των σωματιδίων και οι ιδιότητές τους συνήχθησαν, θα λέγαμε, «μεταθανάτια». Όπως έγραψε ο Schrödinger το 1952 αυτές οι μελέτες μοιάζουν με την εξονυχιστική ανάλυση αρχείων σχετικά με γεγονότα που έχουν συμβεί αρκετά πιο πριν (Schrödinger, 1952). Ο φυσικός σε αυτήν την περίπτωση μοιάζει με έναν αρχαιολόγο που προσπαθεί μέσα από ευρήματα να ανασκευάσει την ιστορία του παρελθόντος.

Οι πειραματικές προσπάθειες στις οποίες εμπλέκονται άτομα και φωτόνια δεν περιορίζονται μόνο στην ευαίσθητη ανίχνευση. Πρέπει να μπορούν όχι μόνο να ανιχνεύουν μεμονωμένα σωματίδια, αλλά να το κάνουν χωρίς να τα καταστρέφουν. Ο χειρισμός των σωματιδίων θα πρέπει να γίνεται με «χειρουργική» ακρίβεια ώστε να εξασφαλίζεται η επαναλαμβανόμενη παρατήρησή τους, σε αντίθεση με τις «στατικές» παρατηρήσεις που αναφέρθηκαν προηγουμένως. Η επανάληψη των μετρήσεων παρέχει πρόσβαση σε συσχετισμούς διαφόρων ειδών. Η κβαντική φυσική, στην ουσία της, περιγράφει και εξηγεί συσχετισμούς μεταξύ γεγονότων. Είναι επομένως απαραίτητο τα πειράματα που αφορούν στη διερεύνηση των αρχών της κβαντομηχανικής να μπορούν να εκτελούν επαναλαμβανόμενες μετρήσεις σε μεμονωμένα σωματίδια. Σε αυτή την περίπτωση, ο φυσικός δεν θα πρέπει να συγκρίνεται με τον παλαιοντολόγο, αλλά μάλλον με έναν βιολόγο που εργάζεται in vivo.

Η δραστική επίδραση μιας μέτρησης στη δυναμική ενός κβαντικού συστήματος ώθησε τους ερευνητές στην αναζήτηση τρόπων υπέρβασης αυτού του φαινομένου. Η μια λύση αναζητήθηκε στις λεγόμενες ασθενείς κβαντικές μετρήσεις (quantum weak measurements). Όπως δηλώνει και ο όρος πρόκειται για «απαλές» μετρήσεις οι οποίες δεν διαταράσσουν αρκετά την κατάσταση του κβαντικού συστήματος ούτως ώστε να αποφεύγεται η «ανεπιθύμητη» κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης. Τα βασικά χαρακτηριστικά αυτής της πειραματικής μεθόδου είναι: η ελάχιστη διαταραχή στο σύστημα που εξασφαλίζει αποφυγή της κατάρρευσης της κυματοσυνάρτησης, ο περιορισμένος όγκος πληροφορίας που μπορεί να εξαχθεί σε μια μέτρηση επιβάλλοντας τον στατιστικό συνδυασμό πολλαπλών ασθενών μετρήσεων και, τέλος, η συχνή χρήση εκ των προτέρων (pre-selection) και εκ των υστέρων επιλογής (post selection) μιας κβαντικής κατάστασης για την αποκάλυψη πληροφοριών σχετικά με τα κβαντικά συστήματα μεταξύ των μετρήσεων. Κάτι που έχει ιδαίτερη σημασία είναι πως το αποτέλεσμα μιας μέτρησης μπορεί να βρίσκεται εκτός του φάσματος ιδιοτιμών («ασθενείς τιμές»). Θα πρέπει, επίσης, να τονιστεί πως ενώ η ιδέα της ασθενούς μέτρησης από μόνη της δεν φαίνεται να αποτελεί ριζική απόκλιση από τον κβαντικό φορμαλισμό, κατά την εκτέλεση των πειραμάτων ξεδιπλώθηκε ένας ολόκληρος νέος κόσμος από φαινόμενα που διέλαθαν της προσοχής των πειραματικών. Ανάμεσα σε αυτά και η τυχαία ανακάλυψη της γάτας του Cheshire που θα μας απασχολήσει στη συνέχεια.

Η άλλη μέθοδος είναι η λεγόμενη μη καταστροφική κβαντική μέτρηση (Quantum Non-Demolition Measurement) και είχε προταθεί από τον V. Braginsky και τους συνεργάτες του τη δεκαετία του 1970, στο πλαίσιο της ανίχνευσης βαρυτικών κυμάτων (Braginsky & Khalili, 1996). Βασικό χαρακτηριστικό αυτής της μεθόδου είναι η εκτέλεση μετρήσεων, μετά το πέρας των οποίων το κβαντικό σύστημα παραμένει άθικτο, επιτρέποντας την συνεχόμενη επανάληψη της μέτρησης σε αυτό. Τα βασικά της χαρακτηριστικά αυτής της πειραματικής μεθόδου είναι: α) Η ισχυρή αλλά προσεκτικά σχεδιασμένη μέτρηση ώστε να μην διαταράσσει το προς μέτρηση παρατηρήσιμο φυσικό μέγεθος, β) Το αποτέλεσμα της μέτρησης ανήκει στο φάσμα ιδιοτιμών, γ) Η διατήρηση του υπό παρατήρηση φυσικού μεγέθους ακόμη και σε διαδοχικές μετρήσεις. Η μη καταστροφική κβαντική μέτρηση χρησιμοποιείται συχνά για την παρακολούθηση συστημάτων με την πάροδο του χρόνου χωρίς να καταστρέφεται η κατάσταση τους (π.χ., στην κβαντική οπτική ή στην ανίχνευση βαρυτικών κυμάτων).

Η ΓΑΤΑ ΤΟΥ SCHRÖDINGER

Στην προσπάθειά τους να ερευνήσουν τα όρια και τις πιθανές αντιφάσεις των φυσικών θεωριών οι επιστήμονες κατέφυγαν από πολύ νωρίς στα περίφημα νοητικά πειράματα τα οποία στη διεθνή βιβλιογραφία είναι γνωστά με τον όρο gedankenexperiment. Πρόκειται για θεωρητικά σχήματα που, κατά κύριο λόγο, η σύλληψή τους γίνεται σε μια συγκεκριμένη ιστορική περίοδο, όταν οι πειραματικές και τεχνολογικές δυνατότητες ενός συγκεκριμένου τομέα έρευνας δεν είναι αρκετά ώριμες για την πραγματοποίησή τους. Αυτά τα πειράματα βοήθησαν, είτε στην ανάπτυξη επιστημονικών θεωριών, όπως οι θεωρίες της ειδικής και γενικής σχετικότητας, είτε στη διερεύνηση των ορίων εγκυρότητας μιας θεωρίας, όπως στην περίπτωση της κβαντικής μηχανικής.

Το 1935, ο Αυστριακός φυσικός Erwin Schrödinger πρότεινε ένα νοητικό πείραμα ως κριτική της ερμηνείας της Σχολής της Κοπεγχάγης για την κβαντομηχανική, ιδιαίτερα της ιδέας της κβαντικής υπέρθεσης και μέτρησης (Schrödinger, 1935). Στόχος του ήταν να δείξει αυτό που θεωρούσε παράδοξο ή παραλογισμό όταν οι κβαντικές αρχές εφαρμόζονται σε μακροσκοπικά αντικείμενα. Αν αποδεχτούμε την ερμηνεία της Κοπεγχάγης κυριολεκτικά, τότε θα καταλήξουμε στο ότι μια γάτα σε ένα κουτί θα μπορούσε να είναι ταυτόχρονα νεκρή και ζωντανή μέχρι κάποιος να ανοίξει το κουτί και να κοιτάξει – ένα σαφώς παράλογο συμπέρασμα. To νοητικό πείραμα του Schrödinger δίνει έμφαση στο πρόβλημα του πού και πώς συμβαίνει η κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης. Είναι κατά τη διάρκεια της μέτρησης; Οφείλεται στην αλληλεπίδραση με το περιβάλλον; Ή μήπως συνδέεται με τη συνείδηση; Ο στόχος του Schrödinger δεν ήταν να υπονοήσει ότι οι γάτες βρίσκονται στην πραγματικότητα σε υπερθέσεις ζωής και θανάτου, αλλά να αναγκάσει τους φυσικούς και τους φιλοσόφους να αντιμετωπίσουν τις παράξενες επιπτώσεις της κβαντομηχανικής και να αμφισβητήσουν την πληρότητα ή τη συνέπεια της θεωρίας. Στην ουσία, ο Schrödinger χρησιμοποίησε τη γάτα για να αμφισβητήσει τα όρια μεταξύ κβαντικού και κλασικού κόσμου και να προκαλέσει συζήτηση σχετικά με την ερμηνεία της κβαντομηχανικής – μια συζήτηση που συνεχίζεται μέχρι σήμερα.

Φανταστείτε μια γάτα μέσα σε ένα κουτί, μαζί με μια μηχανή που μπορεί να σκοτώσει την γάτα με βάση την αποδιέγερση ενός ραδιενεργού ατόμου το οποίο μπορεί να εκπέμψει ένα φωτόνιο ή ένα ραδιενεργό σωματίδιο. Το άτομο αρχικά είναι διεγερμένο. Αν εκπέμψει, ο μηχανισμός ενεργοποιείται και σκοτώνει τη γάτα, αν όχι, τότε η γάτα παραμένει ζωντανή. Προϊόντος του χρόνου παραμονής στη διεγερμένη κατάσταση, το άτομο έχει εξελιχθεί σε μια υπέρθεση δύο καταστάσεων (αποδιέγερση ή μη), η μία από τις οποίες θα συνδεόταν με τη καταγραφή μιας νεκρής γάτας και η άλλη με την καταγραφή μιας ζωντανής γάτας. Σε αυτή την περίπτωση, το άτομο, ένα μικροσκοπικό σωματίδιο και η γάτα, ένα μακροσκοπικό σώμα, θα βρίσκονται σε μια σύμπλεκτη κατάσταση. Σύμφωνα με την καθιερωμένη ερμηνεία της κβαντικής μηχανικής, μέχρι να ανοίξουμε το κουτί, το άτομο βρίσκεται σε μια υπέρθεση καταστάσεων – δηλαδή, ταυτόχρονα έχει και δεν έχει αποδιεγερθεί. Και επειδή η ζωή της γάτας εξαρτάται από αυτό, η ίδια η γάτα βρίσκεται σε μια υπέρθεση ζωντανής και νεκρής κατάσταστασης ταυτόχρονα! Στην γλώσσα της κβαντικής μηχανικής η κατάσταση του συστήματος «μηχανισμός + γάτα» περιγράφεται από την παρακάτω σχέση:

   

Πρόκειται για μια σύμπλεκτη κατάσταση όπου η κατάσταση της γάτας είναι συσχετισμένη με αυτήν του ατόμου.

Το ερώτημα που τέθηκε ήταν αν κάτι τέτοιο μπορούσε να παρατηρηθεί στην πραγματικότητα. Η πειραματική υλοποίηση έγινε δυνατή τις τελευταίες δεκαετίες χάρις την αλματώδη ανάπτυξη νέων πειραματικών τεχνικών με ψυχρά άτομα και ιόντα καθώς και υψηλής ευαισθησίας φωτονικών κοιλοτήτων. Οι δύο διαφορετικές εκδοχές αυτών των πειραμάτων αποτελούν επί της ουσίας τις δύο πλευρές του ίδιου νομίσματος. Στην πρώτη περίπτωση στα πειράματα της École Normale Supérieure (ENS) στο Παρίσι, υπό την καθοδήγηση του Serge Haroche (βραβείο Νόμπελ 2012), χρησιμοποίησαν παγιδευμένα φωτόνια σε μια ηλεκτρομαγνητική κοιλότητα φτιαγμένη από καθρέφτες υψηλής ανακλαστικότητας και αξιοποίησαν δέσμες ατόμων για να ανιχνεύσουν και να χειριστούν αυτά τα φωτόνια και να μελετήσουν την εξέλιξή τους (Deleglise, 2008). Στην δεύτερη περίπτωση, υπό την καθοδήγηση του D. Wineland, στο National Institute of Standards and Technology (NIST) στο Boulder του Κολοράντο, έκαναν ακριβώς το αντίθετο: παγίδευσαν μεμονωμένα ιόντα, με τη βοήθεια ηλεκτρομαγνητικών πεδίων που παράγονται από ηλεκτρόδια και χρησιμοποιήσαν δέσμες λέιζερ για να χειριστούν και να ανιχνεύσουν τη συμπεριφορά αυτών των σωματιδίων.

I) ΟΙ ΓΑΤΕΣ ΤΗΣ ENS

Στα πειράματα της ENS βασικό ρόλο έπαιξε η χρήση ατόμων Rydberg, καθώς και η τεχνολογική πρόοδος στην κατασκευή ηλεκτρομαγνητικών κοιλοτήτων υψηλής πιστότητας. Μέχρι τις αρχές της δεκαετίας του 1970, στην έρευνα πάνω στα φάσματα των ατόμων υπήρχε μια terra incognita, όπως πολύ γλαφυρά έχει αναφέρει ο Haroche στην διάλεξη για την απονομή του βραβείου Νόμπελ (Haroche, 2013). Πρόκειται για μια περιοχή δέσμιων καταστάσεων των ηλεκτρονίων πολύ κοντά στο όριο ιονισμού. Οι καταστάσεις αυτές είναι γνωστές ως καταστάσεις Rydberg (Rydberg states). Το βασικό χαρακτηριστικό τους είναι η πολύ μεγάλη απόσταση των ηλεκτρονίων από τον πυρήνα^[5], γεγονός που δίνει σε αυτές τις καταστάσεις πολύ μεγάλες διπολικές ροπές και καθιστά αυτά τα άτομα εξαιρετικά ευαίσθητα στις αλληλεπιδράσεις τους με την ακτινοβολία μικροκυμάτων. Μια άλλη σημαντική ιδιότητα αυτών των καταστάσεων είναι ο μεγάλος χρόνος (για την κλίμακα των κβαντικών φαινομένων) που επιβιώνει το ηλεκτρόνιο όταν διεγερθεί και μεταβεί σε μια τέτοια διεγερμένη κατάσταση, που μπορεί να φτάσει τα 30 ms, και είναι της ίδιας τάξης μεγέθους με το χρόνο ζωής των φωτονίων μέσα στην κοιλότητα.

Μια σειρά από πειραματικά επιτεύγματα στην αλληλεπίδραση των ατόμων Rydberg με εξελιγμένες «εκδόσεις» των ηλεκτρομαγνητικών κοιλοτήτων οδήγησαν αφενός, στην δημιουργία ενός ερευνητικού πεδίου γνωστού ως Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Κοιλότητας^[6](Cavity Quantum Electrodynamics, CQED) αφετέρου στη δημιουργία του βασικού εργαλείου με το οποίο θα αποκαλύπτονταν τα μυστικά των κβαντικών ιδιοτήτων των ηλεκτρομαγνητικών πεδίων^[7]. Η εξέλιξη των πειραμάτων οδήγησε στην ανάπτυξη διατάξεων όπου τα άτομα Rydberg αλληλεπιδρούσαν πλέον με ηλεκτρομαγνητικά πεδία μέσα στην κοιλότητα, τα μήκη κύματος των οποίων ήταν πλέον στην περιοχή του ορατού ηλεκτρομαγνητικού φάσματος (Jhe et al, 1987)^[8]. Το άλλο σημαντικό εμπόδιο που έπρεπε να υπερβληθεί ήταν η εκτέλεση μετρήσεων μετά το πέρας των οποίων το φωτόνιο θα έμενε άθικτο επιτρέποντας την συνεχή επανάληψη της μέτρησης στο ίδιο φωτόνιο. Οι ερευνητές στην ENS χρειάστηκε να προσαρμόσουν τις τεχνικές μη καταστροφικής μέτρησης στην ανίχνευση κβάντων φωτός για να μπορέσουν να το επιτύχουν.

Σε αυτά τα πειράματα τον ρόλο της «δολοφονικής συσκευής» έπαιξε ένα μόνο άτομο σε μια υπέρθεση δύο εσωτερικών καταστάσεων Rydberg. To ρόλο της «γάτας» έπρεπε να παίζει ένα σύστημα το οποίο με κάποιο τρόπο θα μπορεί να αποκτήσει μια κλασική συμπεριφορά. Κάτι τέτοιο μπορούν να μας προσφέρουν οι λεγόμενες σύμφωνες καταστάσεις (coherent states). Πρόκειται για κβαντικές καταστάσεις στις οποίες ελαχιστοποιείται η τιμή της σχέσης αβεβαιότητας^[9] και των οποίων οι μέσες τιμές ακολουθούν κλασικές εξισώσεις κίνησης^[10].

Το άτομο μέσω της υπέρθεσης των καταστάσεων κατά την αλληλεπίδρασή του με το σύμφωνο πεδίο της κοιλότητας «ελέγχει» την φάση του πεδίου η οποία μπορεί να λαμβάνει δύο διαφορετικές τιμές ταυτόχρονα, τη μία εξ’ αυτών μπορούμε να ονομάσουμε «ζωντανή» και την άλλη «νεκρή». Ο προσεκτικός αναγνώστης θα μπορούσε να αναρωτηθεί πως είναι δυνατόν ένα και μόνο άτομο να επηρεάζει τη φάση ενός πεδίου που αποτελείται από πλήθος φωτονίων. Η απάντηση βρίσκεται αποκλειστικά στην πανίσχυρη αλληλεπίδραση ενός ατόμου Rydberg με το πεδίο. Το άτομο μετατρέπεται σε ένα μέσο με πολύ μεγάλο δείκτη διάθλασης ικανό να επηρεάζει μακροσκοπικά την κατάσταση ενός πεδίου.

II) ΟΙ ΓΑΤΕΣ ΤOΥ NIST

Η επόμενη οικογένεια πειραμάτων στα οποία υλοποιήθηκε η ιδέα της Γάτας του Schrödinger έλαβε χώρα στο εργαστήριο του NIST υπό την επίβλεψη του David Wineland. Για να φτάσουν στο επίτευγμα αυτό έπρεπε να προηγηθούν μια σειρά πειράματα. Τα πρώτα από αυτά αφορούσαν στην απομόνωση μεμονωμένων ιόντων η οποία μπορεί να γίνει εφικτή μέσω της αλληλεπίδρασής τους με κατάλληλα ηλεκτρομαγνητικά πεδία. Αξιοσημείωτα ήταν τα πειράματα με ιόντα Ba⁺ στα οποία, εκτός των άλλων, με τη βοήθεια ενός μεγεθυντικού φακού, περισυνελλέγει και κατέστη ορατό από το ανθρώπινο μάτι το φως από τον φθορισμό ενός και μόνο ιόντος (Neuhauser et al. 1980). Στα πειράματα στο NIST επικεντρώθηκαν αρχικά σε ιόντα Hg⁺ εξαιτίας μιας σειράς πειραματικών πλεονεκτημάτων στην χρήση τους . Στην καταγραφή του φθορισμού των ιόντων έγινε χρήση τεχνικών μη καταστροφικής κβαντικής μέτρησης^[11].

Το επόμενο βήμα ήταν ο έλεγχος της εξωτερικής (μεταφορικής) κίνησης των ιόντων και ακόμη περισσότερο η συσχέτιση της με την εσωτερική κατάσταση του ιόντος. Η μεταφορική κίνηση επιβραδύνθηκε σε πολύ μεγάλο βαθμό με τη χρήση φωτός λέιζερ και σε συνδυασμό με την επίδραση των πεδίων της παγίδας μετατράπηκε, επί της ουσίας, σε μια απλή αρμονική κίνηση γύρω από μια θέση ισορροπίας. Με απλά λόγια η κίνηση του ιόντος ήταν παρόμοια με αυτήν ενός σωματιδίου προσκολλημένου σε ένα ελατήριο. Ο λόγος που οι επιστήμονες επιδίωξαν τον ακριβή έλεγχο της ιοντικής κίνησης ήταν για να μπορέσουν αρχικά να τοποθετήσουν το ιόν στην θεμελιώδη ενεργειακή κατάσταση της παγίδας. Αυτό ήταν προαπαιτούμενο ώστε να είναι σε θέση να κατασκευάσουν πιο σύνθετες καταστάσεις της μεταφορικής κίνησης του ιόντος με τελικό στόχο να επιτύχουν την κατασκευή μιας σύμφωνης κατάστασης.

Η βασική φυσική διαφορά ανάμεσα στα πειράματα στην ENS και σε αυτά στο NIST είναι ο χαρακτήρας και ο ρόλος του «αρμονικού ταλαντωτή» που χρειαζόμαστε ώστε να κατασκευάσουμε σύμφωνες καταστάσεις. Στη μεν πρώτη περίπτωση αυτόν τον ρόλο τον είχε το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο της κοιλότητας ενώ στη δεύτερη περίπτωση η παγιδευμένη μεταφορική κίνηση του ιόντος. Με την πάροδο των ετών, αυτή η αντιστοιχία έχει οδηγήσει σε μερικά ενδιαφέροντα και συμπληρωματικά πειράματα μεταξύ των δύο τύπων πειραμάτων (Haroche & Raimond, 2006).

Για να φτάσουν στην υλοποίηση του στόχου τους στο NIST χρειάζονταν έναν μηχανισμό που θα έπαιζε το ρόλο της «δολοφονικής διάταξης» (του ραδιενεργού σωματιδίου στο νοητικό πείραμα του Schrödinger). Στη συγκεκριμένη περίπτωση χρειάζονταν κάτι που να συμπλέκει την μεταφορική κίνηση του ιόντος με την εσωτερική του κατάσταση (Wineland, 2013). Aυτό μπορεί να συμβεί όταν το ιόν αλληλεπιδράσει με το φως του λέιζερ το οποίο έχει σχεδόν αυστηρά καθορισμένη συχνότητα και πόλωση. Με αυτόν τον τρόπο επάγει μεταβάσεις ενός ηλεκτρονίου μεταξύ δύο μόνο συγκεκριμένων ενεργειακών σταθμών του ιόντος η χαμηλότερη (ενεργειακά) εκ των οποίων ονομάζεται θεμελιώδης και η ανώτερη διεγερμένη. Με την κατάλληλη εφαρμογή ενός παλμού λέιζερ ασκήθηκε στο ιόν, μια δύναμη, γνωστή ως οπτική διπολική δύναμη (optical dipole force), η οποία εξαρτάται από την εσωτερική κατάσταση του ιόντος (Monroe et al. 1996). Σαν αποτέλεσμα, όταν το ηλεκτρόνιο είναι στην διεγερμένη κατάσταση (αποδιέγερση στο νοητικό πείραμα) το ιόν κινείται προς μια συγκεκριμένη κατεύθυνση (νεκρή γάτα) ενώ αν το ηλεκτρόνιο βρεθεί στην θεμελιώδη κατάσταση (μη αποδιέγερση) το ιόν θα κινηθεί προς αντίθετη κατεύθυνση (ζωντανή γάτα).

H πιο βασική ένσταση που υπάρχει σε αυτά τα πειράματα που προαναφέραμε έχει να κάνει με το «μέγεθος» στους «γάτας». Στο νοητικό πείραμα του Schrödinger η γάτα επιλέχτηκε γιατί αντιπροσωπεύει ένα «μακροσκοπικό αντικείμενο» η συμπεριφορά του οποίου καθορίζεται από την κλασική φυσική. Σε αυτά τα πειράματα τίθεται αμέσως το ερώτημα: πως μπορούν φωτόνια και ιόντα να αποκτήσουν μια «μακροσκοπική δυναμική» ώστε να προσομοιώνουν τη συμπεριφορά ενός κλασικού αντικειμένου; Η απάντηση βρίσκεται στους σύμφωνες καταστάσεις που δεν έχουν επιλεγεί τυχαία καθώς είναι οι κβαντικές καταστάσεις που, όπως προαναφέραμε, προσεγγίζουν πιο πολύ μια κλασική κατάσταση. Αυτό επιτρέπει στα μεν πειράματα του Haroche τον εποικισμό αυτών των καταστάσεων με περισσότερα φωτόνια, στα δε πειράματα του Wineland την εκτέλεση ταλαντώσεων με όλο και μεγαλύτερο πλάτος στους δύο διαφορετικές κατευθύνσεις^[12]. Το μεγάλο τίμημα σε αυτές τις περιπτώσεις είναι πως τα συστήματα γίνονται ευάλωτα ακόμη και σε ασθενέστατες αλληλεπιδράσεις με το περιβάλλον (διακυμάνσεις στην ένταση και την φάση των λέιζερ, μηχανικές ταλαντώσεις κλπ.) με αποτέλεσμα την απώλεια της πολύτιμης συμφωνίας (Myatt et al., 2000a,b; Turchette et al., 2000). Ωστόσο, οι επιστήμονες θεωρούν πως αυτό το πρόβλημα είναι απλά τεχνικής φύσεως και όχι ένας βαθύτερος θεμελιώδης περιορισμός, και πως τελικά θα πρέπει να είμαστε σε θέση να φτιάξουμε μια «γάτα» αρκετά «μεγάλη» ώστε τα κυματοπακέτα που περιγράφουν τις δύο διαφορετικές καταστάσεις της γάτας να διαχωρίζονται από μακροσκοπικές αποστάσεις^[13].

Η ΓΑΤΑ ΤΟΥ CHESHIRE

H Γάτα του Cheshire έγινε παγκοσμίως γνωστή από το διάσημο έργο του Lewis Caroll Η Αλίκη στη χώρα των θαυμάτων. Αυτό το φανταστικό ον χαρακτηριζόταν από ένα αεικίνητο χαμόγελο που μπορούσε να αποσπασθεί από το σώμα της γάτας και να παραμένει κάπου στον χώρο ενώ η γάτα είχε εξαφανισθεί. Oι κβαντικές Γάτες του Cheshire προτάθηκαν για πρώτη φορά το 2013 από τους Yakir Aharonov, Sandu Popescu, Daniel Rohrlich και Paul Skrzypczyk σε ένα άρθρο που δημοσιεύτηκε το 2013 (Aharonov et al, 2013). Πρόκειται για ένα εντελώς αντιδιαισθητικό φαινόμενο στο οποίο μια φυσική ιδιότητα του σωματιδίου μπορεί να βρεθεί σε εντελώς διαφορετικό σημείο του χώρου από το σωματίδιο! Στη βάση αυτού του φαινομένου βρίσκονται οι ασθενείς κβαντικές μετρήσεις, στις οποίες αναφερθήκαμε στην αρχή του άρθρου, και οι οποίες άνοιξαν την πόρτα ενός εντελώς νέου κόσμου από κβαντικά φαινόμενα στους ερευνητές.

Στο άρθρο του 2013, ο Aharonov και συνεργάτες φαντάστηκαν μια απλή διάταξη οπτικού συμβολόμετρου, στην οποία η «γάτα» είναι ένα φωτόνιο που μπορεί να βρίσκεται είτε στο αριστερό είτε στο δεξί σκέλος, ενώ το «χαμόγελο» είναι η κυκλική του πόλωση (Εικ.5). Η γάτα (το φωτόνιο) προετοιμάζεται πρώτα σε μια υπέρθεση δύο δυνατών διαφορετικών καταστάσεων: ή να ταξιδέψει προς τα αριστερά είτε προς τα δεξιά. Η πειραματική αυτή φάση είναι γνωστή ως προ-επιλογή (pre-selection). Από εκεί και πέρα αναλαμβάνουν οι ασθενείς μετρήσεις. Αντί για μια απευθείας μέτρηση στο φωτόνιο, η οποία θα κατέστρεφε την πολύτιμη υπέρθεση που επιτεύχθηκε στην πρώτη φάση, εκτελούνται στο σύστημα μια σειρά ασθενείς μετρήσεις. Στο τέλος γίνεται χρήση της λεγόμενης μετα-επιλογής (post-selection) όπου επιλέγονται μόνο οι περιπτώσεις που το φωτόνιο καταλήγει σε μια συγκεκριμένη κατάσταση. Αυτό επιτρέπει στους ερευνητές την ακόλουθη συνεπαγωγή: όταν το φωτόνιο περνάει μέσα από την συμβολομετρική διάταξη αυτό αποτελεί ένδειξη πως το φωτόνιο έχει καταγραφεί στα αριστερά και η πόλωσή του στα δεξιά. Αν δεν γίνει αυτή η μετά-επιλογή θα πρέπει να γίνει ένας μέσος όρος σε όλα τα πιθανά αποτελέσματα και το παράδοξο φαινόμενο εξαφανίζεται. Ο λόγος που αυτό συμβαίνει είναι η ίδια η φύση των ασθενών μετρήσεων που δεν δίνουν ρητές απαντήσεις όπως μια συνήθης κβαντική μέτρηση αλλά οδηγούν το σύστημα να αφήνει τα «ίχνη» του, από την στατιστική επεξεργασία των οποίων οι ερευνητές καταλήγουν στην συγκρότηση της εικόνας για την κατάσταση του συστήματος.

Η μαθηματική περιγραφή αυτής της παράξενης κατάστασης πραγμάτων ήταν ξεκάθαρη, αλλά η ερμηνεία φάνηκε εξωφρενική και το αρχικό άρθρο πέρασε πάνω από έναν χρόνο σε αξιολόγηση, με τη δημοσίευσή του να προκαλεί ακόμη κριτικές. Λίγο αργότερα, πειράματα με πολωμένα νετρόνια (Denkmayr, et al, 2014) και φωτόνια (Ashby, et al, 2016) δοκίμασαν και επιβεβαίωσαν τα αποτελέσματα του πρώτου πειράματος. Ωστόσο, τα πειράματα αυτά και οι επόμενες δοκιμές, παρά την επιβεβαίωση των θεωρητικών προβλέψεων, δεν έκλεισαν τη συζήτηση – τελικά, το ζήτημα ήταν στην ερμηνεία.

Για να κατανοήσει κανείς αυτή την παράξενη κατάσταση θα πρέπει να καταφύγει σε ένα δημοφιλές παιγνίδι της Ιαπωνίας, το pachinko, που η λειτουργία του είναι αρκετά κοντά στις έννοιες της προ- και μετα-επιλογής. Πρόκειται για μια μηχανή, κάτι σαν ένα κατακόρυφο φλίπερ, όπου μια μπίλια ξεκινά από την κορυφή σε ένα επιλεγμένο σημείο (προ-επιλογή) και πέφτει μέσω εμποδίων καταλήγοντας σε μια συγκεκριμένη έξοδο (jackpot, μετα-επιλογή) την οποία πρέπει να προβλέψεις και να στοιχηματίσεις. Μετρώντας πόσες μπίλιες καταλήγουν σε όλες τις εξόδους/jackpot, μπορείς να υπολογίσεις την κατανομή πιθανότητας. Στον κλασικό κόσμο, η μέτρηση της θέσης και των ιδιοτήτων της μπίλιας σε διάφορα σημεία είναι δυνατή χωρίς να επηρεάζεται η πορεία της. Σε μια κβαντική εκδοχή της μηχανής, η προ- και μετα-επιλογή λειτουργούν παρόμοια, εκτός του ότι μπορείς να τροφοδοτήσεις το σύστημα με καταστάσεις υπέρθεσης. Μια ασθενής μέτρηση δεν διαταράσσει το σύστημα, οπότε μπορεί να γίνει επανειλημμένα για να εξαχθούν πιθανότητες συγκεκριμένων αποτελεσμάτων. Το αποτέλεσμα της μέτρησης δεν θα είναι ιδιοτιμή – δηλαδή πραγματική ιδιότητα του συστήματος αλλά ασθενής τιμή, η οποία δεν έχει ξεκάθαρη ερμηνεία.

Από την αρχική ανακάλυψη και μετά, οι Aharonov, Popescu και συνεργάτες έχουν συναντήσει και άλλες εκπλήξεις. Το 2021 γενίκευσαν το φαινόμενο της κβαντικής Γάτας του Cheshire σε ένα δυναμικό πλαίσιο στο οποίο η «διαχωρισμένη» ιδιότητα μπορεί να διαδίδεται στον χώρο (Duprey, et al, 2021). Για παράδειγμα, μπορεί να υπάρξει ροή στροφορμής χωρίς τίποτα να τη μεταφέρει (Atherton et al, 2016). Σε μια άλλη γενίκευση, ο Aharonov φαντάστηκε ένα σωματίδιο με μάζα που μπορεί να μετρηθεί σε ένα σημείο χωρίς ορμή, ενώ η ορμή του μετριέται αλλού χωρίς τη μάζα του (Waegell, et al, 2024).

Η κατανόηση αυτού του φαινομένου έχει σηκώσει μεγάλη συζήτηση στην επιστημονική κοινότητα ενώ ήδη έχουν εμφανιστεί οι πρώτες αντιρρήσεις σχετικά με την ερμηνεία των αποτελεσμάτων των πειραμάτων που έχουν διεξαχθεί. Μια πρόσφατη έρευνα δείχνει ότι αυτά τα πειράματα δεν δείχνουν στην πραγματικότητα σωματίδια που αποσπώνται από τις ιδιότητές τους, αλλά αντιθέτως εμφανίζουν ένα άλλο αντιφατικό χαρακτηριστικό της κβαντομηχανικής – την πλαισιακή (contextual) φύση της (Hance et al, 2023). Δηλαδή το γεγονός πως τα κβαντικά συστήματα μεταβάλλονται ανάλογα με τις μετρήσεις που εκτελούμε σε αυτά^[14]. Μια ακολουθία μετρήσεων σε ένα κβαντικό σύστημα θα παράγει διαφορετικά αποτελέσματα ανάλογα με τη σειρά με την οποία εκτελούνται οι μετρήσεις. Για παράδειγμα, αν μετρήσουμε πού βρίσκεται ένα σωματίδιο και στη συνέχεια πόσο γρήγορα ταξιδεύει, αυτό θα δώσει διαφορετικά αποτελέσματα από το να μετρήσουμε πρώτα πόσο γρήγορα ταξιδεύει και στη συνέχεια πού βρίσκεται. Λόγω αυτού του πλαισιακού χαρακτήρα, τα κβαντικά συστήματα μπορούν να μετρηθούν ως έχοντα ιδιότητες που θα περιμέναμε να είναι αμοιβαία ασύμβατες.

Η ομάδα που δημοσίευσε την εργασία σημειώνει ότι το πρόβλημα με το κβαντικό παράδοξο της Γάτας του Cheshire είναι ότι ο αρχικός ισχυρισμός του, ότι το σωματίδιο και η ιδιότητά του, όπως το σπιν ή η πόλωση, διαχωρίζονται και ταξιδεύουν σε διαφορετικές διαδρομές, αποτελεί, ίσως, μια παραπλανητική αναπαράσταση της πραγματικής φυσικής της κατάστασης. Οι ερευνητές πιστεύουν πως διαφορετικά αποτελέσματα λαμβάνονται εάν ένα κβαντικό σύστημα μετρηθεί με διαφορετικούς τρόπους και ότι η αρχική ερμηνεία της κβαντικής γάτας του Cheshire προκύπτει μόνο εάν συνδυάσουμε τα αποτελέσματα αυτών των διαφορετικών μετρήσεων με έναν πολύ συγκεκριμένο τρόπο και αγνοήσουμε αυτήν την αλλαγή που σχετίζεται με τη μέτρηση. Θεωρούν επίσης πως η συνέχιση της έρευνας πάνω στο ζήτημα της πλαισίωσης πέρα από την επίλυση θεωρητικών προβλημάτων θα μπορεί να αξιοποιηθεί και για πρακτικούς σκοπούς καθώς θα οδηγήσει σε πληρέστερη αξιοποίηση των δυνατοτήτων της κβαντικής υπολογιστικής.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ

Οι Γάτες της κβαντομηχανικής δεν εξάπτουν μόνο την περιέργεια και την φαντασία αλλά αποτελούν πλέον, μαζί με άλλα νοητικά πειράματα, μια πραγματικότητα που έχει αναδειχθεί από πλήθος πειραμάτων στα ανά τον κόσμο εργαστήρια. Σήμερα έχουμε τη δυνατότητα να πειραματιστούμε με μεμονωμένα ή ολιγάριθμα κβαντικά συστήματα, προετοιμάζοντας ντετερμινιστικά υπερθέσεις και σύμπλεκτες υπερθέσεις των καταστάσεων τους. Σίγουρα ο έλεγχός μας είναι καλύτερος όταν έχουμε να κάνουμε με πολύ μικρό αριθμό σωματιδίων, κάτι που μας επιτρέπει να πραγματοποιήσουμε πολλά από τα νοητικά πειράματα που παρείχαν τη βάση για τις συζητήσεις/αντιπαραθέσεις μεταξύ του Schrödinger και των άλλων θεμελιωτών της κβαντομηχανικής. Και φυσικά είμαστε σε θέση να φτιάξουμε «μικρές» εκδοχές της Γάτας του Schrödinger ή αυτής του Cheshire, οι οποίες δεν είναι σε καμία περίπτωση μακροσκοπικές αλλά έχουν τα ίδια βασικά χαρακτηριστικά. Μέχρι στιγμής, φαίνεται ότι η αδυναμία μας να δημιουργήσουμε μακροσκοπικές «γάτες» οφείλεται μόνο σε τεχνικούς και όχι σε θεμελιώδεις περιορισμούς. Ομολογουμένως, αυτοί οι τεχνικοί περιορισμοί είναι αρκετά ισχυροί, αλλά μπορεί κανείς να είναι αισιόδοξος για την αύξηση του μεγέθους αυτών των καταστάσεων καθώς η τεχνολογία συνεχίζει να βελτιώνεται. Παρεπιπτόντως, πρέπει να σημειώσουμε πως η διαρκής αύξηση του μεγέθους μιας κβαντικής «γάτας» πέρα από το ζήτημα της φύσης της κβαντικής μέτρησης συνδέεται οργανικά και με ένα άλλο «ιερό δισκοπότηρο» της σημερινής έρευνας: την ανάδυση του κλασικού κόσμου μέσα από τον κβαντικό. Με άλλα λόγια, τη διαύγαση του ορίου πέρα από το οποίο η συμπεριφορά ενός συστήματος παύει να περιγράφεται από τους νόμους της κβαντομηχανικής και βρίσκεται πλέον στην επικράτεια της κλασικής φυσικής (Arndt et al., 1999).

Αυτό που αρκετοί ερευνητές θεωρούν ως το πιο πολύτιμο παράγωγο αυτών των πειραματικών προσπαθειών είναι η ώθηση που σου δίνουν να σκέφτεσαι διαρκώς «εκτός πλαισίου» (out of the box) ακόμη και αν οι άμεσες εφαρμογές δεν είναι προφανείς. Όπως έχει τονίσει ο φυσικός Jonte Hance, ερευνητής στα θεμέλια της κβαντικής θεωρίας στο Πανεπιστήμιο του Νιούκαστλ, οι ερευνητές «τείνουν να ξεχνούν πόσο παράξενη είναι η κβαντική μηχανική, και για εμένα είναι απαραίτητο να κρατήσουμε αυτή τη διαίσθηση της παραξενιάς της» ενώ ο εκ των πρωταγωνιστών του χώρου Popescu θα συμπληρώσει, «Οι περισσότεροι συμφωνούν ότι, αν και γνωρίζουμε τους βασικούς νόμους της κβαντικής μηχανικής, δεν καταλαβαίνουμε πραγματικά περί τίνος πρόκειται».

Κλείνοντας το άρθρο αξίζει να αναφέρουμε πως το ενδιαφέρον των ερευνητών για την πειραματική διερεύνηση των θεμελίων της κβαντομηχανικής δεν ήταν πάντα δεδομένο^[15]. Οι επιστήμονες ήταν συνήθως και κατά κύριο λόγο απασχολημένοι με τις εφαρμογές της κβαντομηχανικής και αυτή η τάση είναι ακόμη πιο ισχυρή στις ημέρες μας με την διαφαινόμενη εμπορική εκμετάλλευση των νέων κβαντικών τεχνολογιών, όπως οι κβαντικοί υπολογιστές και η κβαντική κρυπτογραφία. Στα πλαίσια αυτού του «πυρετού» έχει αναγεννηθεί το ενδιαφέρον για έρευνα στα θεμέλια της κβαντομηχανικής.

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
[1] Πρόκειται για τη συνάρτηση που μας παρέχει την μέγιστη δυνατή πληροφορία που μπορεί να εξαχθεί πειραματικά για τη φυσική κατάσταση του συστήματος.

[2] Με την έννοια πως το σύνολο των πιθανών αποτελεσμάτων είναι δεδομένο (όχι όμως το αποτέλεσμα μιας μεμονωμένης μέτρησης) και αλλάζει εάν μεταβληθούν με κάποιο τρόπο τα χαρακτηριστικά του συστήματος.

[3] Πρόκειται για την αρχή της κβαντομηχανικής η οποία προβλέπει πως δύο σύμπλεκτα συστήματα δεν μπορούν να αποσυμπλεχθούν (δηλαδή, δεν μπορούν να χάσουν όλες τις συσχετίσεις που προκύπτουν από την κβαντική σύμπλεξη) εκτός εάν υπόκεινται σε εξωτερική αλληλεπίδραση. Σύμφωνα με αυτή την κβαντομηχανική αρχή, δύο ή περισσότερα σωματίδια που είναι εμπλεκόμενα συμπεριφέρονται ως ένα ενιαίο φυσικό αντικείμενο, ανεξάρτητα από την απόσταση μεταξύ τους.

[4] Πρόκειται για την αρχή της κβαντομηχανικής η οποία προβλέπει πως τα φυσικά συστήματα χαρακτηρίζονται από φυσικά μεγέθη τα οποία δεν μπορούν να μετρηθούν ταυτόχρονα, όπως για παράδειγμα η θέση και η ορμή ενός σωματιδίου.

[5] Για παράδειγμα, στο άτομο του ρουβιδίου (Rb), ένα ηλεκτρόνιο ευρισκόμενο στην κατάσταση Rydberg με κύριο κβαντικό αριθμό 𝑛=50 βρίσκεται σε απόσταση περίπου 132 nm από τον πυρήνα. Αντίθετα, το ηλεκτρόνιο σθένους της θεμελιώδους κατάστασης που καταλαμβάνει το τροχιακό 5s βρίσκεται σε απόσταση περίπου 1.32 nm από τον πυρήνα

[6] Ο όρος καθιερώθηκε από τον D. Kleppner στις αρχές της δεκαετίας του 1980.

[7] Ιδαίτερη αναφορά αξίζει στην κατασκευή του λεγόμενου μικρομέιζερ (micromaser) από την ερευνητική ομάδα του H. Walther στο Max Planck Institut στο Garching της Δ. Γερμανίας. Στέλνοντας άτομα Rydberg, ένα κάθε φορά, μέσα από μια ηλεκτρομαγνητική κοιλότητα, δημιούργησαν ένα μέιζερ στο οποίο το πεδίο έφτανε σε σταθερή κατάσταση μέσα από μια σειρά από διαδοχικές δράσεις μεμονωμένων ατόμων που διέσχιζαν τη κοιλότητα ένα προς ένα [31]

[8] O αναγνώστης που επιθυμεί να γνωρίσει όλη την πορεία από τα πρώιμα πειράματα σε ηλεκτρομαγνητικές κοιλότητες μπορεί να διαβάσει το Haroche, S. and Kleppner, D., 1989. Cavity quantum electrodynamics. Physics Today, 42(1), pp.24-30, https://pubs.aip.org/physicstoday/article-abstract/42/1/24/405477/Cavity-Quantum-ElectrodynamicsA-new-generation-of.

[9] Στην κβαντική μηχανική εάν έχουμε δύο συμπληρωματικά φυσικά μεγέθη (όπως το ζεύγος θέση-ορμή) 𝛢 και 𝛣, το γινόμενο των τυπικών αποκλίσεών τους Δ𝛢𝛢και Δ𝛣 ικανοποιεί την ανισότητα Δ𝛢∙Δ𝛣≥ℎ/2𝜋𝜋, όπου ℎ η σταθερά του Planck.

[10] Το φως του λέιζερ πάνω από το κατώφλι λειτουργίας είναι ένα παράδειγμα μιας σύμφωνης κατάστασης. Εν γένει αν ένα κβαντικό σύστημα διεγερθεί από ένα εξωτερικό κλασικό πεδίο μεταπίπτει από τη θεμελιώδη κατάστασή του σε μια σύμφωνη κατάσταση. Για παράδειγμα αν στείλουμε φως λέιζερ σε μια ηλεκτρομαγνητική κοιλότητα το πεδίο της μεταπίπτει σε μια σύμφωνη κατάσταση ή αν ασκήσουμε μια δύναμη σε έναν αρμονικό κβαντικό ταλαντωτή.

[11] Στα πειράματα αυτά και στο φάσμα του φθορισμού παρατηρήθηκαν για άλλη μια φορά τα περίφημα κβαντικά άλματα (quantum jumps).

[12] Σε μια πιο αυστηρή επιστημονικά γλώσσα κάτι τέτοιο το επιτρέπει ο μποζονικός χαρακτήρας των καταστάσεων του κβαντωμένου ηλεκτρομαγνητικού πεδίου όσο και του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή.

[13] Η θεωρητική ανάλυση δείχνει ότι η αλληλεπίδραση με το περιβάλλον επιφέρει ταχύτατη απώλεια του σύμφωνου χαρακτήρα της δυναμικής της «γάτας». Ο W. Zurek έχει παίξει σημαντικό ρόλο στη διαλεύκανση του ρόλου του περιβάλλοντος σε αυτή τη διαδικασία, η οποία συμβαίνει όλο και πιο γρήγορα καθώς το «μέγεθος» της «γάτας» αυξάνεται (Zurek, 1991).

[14] Πιο αυστηρά, το αποτέλεσμα μιας μέτρησης (υποτιθέμενο ως προϋπάρχον) ενός κβαντικού παρατηρήσιμου εξαρτάται από το ποια άλλα μετατιθέμενα με αυτό παρατηρήσιμα μεγέθη βρίσκονται εντός του ίδιου συνόλου μετρήσεων (Kochen & Specker, 1990).

[15] Η έλλειψη ενδιαφέροντος για τα θεμέλια της κβαντικής θεωρίας αποτυπώνεται χαρακτηριστικά σε δύο ανέκδοτα. Το πρώτο με πρωταγωνιστή τον ίδιο τον Aharonov. Όταν σπούδαζε φυσική στο Τεχνολογικό Ινστιτούτο του Ισραήλ (Technion) τη δεκαετία του 1950, ρώτησε τον Nathan Rosen (το R του περίφημου παράδοξου EPR, στο Einstein et al. 1935) αν μπορούσε να εργαστεί στα θεμέλια της κβαντικής μηχανικής. Το θέμα θεωρήθηκε τόσο μη δημοφιλές, που ο Rosen τον συμβούλεψε να επικεντρωθεί στις εφαρμογές (Berry, 1997). Ευτυχώς, ο Aharonov αγνόησε τη συμβουλή και συνεργάστηκε με τον Αμερικανό θεωρητικό David Bohm. Η άλλη ιστορία αφορά τον Alain Aspect, ο οποίος το 1975 επισκέφθηκε τον φυσικό του CERN John Bell για να ζητήσει συμβουλές σχετικά με τα σχέδιά του να πραγματοποιήσει πείραμα για τις ανισότητες του Bell ώστε να ελέγξει το παράδοξο EPR. Η πρώτη ερώτηση του Bell δεν αφορούσε τις λεπτομέρειες του πειράματος – αλλά το αν ο Aspect είχε μόνιμη θέση εργασίας (Nature 18, 961, 2002). Ευτυχώς, είχε, και έτσι εκτέλεσε το πείραμα, το οποίο του χάρισε μέρος του Νόμπελ Φυσικής το 2022 (Aspect et al., 1982; Aspect, 2007).

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ

Ευχαριστώ πολύ τον Κωνσταντίνο Ταμπάκη,κύριο ερευνητή στην Ιστορία των Επιστημών και της Τεχνολογίας στο Ινστιτούτο Ιστορικών Ερευνών του Εθνικού Ιδρύματος Ερευνών και τον Θόδωρο Αραμπατζή,καθηγητή ιστορίας και φιλοσοφίας της επιστήμης στο Πανεπιστήμιο της Αθήνας, για τις πολύτιμες παρατηρήσεις τους πάνω στο αρχικό κείμενο.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ

Τραχανάς, Σ. (2009). ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ. Θεμελιώδεις Αρχές και Μέθοδοι – Κβαντικοί Υπολογιστές. Ηράκλειο: ΠΕΚ.

ΞΕΝΟΓΛΩΣΣΗ

Aharonov, Y., Popescu, S., Rohrlich, D. & Skrzypczyk, P., 2013. Quantum Cheshire Cats. New Journal of Physics, 15, 113015. https://doi.org/10.1088/1367-2630/15/11/113015

Ashby, J. M., Schwarz, P. D. and Schlosshauer, M., 2016. Observation of the quantum paradox of separation of a single photon from one of its properties. Physical Review A, 94(1), p.012102. https://journals.aps.org/pra/abstract/10.1103/PhysRevA.94.012102

Aspect, A., Grangier, P. and Roger, G., 1982. Experimental realization of Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm Gedankenexperiment: a new violation of Bell’s inequalities. Physical Review Letters, 49(2), p.91. https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.49.91

Aspect, A. (2007). Bell’s inequality test: more ideal than ever. Nature Physics, 3, 674–675. https://doi.org/10.1038/nphys722

Atherton, D. P. et al. (2016). Observation of the quantum Cheshire Cat effect with polarization-entangled photons. Physical Review A, 94(1), 012102. https://doi.org/10.1103/PhysRevA.94.012102

Arndt, M., Nairz, O., Vos-Andreae, J., Keller, C., Van der Zouw, G. and Zeilinger, A., 1999. Wave–particle duality of C60 molecules. Nature, 401(6754), pp.680-682. https://doi.org/10.1038/44348

Berry, M., 1997. Oration delivered by Michael Berry for Yakir Aharonov. https://michaelberryphysics.wordpress.com/wp-content/uploads/2013/06/u11.pdf

Braginsky, V. B. and Khalili, F. Y., 1996. Quantum nondemolition measurements: the route from toys to tools. Reviews of Modern Physics, 68(1), p.1. https://journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.68.1

Deleglise, S., Dotsenko, I., Sayrin, C., Bernu, J., Brune, M., Raimond, J. M., & Haroche, S., (2008). Reconstruction of non-classical cavity field states with snapshots of their decoherence. Nature, 455(7212), 510-514. https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/18818653/

Denkmayr, T., Geppert, H., Sponar, S., Lemmel H., Matzkin A., Tollaksen, J., and Hasegawa., J., (2014). Observation of a quantum Cheshire Cat in a matter-wave interferometer experiment’, Nature Communications, 5, p. 4492. 10.1038/ncomms5492

Duprey, Q., Aharonov, Y., Popescu, S., & Tollaksen, J., 2021. Dynamical Quantum Cheshire Cats. Nature Communications, 12, 4770. https://doi.org/10.1038/s41467-021-25053-8

Einstein, A., Podolsky, B., & Rosen, N., 1935. Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete? Physical Review, 47, 777. https://doi.org/10.1103/PhysRev.47.777

Hance, J. R., Ji, M. and Hofmann, H. F., 2023. Contextuality, coherences, and quantum cheshire cats. New Journal of Physics, 25(11), p.113028. https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1367-2630/ad0bd4

Haroche, S. & Raimond, J. M. (2006) Exploring the Quantum: Atoms, Cavities, and Photons. Oxford: Oxford University Press.

Haroche, S., 2013. Nobel Lecture: Controlling photons in a box and exploring the quantum to classical boundary. Reviews of Modern Physics, 85(3), pp.1083-1102. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.85.1083

Jhe, W., Anderson, A., Hinds, E. A., Meschede, D., Moi, L. and Haroche, S., 1987. Suppression of spontaneous decay at optical frequencies: Test of vacuum-field anisotropy in confined space. Physical Review Letters, 58(7), p.666. https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.58.666

Kochen, S. and Specker, E. P., 1990. The problem of hidden variables in quantum mechanics. Ernst Specker Selecta, pp.235-263. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-9259-9_21

Lembessis, V. E., 2020. Taming Atoms: The Renaissance of Atomic Physics. Bellingham, Washington USA: SPIE. https://spie.org/Publications/Book/2563827?SSO=1

Monroe, C., Meekhof, D.M., King, B.E. and Wineland, D.J., 1996. A “Schrödinger cat” superposition state of an atom. science, 272(5265), pp.1131-1136. https://www.science.org/doi/abs/10.1126/science.272.5265.1131

Monroe, C. R. and Wineland, D. J., 2008. Quantum computing with ions. Scientific American, 299(2), pp.64-71. https://www.jstor.org/stable/26000763

Myatt, C. J., King, B. E., Turchette, Q. A., Sackett, C. A., Kielpinski, D., Itano, W. M., Monroe, C. and Wineland, D. J., 2000. Decoherence of motional states of trapped ions. Journal of Modern Optics, 47(12), pp.2181-2186. https://doi.org/10.1080/09500340008235140

Myatt, C. J., King, B. E., Turchette, Q. A., Sackett, C. A., Kielpinski, D., Itano, W. M., Monroe, C. W. D. J. and Wineland, D. J., 2000. Decoherence of quantum superpositions through coupling to engineered reservoirs. Nature, 403(6767), pp.269-273. https://www.nature.com/articles/35002001

Neuhauser, W., Hohenstatt, M., Toschek, P.E. and Dehmelt, H., 1980. Localized visible Ba+ mono-ion oscillator. Physical Review A, 22(3), p.1137. https://journals.aps.org/pra/abstract/10.1103/PhysRevA.22.1137

Saffman, M. (2016) ‘Quantum computing with atomic qubits and Rydberg interactions’, Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics, 49(20), p. 202001. 10.1088/0953-4075/49/20/202001

Schrödinger, Ε., 1935. Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik. Naturwissenschaften 23, 844. https://link.springer.com/article/10.1007/BF01491891

Schrödinger, E., 1952. Are there quantum jumps? Part I. The British Journal for the Philosophy of science, 3(10), pp.109-123. https://www.journals.uchicago.edu/doi/abs/10.1093/bjps/III.10.109?journalCode=bjps

Turchette, Q. A., Myatt, C. J., King, B. E., Sackett, C. A., Kielpinski, D., Itano, W. M., Monroe, C. and Wineland, D. J., 2000. Decoherence and decay of motional quantum states of a trapped atom coupled to engineered reservoirs. Physical Review A, 62(5), p.053807. https://journals.aps.org/pra/abstract/10.1103/PhysRevA.62.053807

Waegell, M., Tollaksen, J. and Aharonov, Y., 2024. Separating a particle’s mass from its momentum. Quantum, 8, p.1536. https://quantum-journal.org/papers/q-2024-11-26-1536/

Wineland, D. J., 2013. Nobel Lecture: Superposition, entanglement, and raising Schrödinger’s cat. Reviews of Modern Physics, 85(3), pp.1103-1114. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.85.1103

Zurek, W. H., 1991. Decoherence and the transition from quantum to classical. Physics Today, 44(10), pp.36-44. https://pubs.aip.org/physicstoday/article-abstract/44/10/36/406457/Decoherence-and-the-Transition-from-Quantum-to

ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΤΡΑΥΛΟΣ

BOB COECKE & STEFANO GOGIOSO

Μετάφραση: Λάζαρος Σαριγκιόλης, Μαθηματικός, Καθηγητής Δ.Ε. Υποψήφιος Διδάκτωρ, Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ

Επιστημονική επιμέλεια:

Ιωάννης Αντωνίου, Καθηγητής Μαθηματικών, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης (2001-2023), Αναπληρωτής Διευθυντής Διεθνών Ινστιτούτων Solvay (1994 -2004)

Σταύρος Γ. Σταυρινίδης, Καθηγητής του Τμήματος Φυσικής, ΔΠΘ – Παναγιώτης Τζουνάκης, Επιστήμονας Υπολογιστών, Μέλος ΕΔΙΠ Τμήματος Μαθηματικών, ΑΠΘ, Υποψήφιος Διδάκτωρ Τμήματος Φυσικής, ΔΠΘ

Μιχαήλ Χανιάς, Αναπληρωτής Καθηγητής του Τμήματος Φυσικής, ΔΠΘ

ISBN: 978-618-5061-41-8
Διαστάσεις: 17 x 24 cm
Αριθμός σελίδων: 224
Τιμή: € 23

Θέλεις να μάθεις λιγα κβαντικά, αλλά νομίζεις ότι θα σε δυσκολέψουν τα μαθηματικά τους; Λοιπόν, κανένα πρόβλημα! Οι εικόνες σε αυτό το βιβλίο είναι ένα νέο είδος μαθηματικών που θα σε κάνει να συνειδητοποιήσεις τα πάντα για τον κβαντικό κόσμο.

Από την κβαντική τηλεμεταφορά, την κβαντική αβεβαιότητα, την κβαντική διεμπλοκή, την κβαντική μέτρηση, μέχρι τις πιο πρόσφατες εξελίξεις στον κβαντικό υπολογισμό, όλα βρίσκονται μέσα σ’ αυτές τις λίγες σελίδες. Θα μάθεις ακόμη και την κβαντική μη-τοπικότητα, για την οποία απονεμήθηκε το Νόμπελ Φυσικής, το 2022. Και όλα αυτά, με κάτι συμπαθητικές «αράχνες» που έχουν πολλά πόδια ή καλώδια που προεξέχουν και κάτι «κουτιά» που συνδέονται μεταξύ τους για να οπτικοποιήσουν τα κβαντικά φαινόμενα!

«Ξεκίνησα θέλοντας να αλλάξω τον τρόπο με τον οποίο κατανοείται η κβαντική μηχανική και διαπίστωσα ότι είναι πιο εύκολο να πείσω τα παιδιά παρά τους ενήλικες. Δεν έχουν προκαταλήψεις. Ίσως λοιπόν η επόμενη γενιά να προχωρήσει με ευκολία στην κβαντική υπολογιστική. Όπως είπε κάποτε ένας από τους ιδρυτές της κβαντικής φυσικής, ο Μαξ Πλανκ: Η επιστήμη προχωρά μια κηδεία τη φορά. Πρέπει όλοι να καταλάβουμε από την αρχή πώς λειτουργούν οι επικεφαλής της δεύτερης κβαντικής επανάστασης προτού η τεχνολογία γίνει πραγματικά τεράστια: πρόκειται για εταιρείες δισεκατομμυρίων δολαρίων που θα μπορούσαν να ελέγξουν τον κόσμο χωρίς κανείς να καταλαβαίνει τι κάνουν. Είτε είσαι νέος, είτε όχι και τόσο νέος, ειδικός ή όχι, αυτό το βιβλίο είναι για εσένα και για τη νέα μας γενιά».
Μπομπ Κούκε

Η κβαντική μηχανική γεννήθηκε από την ανάγκη για κατανόηση του μικρόκοσμου, και σήμερα έχει πλέον υπερβεί τον αρχικό σκοπό της. Η δεύτερη κβαντική επανάσταση, μέσω της κβαντικής πληροφορίας, προσφέρει νέες τεχνολογικές δυνατότητες και μας οδηγεί σε έναν νέο τρόπο φιλοσοφικού στοχασμού στη σχέση μας με την πραγματικότητα. Ο κβαντικός τρόπος σκέψης υπερβαίνει την κλασική λογική, υφαίνοντας ένα μωσαϊκό πιθανοτήτων, διεμπλοκών και υπερθέσεων που, παρότι φαντάζουν «μαγικά», δεν είναι απρόσιτα στον ανθρώπινο νου.

Αυτό το βιβλίο συγκροτεί μια γέφυρα κατανόησης του κβαντικού κόσμου, μέσω απλών διαγραμμάτων και παιγνίων, με άμεσα προσιτή οπτικοποίηση θεμελιωμένη στο πλαίσιο της θεωρίας κατηγοριών.  Η αξία του βιβλίου βρίσκεται στη διαπίστωση ότι ο ανθρώπινος νους συλλαμβάνει άμεσα δύσκολες μαθηματικές έννοιες, όταν παρουσιάζονται με κατάλληλη διαγραμματική αναπαράσταση προσαρμοσμένη στο «λογισμικό» του εγκεφάλου μας. Έτσι, οδηγούμαστε σε άμεση, βαθύτερη κατανόηση της επεξεργασίας της κβαντικής πληροφορίας.

Οι κανόνες του μυστηριώδους κβαντικού κόσμου αποκαλύπτονται, γίνονται «οικείοι» και αξιοποιούνται εύκολα από τους επιστήμονες, τους μαθητές, τους φοιτητές, καθώς και από όλους όσοι αισθάνονται τη διαίσθησή τους να κλονίζεται από τα κβαντικά φαινόμενα.

Aπό τον Επίλογο του βιβλίου:

Συνάντησα για πρώτη φορά τον Μπομπ Κούκε περισσότερα από 15 χρόνια πριν, όταν έπεσε στην αντίληψή μου η δημοσίευσή του «Κβαντομηχανική για το νηπιαγωγείο» (Kindergarten Quantum Mechanics). Γνώρισα σχετικά αργά την κβαντική υπολογιστική και τη θεωρία κβαντικής πληροφορίας. Ως νέος, αλλά και ως σαραντάρης, στην κβαντική μηχανική με ενδιέφερε περισσότερο το «γιατί» και όχι τόσο το «τι». Για παράδειγμα, ήθελα να κατανοήσω θεωρίες όπως του Qbism, οι οποίες προσπαθούν να εξηγήσουν το «γιατί» στις εμπειρίες που αποκομίζουμε από τον κβαντικό κόσμο με τρόπους που προξενούν σύγχυση και συχνά εναντιώνονται στη διαίσθησή μας. Όπως πολλοί άλλοι που έρχονται σε επαφή με την κβαντομηχανική και την κβαντική πληροφορία, έτσι κι εγώ απορροφήθηκα από τις συναρπαστικές συζητήσεις σχετικά με τις διάφορες θεωρίες που απασχολούσαν τους κβαντικούς θεωρητικούς και τους φιλοσόφους, οι οποίες είχαν τις απαρχές τους σε εκείνο τον διάσημο διάλογο του Αϊνστάιν με τον Μπορ, πριν από περίπου έναν αιώνα.

Τα πράγματα για μένα άλλαξαν, όταν μερικά χρόνια πριν, η κβαντική υπολογιστική έγινε η καριέρα μου, και το «τι» άρχισε να με νοιάζει εξίσου πολύ με το «γιατί» — επίσης, άρχισα να μετέχω ενεργά στη διαδικασία του τρόπου που θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν οι κβαντικοί υπολογιστές για την επίλυση κάποιων κλασικά άλυτων προβλημάτων. Έτσι, η πλήρης απασχόλησή μου τα τελευταία οκτώ χρόνια είναι η εργασία με κβαντικούς υπολογιστές και κβαντικούς αλγόριθμους.
Μερικά χρόνια αφότου άρχισα να εργάζομαι στην κβαντική υπολογιστική, συνάντησα το «Απεικονίζοντας τις Κβαντικές Διαδικασίες» (γνωστό και ως τον «Μεγάλο Αδερφό» αυτού του βιβλίου) — ένα βιβλίο που άρχισε γρήγορα να αποκτά στοιχεία καλτ κουλτούρας στις ομάδες των νεότερων φυσικών. Το αγόρασα περισσότερο από περιέργεια παρά για κάποιον άλλον λόγο, όμως μόλις το άνοιξα, γρήγορα κατάλαβα ότι δεν μπορούσα να ξεκολλήσω, καθώς βυθιζόμουν ολοένα περισσότερο σε ένα εναλλακτικό σύμπαν, μετατρέποντας έτσι τις τρεις ή τέσσερις μέρες ανάγνωσης σε ένα μακρύ, συναρπαστικό ταξίδι ανακάλυψης.

Πήρε πάνω από σαράντα χρόνια τεχνολογικών εξελίξεων για να φτάσουμε στο σημείο να μπορούμε να κατασκευάσουμε κάποιους πρώιμους πραγματικούς κβαντικούς επεξεργαστές, και με αυτό, να έχουμε ρεαλιστικές προσδοκίες ότι η κβαντική υπολογιστική θα αρχίσει σιγά σιγά να γίνεται πραγματικότητα. Το μόνο ερώτημα πλέον, δεν είναι το «αν», αλλά το «πότε» οι κβαντικοί υπολογιστές θα επιλύσουν πραγματικά προβλήματα έχοντας κάποιον αντίκτυπο στις ζωές μας.
Αυτή η σύζευξη πολλών συμβάντων —η τεχνολογική και θεωρητική πρόοδος στην κβαντομηχανική, τη θεωρία κβαντικής πληροφορίας και τους κβαντικούς υπολογιστές— κάνουν το βιβλίο «Κβαντικά με Εικόνες» ιδιαίτερα σημαντικό και για λόγους πέραν του ακαδημαϊκού.

Αυτό το έργο προορίζεται επίσης για λίγους και φανατικούς. Καθώς γράφω αυτές τις λέξεις, κάποιες «αδημοσίευτες» εκδοχές του βιβλίου κυκλοφορούν ήδη ανάμεσα στους θιασώτες της κβαντικής υπολογιστικής. Τα «Κβαντικά με Εικόνες» θα εμπνεύσουν πολλούς να σκεφτούν να βουτήξουν στα βαθιά μαθαίνοντας κβαντομηχανική, αλλά και να συλλογιστούν προσεκτικά τη σχέση της με την κβαντική υπολογιστική.

Μια άμεση συνέπεια της προσέγγισης της κβαντικής φυσικής που διαρθρώνεται και τόσο δημιουργικά παρουσιάζεται σε αυτό το βιβλίο —μέσω ενός φορμαλισμού που συνδυάζει τον Φον Νόιμαν, τον Σρέντινγκερ και τον Πένροουζ (με μεθόδους του Φέινμαν και του Ντιράκ)— είναι ότι ο Μπομπ και ο Στέφανο δημιουργούν τα θεμέλια που θα υποστηρίξουν τα ενδιαφέροντα και τις φιλοδοξίες μιας νέας γενιάς μαθητών, είτε αυτοί έχουν γενικά ενδιαφέροντα είτε μελετούν κβαντική φυσική. Αυτό το βιβλίο θα δώσει σε πολλούς την ώθηση να εξερευνήσουν και να μάθουν πολλά σχετικά με το θέμα, χωρίς να χρειαστεί να ανησυχούν ότι θα αντιμετωπίσουν τη γνωστή καθηλωτική έλλειψη αυτοπεποίθησης που προξενούν οι παραδοσιακοί τρόποι διδασκαλίας.

Τα «Κβαντικά με Εικόνες» είναι ένα βιβλίο που μας ταξιδεύει από την εξιχνίαση του «γιατί συμβαίνει» —το ερώτημα που, έναν αιώνα πριν, γοήτευσε και συνεπήρε τους γίγαντες της κβαντικής φυσικής— στην αναζήτηση απάντησης για το «τι συμβαίνει» — το ερώτημα που, σήμερα, αντιμετωπίζουν οι πρωτοπόροι των τεχνολογιών της κβαντικής πληροφορίας. Είναι το τέλειο σημείο έναρξης για κάθε αναγνώστη που νιώθει έτοιμος να κάνει τη μετάβαση που ήδη τόσοι άλλοι έχουν κάνει: πρόκειται για ένα δημιουργικό άλμα από το σαγηνευτικό «γιατί» (σύμφωνα με όσα μας λέει η κβαντική ότι συμβαίνει στο Σύμπαν) στο άκρως αινιγματικό «τι».
Ilyas Khan

Από τον Πρόλογο στην Ελληνική έκδοση:

Η κβαντική μηχανική γεννήθηκε από την ανάγκη για κατανόηση των φαινομένων του μικρόκοσμου, τα οποία παρατηρήθηκαν, για πρώτη φορά, στις αρχές του 20ού αιώνα. Εκατό χρόνια αργότερα διαπιστώθηκε ότι η κβαντική πληροφορία είναι το κλειδί για την κατανόηση της κβαντικής μηχανικής και των κβαντικών διεργασιών.

Η δεύτερη κβαντική επανάσταση προσφέρει νέες τεχνολογικές δυνατότητες στη διαχείριση των προβλημάτων μεγάλης υπολογιστικής πολυπλοκότητας, στην επικοινωνία μέσω του κβαντικού διαδικτύου και, τελικά, στην ανάπτυξη της Κβαντικής Νοημοσύνης. Σήμερα, όλα αυτά βρίσκονται στην αιχμή της επιστημονικής έρευνας και της τεχνολογικής ανάπτυξης, οδηγώντας μας ταυτόχρονα σε έναν νέο τρόπο φιλοσοφικού στοχασμού όσον αφορά τη σχέση μας με την πραγματικότητα.

Ο κβαντικός τρόπος σκέψης υπερβαίνει την κλασική λογική, υφαίνοντας ένα μωσαϊκό από πιθανότητες, υπερθέσεις και διεμπλοκές, που παρότι φαντάζουν «μαγικά», δεν είναι απρόσιτα στον ανθρώπινο νου.

Ο Μπομπ Κούκε και οι συνεργάτες του έχουν προτείνει μια νέα διατύπωση και ερμηνεία της κβαντικής θεωρίας μέσω αναπαράστασης των μαθηματικών σχέσεων με απλά διαγράμματα. Η ιδέα αυτή έρχεται από τις αρχές του 20ού αιώνα, όταν ο Ανρί Πουανκαρέ στο La Science et l’Hypothèse (Flammarion, Paris, 1902) αναφερόμενος σε όλες τις μαθηματικές έννοιες, επισήμανε ότι: «Οι Μαθηματικοί δεν μελετούν τα Αντικείμενα, αλλά τις Σχέσεις των Αντικειμένων. Είναι αδιάφορο αν κάποια Αντικείμενα αντικαθίστανται από άλλα Αντικείμενα, εφόσον οι Σχέσεις δεν αλλάζουν. Το Υλικό δεν ενδιαφέρει, μόνο η Μορφή ενδιαφέρει».

Η σχεσιακή θεώρηση των Μαθηματικών αλλά και των νοητικών κατασκευών εν γένει, οδήγησε στη Θεωρία Κατηγοριών και στη Θεωρία Δικτυών. Ενθουσιαστήκαμε ιδιαίτερα όταν διαπιστώσαμε ότι η διαγραμματική αναπαράσταση καθιστά την επεξεργασία της κβαντικής πληροφορίας άμεσα αντιληπτή όχι μόνον στους μυημένους στις θετικές επιστήμες αλλά ακόμη και στους φοιτητές και μαθητές.

Αποφασίσαμε, λοιπόν, να μεταφράσουμε το έργο των Μπομπ Κούκε και Στέφανο Γκοτζόζο αφενός για να φέρουμε σε επαφή το ελληνικό κοινό με τον κβαντικό τρόπο σκέψης, και αφετέρου για να αξιοποιηθεί επικουρικά στην εισαγωγή του προγράμματος «Κβαντική Υπολογιστική για Μαθητές – ΚΥΜΑ».

Η πρωτοποριακή αυτή προσπάθεια είναι εγκεκριμένη από το Υπουργείο Παιδείας και εισέρχεται φέτος στο 4ο έτος υλοποίησής της, με συμμετοχή πλήθους σχολείων και συνάδελφων, υπό την αιγίδα της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας και του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (ΙΕΠ).

Το βιβλίο προτείνει μια γέφυρα μεταξύ του αφηρημένου μαθηματικού συμβολισμού του κβαντικού κόσμου και του κλασικού κόσμου των καταχωρισμένων παρατηρήσεων. Η γέφυρα οικοδομείται μέσω απλών διαγραμμάτων και εικονογραφημένων παιγνίων, προσιτών στον κοινό νου. Η διαγραμματική αναπαράσταση της κβαντικής θεωρίας, παρότι απλή και κατανοητή, είναι θεμελιωμένη στο αυστηρό πλαίσιο της θεωρίας κατηγοριών.

Η αξία του βιβλίου έγκειται στη διαπίστωση ότι ο ανθρώπινος νους συλλαμβάνει άμεσα δύσκολες μαθηματικές έννοιες με κατάλληλη διαγραμματική αναπαράσταση. Έτσι, οι κανόνες του μυστηριώδους κβαντικού κόσμου αποκαλύπτονται, ώστε να μπορούν να αξιοποιηθούν τόσο από ώριμους επιστήμονες όσο και από μαθητές και φοιτητές. Ξεκινώντας από τα βασικά δομικά στοιχεία της κβαντικής θεωρίας, ο αναγνώστης οδηγείται στη σταδιακή κατασκευή μιας οπτικής γλώσσας που μπορεί να συλλάβει την πολυπλοκότητα των κβαντικών καταστάσεων, των τελεστών και των μετρήσεων, καθώς και την κβαντική διεμπλοκή, την τηλεμεταφορά και εν τέλει την κβαντική υπολογιστική. Η οπτική απεικόνιση αναπτύσσει τη διαίσθηση και την κατανόηση με τρόπο απλό και προσιτό, χωρίς να θυσιάζεται η αυστηρότητα του μαθηματικού φορμαλισμού.

Το βιβλίο Κβαντικά με Εικόνες γεφυρώνει το χάσμα μεταξύ αυτού του φορμαλισμού και της διαισθητικής οπτικής κατανόησης που τόσο συχνά διαφεύγει. Παρουσιάζοντας τις κβαντικές διαδικασίες μέσα από μια σειρά προσεκτικά σχεδιασμένων συμβολικών αναπαραστάσεων γραμμών και κουτιών, απλουστεύεται η περιγραφή της κβαντικής μηχανικής και της κβαντικής πληροφορίας, καθιστώντας την κβαντική υπολογιστική προσιτή στους μαθητές και στους φοιτητές.

Συγγραφείς

Bob Coecke

«Δεν είμαι απλώς ένας κβαντικός φυσικός, είμαι επίσης ζωγράφος καθώς και καλλιτέχνης της βιομηχανικής μουσικής. Κατέληξα στην κβαντική φυσική επειδή ήθελα να υποστηρίξω τη μουσική μου καριέρα και την μπάντα μου, Black Tish. Έπιασα δουλειά στο τμήμα επιστήμης υπολογιστών του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης όταν, το 1990, μου είπαν ότι χρειάζονταν μια γλώσσα προγραμματισμού υψηλού επιπέδου για κβαντικούς υπολογιστές».

Ο Μπομπ Κούκε εργάστηκε είκοσι χρόνια στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης, στο οποίο έχτισε μια μεγάλη ομάδα ερευνητών αφιερωμένη στη δημιουργία ενός νέου εικονογραφικού τρόπου προσέγγισης της κβαντικής θεωρίας. Όταν η δουλειά του άρχισε να βρίσκει εφαρμογές στον πραγματικό κόσμο μέσω των ανερχόμενων κβαντικών τεχνολογιών, μετακόμισε στην Cambridge Quantum Computing (πλέον Quantinuum). Εκεί, είναι επιστημονικός διευθυντής στην έρευνα για την ανάπτυξη της κβαντικής επεξεργασίας της φυσικής γλώσσας και της κβαντικής τεχνητής νοημοσύνης.

Stefano Gogioso

«Είμαι μαθηματικός και επιστήμονας υπολογιστών. Έκανα το διδακτορικό μου στην Οξφόρδη με επιβλέποντα τον καθηγητή Coecke, αναπτύσσοντας νέους εικονογραφικούς τρόπους μελέτης των κινήσεων των κβαντικών σωματιδίων. Διδάσκω προχωρημένα μαθήματα στην κβαντική υπολογιστική στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης».

Ο Στέφανο Γκοτζόζο είναι μαθηματικός και επιστήμονας υπολογιστών. Έκανε το διδακτορικό του στην Οξφόρδη με επιβλέποντα καθηγητή τον Μπομπ Κούκε, αναπτύσσοντας νέους εικονογραφικούς τρόπους μελέτης των κβαντικών σωματιδίων, αλλά και των τρόπων που αυτά κινούνται. Είναι πλέον μέλος ΔΕΠ στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης, στο οποίο διδάσκει προχωρημένα μαθήματα πάνω στην κβαντική υπολογιστική. Είναι επίσης συνιδρυτής της βρετανικής startup Hashberg, όπου διευθύνει το κομμάτι της ανάπτυξης κβαντικών προγραμματιστικών εργαλείων υψηλού επιπέδου.

Μετάφραση: Βαρβάρα Πετανίδου

«…για την ανακάλυψη της Απαγορευτικής Αρχής, γνωστής και ως Αρχής του Pauli σύμφωνα με τον Born, η κβαντική μηχανική μας δίνει μόνο μια στατιστική περιγραφή». (Από την προσφώνηση στην τελετή απονομής του βραβείου Nobel, 13 Δεκεμβρίου 1946)»

Η ιστορία της ανακάλυψης της «απαγορευτικής αρχής», για την οποία μου απονεμήθηκε το βραβείο Νόμπελ το 1945, ξεκινάει από τα φοιτητικά μου χρόνια στο Μόναχο. Ενώ, στο σχολείο της Βιέννης, είχα ήδη αποκτήσει κάποιες γνώσεις κλασικής φυσικής και της νέας, τότε, θεωρίας της σχετικότητας του Αϊνστάιν, στο Πανεπιστήμιο του Μονάχου ο Sommerfeld, με εισήγαγε στη φυσική της δομής του ατόμου – που είναι κάπως παράξενη από την άποψη της κλασικής φυσικής. Δεν ξέφυγα από το σοκ που βίωσε κάθε φυσικός, συνηθισμένος στον κλασικό τρόπο σκέψης, όταν έμαθε για πρώτη φορά το «βασικό αξίωμα της κβαντικής θεωρίας» του Μπορ. Εκείνη την εποχή υπήρχαν δύο προσεγγίσεις στα δύσκολα προβλήματα που συνδέονταν με το κβάντο της δράσης. Η πρώτη ήταν μια προσπάθεια να μπει μια αφηρημένη τάξη στις νέες ιδέες, αναζητώντας ένα κλειδί για τη μετάφραση της κλασικής μηχανικής και της ηλεκτροδυναμικής σε κβαντική γλώσσα που θα αποτελούσε μια λογική γενίκευση αυτών. Προς αυτή την κατεύθυνση κινήθηκε η «αρχή της αντιστοιχίας» του Bohr. Ο Sommerfeld, ωστόσο, προτίμησε, ενόψει των δυσκολιών που εμπόδιζαν τη χρήση της έννοιας των μοντέλων της κινηματικής, μια άμεση ερμηνεία, όσο το δυνατόν πιο ανεξάρτητη από τα μοντέλα, των νόμων των φασμάτων μέσω ακεραίων αριθμών, ακολουθώντας, όπως έκανε κάποτε ο Kepler στην έρευνά του για το πλανητικό σύστημα, μια εσωτερική αίσθηση της αρμονίας. Και οι δύο μέθοδοι, που δεν μου φαίνονταν ασυμβίβαστες, με επηρέασαν. Η σειρά των ακέραιων αριθμών 2, 8, 18, 32… που αντιστοιχούν στα μήκη των περιόδων στο φυσικό σύστημα των χημικών στοιχείων, συζητήθηκε με ζήλο στο Μόναχο, συμπεριλαμβανομένης της παρατήρησης του Σουηδού φυσικού Rydberg, ότι οι αριθμοί αυτοί έχουν την απλή μορφή 2n², αν το n παίρνει όλες τις ακέραιες τιμές. Ο Sommerfeld προσπάθησε ιδιαίτερα να συνδέσει τον αριθμό 8 με τον αριθμό των γωνιών ενός κύβου.

Μια νέα φάση της επιστημονικής μου ζωής άρχισε, όταν συνάντησα για πρώτη φορά προσωπικά τον Niels Bohr. Αυτό συνέβη το 1922, όταν έδωσε μια σειρά από προσκεκλημένες διαλέξεις στο Γκέτινγκεν, στις οποίες ανέφερε τις θεωρητικές έρευνές του σχετικά με το περιοδικό σύστημα των στοιχείων. Θα υπενθυμίσω μόνο εν συντομία ότι η ουσιαστική πρόοδος που σημειώθηκε από τις θεωρήσεις του Bohr εκείνη την εποχή ήταν η εξήγηση, μέσω του σφαιρικά συμμετρικού ατομικού μοντέλου, του σχηματισμού των ενδιάμεσων στοιβάδων του ατόμου και των γενικών ιδιοτήτων των σπάνιων γαιών. Το ερώτημα, ως προς το γιατί όλα τα ηλεκτρόνια σε ένα άτομο στη θεμελιώδη του κατάσταση δεν ήταν δεσμευμένα στην εσωτερική στιβάδα, είχε ήδη επισημανθεί από τον Bohr ως θεμελιώδες πρόβλημα, στα προηγούμενα έργα του. Στις διαλέξεις του στο Γκέτινγκεν ασχολήθηκε ιδιαίτερα με την συμπλήρωση αυτής της εσωτερικότερης στιβάδας Κ στο άτομο του ηλίου και την ουσιαστική σύνδεσή της με τα δύο διακριτά φάσματα του ηλίου, το φάσμα του ορθο- και το φάσμα του παρα-ηλίου. Ωστόσο, καμία πειστική εξήγηση για το φαινόμενο αυτό δεν μπορούσε να δοθεί με βάση την κλασική μηχανική. Μου έκανε μεγάλη εντύπωση ότι ο Bohr εκείνη την εποχή, και σε μεταγενέστερες συζητήσεις, αναζητούσε μια γενική εξήγηση που θα έπρεπε να ισχύει για την συμπλήρωση κάθε στιβάδας ηλεκτρονίων και στην οποία ο αριθμός 2 θεωρούνταν εξίσου σημαντικός με τον αριθμό 8 σε αντίθεση με την προσέγγιση του Sommerfeld.

Ακολουθώντας την πρόσκληση του Bohr, πήγα στην Κοπεγχάγη το φθινόπωρο του 1922, όπου κατέβαλα σοβαρή προσπάθεια να εξηγήσω το λεγόμενο «ανώμαλο φαινόμενο Zeeman», όπως ονόμαζαν οι φασματοσκόποι, ένα είδος διαχωρισμού των φασματικών γραμμών σε μαγνητικό πεδίο που διαφέρει από την κανονική τριπλέτα. Από τη μία πλευρά, ο ανώμαλος τύπος διαχωρισμού διεπόταν από όμορφους και απλούς νόμους και ο Landé είχε ήδη καταφέρει να βρει τον απλούστερο διαχωρισμό των φασματοσκοπικών όρων από τον παρατηρούμενο διαχωρισμό των γραμμών. Το πιο θεμελιώδες από τα αποτελέσματά του ήταν, με τον τρόπο αυτό, η χρήση των ημιακέραιων αριθμών ως μαγνητικών κβαντικών αριθμών για τα φάσματα διπλασιασμού των αλκαλικών μετάλλων. Από την άλλη πλευρά, o ανώμαλος διαχωρισμός ήταν δύσκολα κατανοητός από τη σκοπιά του μηχανικού μοντέλου του ατόμου, δεδομένου ότι πολύ γενικές παραδοχές σχετικά με το ηλεκτρόνιο, χρησιμοποιώντας την κλασική θεωρία καθώς και την κβαντική θεωρία, οδηγούσαν πάντα στην ίδια τριπλέτα. Μια πιο λεπτομερής διερεύνηση αυτού του προβλήματος μου άφησε την αίσθηση ότι ήταν ακόμη πιο απρόσιτο. Γνωρίζουμε τώρα ότι εκείνη την εποχή βρισκόταν κανείς αντιμέτωπος ταυτόχρονα με δύο λογικά διαφορετικές δυσκολίες. Ένα βασικό πρόβλημα ήταν η απουσία μιας γενικής αρχής ή «κλείδας» για τη μετάφραση ενός δεδομένου μηχανικού προτύπου στη κβαντική θεωρία. Οι προσπάθειες να επιτευχθεί αυτό μέσω της κλασικής μηχανικής για την περιγραφή των στάσιμων κβαντικών καταστάσεων απέβησαν μάταιες. Η δεύτερη δυσκολία ήταν η άγνοιά μας σχετικά με το κατάλληλο κλασικό πρότυπο, το οποίο θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για να προκύψει, έστω και θεωρητικά, ένας ανώμαλος διαχωρισμός των φασματικών γραμμών που εκπέμπονται από ένα άτομο μέσα σε εξωτερικό μαγνητικό πεδίο. Επομένως, δεν αποτελεί έκπληξη το γεγονός ότι δεν μπόρεσα να βρω μια ικανοποιητική λύση του προβλήματος εκείνη τη στιγμή. Κατόρθωσα, ωστόσο, να γενικεύσω την ανάλυση των όρων του Landé για πολύ ισχυρά μαγνητικά πεδία², μια περίπτωση η οποία, ως αποτέλεσμα του μαγνητο-οπτικού μετασχηματισμού (φαινόμενο Paschen-Back), είναι από πολλές απόψεις απλούστερη. Αυτή η πρώιμη εργασία είχε αποφασιστική σημασία για την εύρεση της απαγορευτικής αρχής.

Πολύ σύντομα, μετά την επιστροφή μου στο Πανεπιστήμιο του Αμβούργου, το 1923, έδωσα εκεί την εναρκτήρια διάλεξή μου ως ιδιώτης διδάσκων (Σ.τ.Μ.: Γερμανικά στο κείμενο. Privatdozent) για το Περιοδικό Σύστημα των Στοιχείων. Το περιεχόμενο αυτής της διάλεξης δεν μου φάνηκε αρκετά ικανοποιητικό, καθώς το πρόβλημα της πλήρους συμπλήρωσης των ηλεκτρονικών στοιβάδων δεν είχε διευκρινιστεί περαιτέρω. Το μόνο σαφές πράγμα, ήταν ότι πρέπει να υπάρχει μια στενότερη σχέση αυτού του προβλήματος με τη θεωρία της δομής των πολλαπλοτήτων. Προσπάθησα, λοιπόν, να εξετάσω ξανά, με κριτική σκέψη, την απλούστερη περίπτωση της δομής των διπλών γραμμών των φασμάτων των αλκαλίων. Σύμφωνα με την τότε ορθόδοξη άποψη, την οποία είχε υιοθετήσει και ο Bohr στις ήδη αναφερθείσες διαλέξεις του στο Göttingen, μια μη μηδενική στροφορμή του ατομικού πυρήνα υποτίθεται ότι ήταν η αιτία αυτής της δομής των διπλών γραμμών.

Το φθινόπωρο του 1924 δημοσίευσα μερικά επιχειρήματα εναντίον αυτής της άποψης, την οποία απέρριψα οριστικά ως λανθασμένη και πρότεινα αντί αυτών, την παραδοχή μιας νέας κβαντικής θεώρησης της ιδιότητας του ηλεκτρονίου, την οποία αποκάλεσα «μη κλασικά περιγράψιμo δίτιμο χαρακτήρα»³. Εκείνη την εποχή εμφανίστηκε μια εργασία του Άγγλου φυσικού Stoner⁴, η οποία περιείχε, εκτός από βελτιώσεις στην ταξινόμηση των ηλεκτρονίων σε υποομάδες, την ακόλουθη ουσιώδη παρατήρηση: για µια δεδοµένη τιµή του κύριου κβαντικού αριθµού, ο αριθµός των ενεργειακών επιπέδων ενός και µόνο ηλεκτρονίου στο φάσµα των αλκαλίων µετάλλων σε εξωτερικό µαγνητικό πεδίο, είναι ο ίδιος µε τον αριθµό των ηλεκτρονίων στην συμπληρωμένη στιβάδα των σπάνιων αερίων που αντιστοιχεί σε αυτόν τον κύριο κβαντικό αριθµό.

Με βάση τα προηγούμενα αποτελέσματά μου σχετικά με την ταξινόμηση των φασματικών όρων σε ισχυρό μαγνητικό πεδίο, η γενική διατύπωση της απαγορευτικής αρχής έγινε σαφής για μένα. Η θεμελιώδης ιδέα μπορεί να διατυπωθεί με τον ακόλουθο τρόπο: οι περίπλοκοι αριθμοί των ηλεκτρονίων σε πλήρως κατειλημμένες υποομάδες ανάγονται στον απλό αριθμό ένα, αν η διαίρεση των ομάδων δίνοντας τις τιμές των τεσσάρων κβαντικών αριθμών ενός ηλεκτρονίου προχωρήσει τόσο πολύ ώστε να αρθεί κάθε εκφυλισμός. Μια εντελώς μη εκφυλισμένη ενεργειακή στάθμη είναι ήδη «κατειλημμένη», αν καταλαμβάνεται από ένα μόνο ηλεκτρόνιο- καταστάσεις που έρχονται σε αντίθεση με αυτό το αξίωμα πρέπει να αποκλείονται. Η έκθεση αυτής της γενικής διατύπωσης της απαγορευτικής αρχής έγινε στο Αμβούργο την άνοιξη του 1925⁵, αφού μπόρεσα να επαληθεύσω ορισμένα πρόσθετα συμπεράσματα σχετικά με το ανώμαλο φαινόμενο Zeeman σε πιο περίπλοκα άτομα κατά τη διάρκεια μιας επίσκεψης στο Tübingen με τη βοήθεια του φασματοσκοπικού υλικού που συγκεντρώθηκε εκεί.

Με εξαίρεση τους ειδικούς στην ταξινόμηση των φασματικών όρων, οι φυσικοί δυσκολεύονταν να κατανοήσουν την απαγορευτική αρχή, δεδομένου ότι ο τέταρτος βαθμός ελευθερίας του ηλεκτρονίου δεν είχε κανένα νόημα από την άποψη ενός μοντέλου. Το κενό καλύφθηκε από την ιδέα των Uhlenbeck και Goudsmit για το σπιν του ηλεκτρονίου⁶, η οποία κατέστησε δυνατή την κατανόηση του ανώμαλου φαινομένου Zeeman υποθέτοντας απλώς ότι ο κβαντικός αριθμός σπιν ενός ηλεκτρονίου είναι ίσος με 1/2 και ότι το πηλίκο της μαγνητικής ροπής προς τη μηχανική στροφορμή έχει για το σπιν τιμή διπλάσια από εκείνη της συνήθους τροχιάς του ηλεκτρονίου. Από τότε, η απαγορευτική αρχή έχει συνδεθεί στενά με την ιδέα του σπιν. Παρόλο που στην αρχή αμφέβαλλα έντονα για την ορθότητα αυτής της ιδέας λόγω του κλασικού-μηχανικού χαρακτήρα της, τελικά στράφηκα σε αυτήν από τους υπολογισμούς του Thomas⁷ σχετικά με το μέγεθος του διαχωρισμού της διπλής γραμμής. Από την άλλη πλευρά, οι προηγούμενες αμφιβολίες μου, καθώς και η προσεκτική έκφραση «κλασικά μη περιγράψιμο δίτιμο χαρακτήρα» γνώρισαν μια ορισμένη επαλήθευση κατά τη διάρκεια των μεταγενέστερων εξελίξεων, αφού ο Bohr μπόρεσε να δείξει με βάση την κυματομηχανική ότι το σπιν του ηλεκτρονίου δεν μπορεί να μετρηθεί με πειράματα που μπορούν να περιγραφούν κλασικά (όπως, για παράδειγμα, η εκτροπή μοριακών δεσμών σε εξωτερικά ηλεκτρομαγνητικά πεδία) και επομένως πρέπει να θεωρηθεί ως μια ουσιαστικά κβαντομηχανική ιδιότητα του ηλεκτρονίου^8,9.

Οι μετέπειτα εξελίξεις καθορίστηκαν από την εμφάνιση της νέας κβαντομηχανικής. Το 1925, την ίδια χρονιά που δημοσίευσα την εργασία μου για την απαγορευτική αρχή, ο De Broglie διατύπωσε την ιδέα του για τα υλικά κύματα και ο Heisenberg τη νέα μηχανική μητρών, ενώ τον επόμενο χρόνο ακολούθησε γρήγορα η κυματομηχανική του Schrödinger. Είναι προς το παρόν περιττό να τονιστεί η σημασία και ο θεμελιώδης χαρακτήρας αυτών των ανακαλύψεων, πολύ περισσότερο όταν οι ίδιοι αυτοί οι φυσικοί έχουν εξηγήσει, εδώ στη Στοκχόλμη, το νόημα των κορυφαίων ιδεών τους¹⁰. Ούτε ο χρόνος μου επιτρέπει να παρουσιάσω λεπτομερώς τη γενική επιστημολογική σημασία του νέου κλάδου της κβαντομηχανικής, πράγμα που έχει γίνει, μεταξύ άλλων, σε μια σειρά άρθρων του Bohr, χρησιμοποιώντας εδώ την ιδέα της «συμπληρωματικότητας» ως νέα κεντρική έννοια¹¹. Θα υπενθυμίσω μόνο, ότι οι προτάσεις της κβαντομηχανικής αφορούν μόνο τις δυνατότητες και όχι τις πραγματικότητες. Έχουν τη µορφή «Αυτό δεν είναι δυνατόν» ή «Είτε αυτό είτε εκείνο είναι δυνατόν», αλλά ποτέ δεν µπορούν να πουν «Αυτό θα συµβεί πραγµατικά τότε και εκεί». Η πραγματική παρατήρηση εμφανίζεται ως ένα γεγονός εκτός του εύρους περιγραφής μέσω φυσικών νόμων και επιφέρει γενικά μια ασυνεχή επιλογή από τις διάφορες δυνατότητες που προβλέπονται από τους στατιστικούς νόμους της νέας θεωρίας. Μόνο αυτή η εγκατάλειψη των παλαιότερων αξιώσεων, για μια αντικειμενική περιγραφή των φυσικών φαινομένων, ανεξάρτητη από τον τρόπο παρατήρησής τους, κατέστησε δυνατή την επαναφορά της εσωτερικής συνέπειας της κβαντικής θεωρίας, η οποία στην πραγματικότητα είχε χαθεί μετά την ανακάλυψη του κβάντου δράσης από τον Planck. Χωρίς να συζητήσω περαιτέρω την αλλαγή στάσης της σύγχρονης φυσικής απέναντι σε έννοιες όπως η «αιτιότητα» και η «φυσική πραγματικότητα» σε σύγκριση με την παλαιότερη κλασική φυσική, θα συζητήσω πιο συγκεκριμένα στη συνέχεια τη θέση της απαγορευτικής αρχής στη νέα κβαντομηχανική.

Όπως έδειξε για πρώτη φορά ο Heisenberg¹² , η μηχανική κυμάτων οδηγεί σε ποιοτικά συμπεράσματα διαφορετικά για σωματίδια του ίδιου είδους (για παράδειγμα για ηλεκτρόνια) σε σχέση με σωματίδια διαφορετικών ειδών. Ως συνέπεια της αδυναμίας διάκρισης τού ενός από πολλά όμοια σωματίδια, οι κυματοσυναρτήσεις που περιγράφουν το σύνολο ενός συγκεκριμένου αριθμού όμοιων σωματιδίων στον γενικευμένο χώρο καταστάσεων, διαχωρίζονται αυστηρά σε διαφορετικές κατηγορίες συμμετρίας που δεν μπορούν ποτέ να μετασχηματιστούν από τη μία στην άλλη μέσω εξωτερικών διαταραχών. Ο όρος «γενικευμένος χώρος καταστάσεων» περιλαμβάνει τον βαθμό ελευθερίας του σπιν, ο οποίος περιγράφεται στην κυματοσυνάρτηση ενός μεμονωμένου σωματιδίου από έναν δείκτη με πεπερασμένο μόνο αριθμό δυνατών τιμών. Για τα ηλεκτρόνια ο αριθμός αυτός είναι ίσος με δύο. Ο χώρος διαμόρφωσης Ν ηλεκτρονίων έχει, επομένως, 3 Ν διαστάσεις και Ν δείκτες «διπλών τιμών». Μεταξύ των διαφόρων κατηγοριών συμμετρίας, οι σημαντικότερες (οι οποίες άλλωστε για δύο σωματίδια είναι οι μόνες) είναι η συμμετρική, στην οποία η κυματοσυνάρτηση δεν αλλάζει την τιμή της, όταν οι συντεταγμένες χώρου και σπιν δύο σωματιδίων μετατίθενται αμοιβαία, και η αντισυμμετρική κατηγορία, στην οποία για μια τέτοια μετάθεση, η κυματοσυνάρτηση αλλάζει το πρόσημό της. Σε αυτό το στάδιο της θεωρίας τρεις διαφορετικές υποθέσεις αποδείχθηκαν λογικά δυνατές σχετικά με το πραγματικό σύνολο πολλών ομοειδών σωματιδίων στη Φύση.

I.    Το σύνολο είναι ένα μείγμα όλων των τύπων συμμετρίας.

II.   Εμφανίζεται μόνο η περίπτωση συμμετρικών σωματιδίων.

III.  Εμφανίζεται μόνο η περίπτωση αντισυμμετρικών σωματιδίων.

Όπως θα δούμε, η πρώτη υπόθεση δεν πραγματοποιείται ποτέ στη Φύση. Επιπλέον, μόνο η τρίτη υπόθεση είναι σύμφωνη με την απαγορευτική αρχή, αφού μια αντισυμμετρική συνάρτηση που περιέχει δύο σωματίδια στην ίδια κατάσταση είναι ταυτοτικά μηδενική. Η υπόθεση ΙΙΙ μπορεί, επομένως, να θεωρηθεί ως η ορθή και γενική διατύπωση της απαγορευτικής αρχής, σύμφωνα με την κυματομηχανική. Αυτή η δυνατότητα ισχύει πράγματι για τα ηλεκτρόνια.

Η κατάσταση αυτή μου φάνηκε απογοητευτική από μια σημαντική άποψη. Ήδη στην αρχική μου εργασία είχα τονίσει το γεγονός ότι δεν ήμουν σε θέση να δώσω μια λογική αιτία για την απαγορευτική αρχή ή να την εξάγω από γενικότερες υποθέσεις. Είχα πάντοτε την αίσθηση, και την έχω ακόμη και σήμερα, ότι αυτό είναι μια ανεπάρκεια. Βέβαια, στην αρχή ήλπιζα ότι η νέα κβαντομηχανική, με τη βοήθεια της οποίας ήταν δυνατόν να εξαχθούν τόσοι πολλοί ημι-εμπειρικοί τυπικοί κανόνες που χρησιμοποιούνταν τότε, θα εξαγάγει με αυστηρότητα και την απαγορευτική αρχή. Αντί γι’ αυτήν υπήρχε για τα ηλεκτρόνια ακόμη μια απαγόρευση: όχι πια συγκεκριμένων καταστάσεων, αλλά ολόκληρων τάξεων καταστάσεων, δηλαδή η απαγόρευση όλων των τάξεων που διαφέρουν από την αντισυμμετρική. Η εντύπωση ότι η σκιά κάποιας ατέλειας έπεσε πάνω στο λαμπρό φως της επιτυχίας της νέας κβαντομηχανικής, μου φαίνεται αναπόφευκτη. Θα επανέλθουμε σε αυτό το πρόβλημα όταν θα συζητήσουμε τη σχετικιστική κβαντομηχανική, αλλά επιθυμούμε να δώσουμε πρώτα έναν απολογισμό περαιτέρω αποτελεσμάτων της εφαρμογής της κυματομηχανικής σε συστήματα πολλών ομοειδών σωματιδίων.

Στην εργασία του, την οποία συζητάμε, ο Heisenberg, μπόρεσε επίσης να δώσει μια απλή εξήγηση για την ύπαρξη των δύο διακριτών φασμάτων του ηλίου που ανέφερα στην αρχή αυτής της διάλεξης. Πράγματι, εκτός από τον αυστηρό διαχωρισμό των κυματοσυναρτήσεων σε τάξεις συμμετρίας ως προς τις συντεταγμένες χώρου και τους δείκτες σπιν μαζί, υπάρχει και ένας προσεγγιστικός διαχωρισμός σε τάξεις συμμετρίας ως προς τις συντεταγμένες χώρου μόνο. Ο τελευταίος ισχύει μόνο, εφόσον μπορεί να παραμεληθεί μια αλληλεπίδραση μεταξύ του σπιν και της τροχιακής κίνησης του ηλεκτρονίου. Με αυτόν τον τρόπο τα φάσματα παρα- και ορθο-ηλίου θα μπορούσαν να ερμηνευθούν ως μέρη της τάξης των συμμετρικών και αντισυμμετρικών κυματοσυναρτήσεων αντίστοιχα, μόνο ως προς τις συντεταγμένες χώρου. Έγινε σαφές ότι η ενεργειακή διαφορά μεταξύ των αντίστοιχων επιπέδων των δύο τάξεων δεν έχει καμία σχέση με τις μαγνητικές αλληλεπιδράσεις, αλλά με μια νέου τύπου, πολύ μεγαλύτερης τάξης μεγέθους, η οποία ονομάζεται ενέργεια ανταλλαγής.

Πιο θεμελιώδη σημασία έχει η σύνδεση των τάξεων συμμετρίας με γενικά προβλήματα της στατιστικής θεωρίας της θερμότητας. Όπως είναι γνωστό, η θεωρία αυτή οδηγεί στο αποτέλεσμα ότι η εντροπία ενός συστήματος δίνεται (εκτός από έναν σταθερό παράγοντα) από τον λογάριθμο του αριθμού των κβαντικών καταστάσεων ολόκληρου του συστήματος σε μια λεγόμενη ενεργειακή στοιβάδα. Θα περίμενε κανείς, αρχικά, ότι ο αριθμός αυτός θα έπρεπε να είναι ίσος με τον αντίστοιχο όγκο του πολυδιάστατου χώρου φάσεων διαιρεμένου με hf , όπου h είναι η σταθερά του Planck και f ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας ολόκληρου του συστήματος. Ωστόσο, αποδείχθηκε ότι για ένα σύστημα N ομοειδών σωματιδίων, έπρεπε ακόμη να διαιρέσει κανείς αυτό το πηλίκο με το N! προκειμένου να λάβει μια τιμή για την εντροπία, σύμφωνα με τη συνηθισμένη αρχή της ομοιογένειας ότι η εντροπία πρέπει να είναι ανάλογη της μάζας για μια δεδομένη εσωτερική κατάσταση του υλικού. Με αυτόν τον τρόπο, μια ποιοτική διάκριση μεταξύ όμοιων και ανόμοιων σωματιδίων είχε ήδη προαποφασιστεί στη γενική στατιστική μηχανική, μια διάκριση την οποία ο Gibbs προσπάθησε να εκφράσει με τις έννοιες της γενικής και της ειδικής φάσης. Υπό το πρίσμα του αποτελέσματος της κυματομηχανικής σχετικά με τις τάξεις συμμετρίας, αυτή η διαίρεση δια N! , που είχε ήδη προκαλέσει πολλές συζητήσεις, μπορεί εύκολα να ερμηνευθεί με την αποδοχή μιας από τις υποθέσεις μας II και III, σύμφωνα με τις οποίες η μια τάξη συμμετρίας εμφανίζεται στη Φύση. Η πυκνότητα των κβαντικών καταστάσεων ολόκληρου του συστήματος γίνεται τότε, πραγματικά, μικρότερη κατά έναν παράγοντα N! σε σύγκριση με την πυκνότητα που έπρεπε να αναμένεται σύμφωνα με μια υπόθεση του τύπου Ι που δέχεται όλες τις τάξεις συμμετρίας.

Ακόμη και για ένα ιδανικό αέριο, στο οποίο η ενέργεια αλληλεπίδρασης μεταξύ των μορίων μπορεί να παραληφθεί, πρέπει να αναμένονται αποκλίσεις από τη συνήθη καταστατική εξίσωση για τον λόγο ότι μόνο μία κατηγορία συμμετρίας είναι δυνατή, μόλις το μέσο μήκος κύματος De Broglie ενός μορίου αερίου γίνει μιας τάξης μεγέθους συγκρίσιμης με τη μέση απόσταση μεταξύ δύο μορίων, δηλαδή για μικρές θερμοκρασίες και μεγάλες πυκνότητες. Για την αντισυμμετρική κατηγορία, οι στατιστικές συνέπειες έχουν εξαχθεί από τους Fermi και Dirac¹³, ενώ για τη συμμετρική κατηγορία το ίδιο είχε γίνει ήδη πριν από την ανακάλυψη της νέας κβαντομηχανικής από τους Einstein και Bose¹⁴. Η πρώτη περίπτωση μπορούσε να εφαρμοστεί στα ηλεκτρόνια ενός μετάλλου και να χρησιμοποιηθεί για την ερμηνεία των μαγνητικών και άλλων ιδιοτήτων των μετάλλων.

Μόλις ξεκαθαρίστηκαν οι τάξεις συμμετρίας για τα ηλεκτρόνια, προέκυψε το ερώτημα ποιες είναι οι τάξεις συμμετρίας για τα άλλα σωματίδια. Ένα παράδειγμα για σωματίδια με συμμετρικές κυματοσυναρτήσεις μόνο (υπόθεση ΙΙ) ήταν ήδη γνωστό εδώ και πολύ καιρό, και συγκεκριμένα τα φωτόνια. Αυτό δεν είναι μόνο μια άμεση συνέπεια της εξαγωγής από τον Planck της φασματικής κατανομής της ενέργειας της ακτινοβολίας στη θερμοδυναμική ισορροπία, αλλά είναι επίσης απαραίτητο για τη δυνατότητα εφαρμογής των κλασικών πεδιακών εννοιών στα φωτεινά κύματα στο όριο όπου ένας μεγάλος, και όχι επακριβώς καθορισμένος αριθμός φωτονίων, υπάρχει σε μια ενιαία κβαντική κατάσταση. Σημειώνουμε ότι η συμμετρική τάξη για τα φωτόνια εμφανίζεται μαζί με την ακέραια τιμή 1 για το σπιν τους, ενώ η αντισυμμετρική για το ηλεκτρόνιο εμφανίζεται μαζί με τη μισή ακέραια τιμή 1/2 για το σπιν.

Ωστόσο, το σημαντικό ζήτημα των κατηγοριών συμμετρίας για τους πυρήνες έπρεπε ακόμη να διερευνηθεί. Φυσικά η κατηγορία συμμετρίας αναφέρεται εδώ και στην αμοιβαία μετάθεση τόσο των συντεταγμένων χώρου, όσο και των δεικτών σπιν δύο όμοιων πυρήνων. Ο δείκτης σπιν μπορεί να πάρει 2Ι+1 τιμές αν Ι είναι ο κβαντικός αριθμός σπιν του πυρήνα που μπορεί να είναι είτε ακέραιος, είτε ημιακέραιος. Μπορώ να συμπεριλάβω την ιστορική παρατήρηση ότι ήδη από το 1924, πριν ανακαλυφθεί το σπιν του ηλεκτρονίου, πρότεινα να χρησιμοποιηθεί η παραδοχή του πυρηνικού σπιν για να ερμηνευθεί η υπέρλεπτη υφή των φασματικών γραμμών¹⁵. Η πρόταση αυτή συνάντησε από τη μια έντονες αντιδράσεις από πολλές πλευρές, αλλά επηρέασε από την άλλη τους Goudsmit και Uhlenbeck στον ισχυρισμό τους για την ύπαρξη του σπιν του ηλεκτρονίου. Μόνο μερικά χρόνια αργότερα η προσπάθειά μου να ερμηνεύσω την υπέρλεπτη υφή κατάφερε να επιβεβαιωθεί οριστικά, πειραματικά, με έρευνες στις οποίες συμμετείχε και ο ίδιος ο Zeeman και οι οποίες έδειξαν την ύπαρξη ενός μαγνητο-οπτικού μετασχηματισμού της υπέρλεπτης υφής, όπως το είχα προβλέψει. Από τότε η υπέρλεπτη υφή των φασματικών γραμμών έγινε μια γενική μέθοδος προσδιορισμού του πυρηνικού σπιν.

Προκειμένου να προσδιοριστεί πειραματικά και η κατηγορία συμμετρίας των πυρήνων, χρειάστηκαν άλλες μέθοδοι. Η πιο βολική, αν και όχι η μόνη, συνίσταται στη διερεύνηση των συνεχών φασμάτων που εμφανίζονται σε ένα μόριο με δύο όµοια άτοµα ¹⁶. Θα μπορούσε εύκολα να εξαχθεί ότι στη θεμελιώδη κατάσταση της ηλεκτρονιακής δομής ενός τέτοιου μορίου οι καταστάσεις με άρτιες και περιττές τιμές του κβαντικού αριθμού περιστροφής είναι συμμετρικές και αντισυμμετρικές αντίστοιχα για μια αμοιβαία μετάθεση των χωρικών συντεταγμένων των δύο πυρήνων. Περαιτέρω, υπάρχουν μεταξύ των (2Ι+1)² καταστάσεων σπιν του ζεύγους των πυρήνων, (2Ι+1)Ι καταστάσεις συμμετρικές και (2Ι+1)Ι καταστάσεις αντισυμμετρικές ως προς τα σπιν, αφού οι (2Ι+1)Ι καταστάσεις με δύο σπιν στην ίδια κατεύθυνση είναι αναγκαστικά συμμετρικές. Ως εκ τούτου, προέκυψε το συμπέρασμα: αν η συνολική κυματοσυνάρτηση των χωρικών συντεταγμένων και του σπιν των πυρήνων είναι συμμετρική, ο λόγος του στατιστικού βάρους των καταστάσεων με άρτιο κβαντικό αριθμό περιστροφής προς το στατιστικό βάρος των καταστάσεων με περιττό κβαντικό αριθμό περιστροφής δίνεται από το (Ι+1)/Ι . Στην αντίστροφη περίπτωση μιας αντισυμμετρικής συνολικής κυματοσυνάρτησης των πυρήνων, ο ίδιος λόγος είναι Ι/(Ι+1) . Οι μεταβάσεις μεταξύ μιας κατάστασης με άρτιο και μιας άλλης κατάστασης με περιττό κβαντικό αριθμό περιστροφής θα είναι εξαιρετικά σπάνιες, καθώς μπορούν να προκληθούν μόνο από μια αλληλεπίδραση μεταξύ των τροχιακών κινήσεων και των σπιν των πυρήνων. Επομένως, ο λόγος των στατιστικών βαρών των περιστροφικών καταστάσεων με διαφορετική ομοτιμία θα οδηγήσει σε δύο διαφορετικά συστήματα συνεχών φασμάτων με διαφορετικές εντάσεις, οι γραμμές των οποίων εναλλάσσονται.

Το αποτέλεσμα της πρώτης εφαρμογής αυτής της μεθόδου ήταν ότι τα πρωτόνια έχουν σπιν 1/2 και πληρούν την απαγορευτική αρχή, όπως ακριβώς και τα ηλεκτρόνια. Οι αρχικές δυσκολίες για την ποσοτική κατανόηση της ειδικής θερμότητας των μορίων υδρογόνου σε χαμηλές θερμοκρασίες εξαλείφθηκαν με την υπόθεση του Dennison¹⁷, ότι σε αυτή τη χαμηλή θερμοκρασία η θερμική ισορροπία μεταξύ των δύο παραλλαγών του μορίου υδρογόνου (ορθο-Η₂: περιττοί κβαντικοί αριθμοί περιστροφής, παράλληλα σπιν πρωτονίων- παρα-H₂: άρτιοι κβαντικοί αριθμοί περιστροφής, αντιπαράλληλα σπιν) δεν είχε επιτευχθεί ακόμη. Ως γνωστόν, η υπόθεση αυτή επιβεβαιώθηκε αργότερα, από τα πειράματα των Bonhoeffer και Harteck και του Eucken, τα οποία έδειξαν τη θεωρητικά προβλεπόμενη αργή μετατροπή της μιας παραλλαγής στην άλλη.

Μεταξύ των κατηγοριών συμμετρίας για άλλους πυρήνες, εκείνες με διαφορετική ομοτιμία του μαζικού τους αριθμού M και του ατομικού τους αριθμού Z είναι ιδιαίτερου ενδιαφέροντος. Αν θεωρήσουμε ένα σύνθετο σύστημα αποτελούμενο από αριθμούς Α1, Α2, . . . διαφορετικών στοιχείων, καθένα από τα οποία πληροί την απαγορευτική αρχή, και έναν αριθμό S στοιχείων με συμμετρικές καταστάσεις, πρέπει να περιμένουμε συμμετρικές ή αντισυμμετρικές καταστάσεις αν το άθροισμα ΑΙ + Α2 + . . . είναι άρτιο ή περιττό. Αυτό ισχύει ανεξάρτητα από την ομοτιμία του . Παλαιότερα θεωρήθηκε πως οι πυρήνες αποτελούνται από πρωτόνια και ηλεκτρόνια, οπότε M είναι ο αριθμός των πρωτονίων, M-Z ο αριθμός των νετρονίων στον πυρήνα. Τότε έπρεπε να αναμένεται ότι η ομοτιμία του Z καθορίζει την τάξη συμμετρίας ολόκληρου του πυρήνα. Ήδη, εδώ και αρκετό καιρό, είναι γνωστό το αντιπαράδειγμα του αζώτου που έχει σπιν I=1 και συμμετρικές καταστάσεις¹⁸. Μετά την ανακάλυψη του νετρονίου, οι πυρήνες θεωρήθηκαν, ωστόσο, ότι αποτελούνται από πρωτόνια και νετρόνια κατά τρόπο, ώστε ένας πυρήνας με μαζικό αριθμό M και ατομικό αριθμό Z να αποτελείται από Z πρωτόνια και M-Z νετρόνια. Στην περίπτωση που τα νετρόνια θα είχαν συμμετρικές καταστάσεις, θα έπρεπε και πάλι να περιμένουμε ότι η ομοτιμία του ατομικού αριθμού Z καθορίζει την τάξη συμμετρίας των πυρήνων. Εάν, ωστόσο, τα νετρόνια ικανοποιούν την απαγορευτική αρχή, θα πρέπει να αναμένεται ότι η ομοτιμία του M καθορίζει την τάξη συμμετρίας : για ένα άρτιο M, θα πρέπει να έχουμε πάντα συμμετρικές καταστάσεις, για ένα περιττό M, αντισυμμετρικές. Ο τελευταίος κανόνας επιβεβαιώθηκε από το πείραμα χωρίς εξαίρεση, αποδεικνύοντας έτσι ότι τα νετρόνια ικανοποιούν την απαγορευτική αρχή .

Το σημαντικότερο και απλούστερο κρίσιμο παράδειγμα για έναν πυρήνα με διαφορετική ομοτιμία M και Z είναι το βαρύ υδρογόνο ή δευτερόνιο με M = 2 και Z = 1, το οποίο έχει συμμετρικές καταστάσεις και σπιν I = 1 , όπως αποδεικνύεται από τη διερεύνηση των ταινιωτών φασμάτων ενός μορίου με δύο δευτερόνια¹⁹. Από την τιμή του σπιν I του δευτερονίου μπορεί να συναχθεί το συμπέρασμα ότι το νετρόνιο πρέπει να έχει ημιακέραιο σπιν . Η απλούστερη δυνατή υπόθεση ότι το σπιν του νετρονίου είναι ίσο με 1/2, όπως ακριβώς και το σπιν του πρωτονίου και του ηλεκτρονίου, αποδείχθηκε σωστή.

Υπάρχει η ελπίδα ότι περαιτέρω πειράματα με ελαφρείς πυρήνες, ιδίως με πρωτόνια, νετρόνια και δευτερόνια, θα μας δώσουν επιπλέον πληροφορίες για τη φύση των δυνάμεων μεταξύ των συστατικών των πυρήνων, η οποία, προς το παρόν, δεν είναι ακόμη αρκετά σαφής. Ήδη, όμως, τώρα μπορούμε να πούμε ότι οι αλληλεπιδράσεις αυτές είναι θεμελιωδώς διαφορετικές από τις ηλεκτρομαγνητικές αλληλεπιδράσεις. Η σύγκριση μεταξύ της σκέδασης νετρονίου-πρωτονίου και της σκέδασης πρωτονίου-πρωτονίου έδειξε ακόμη ότι οι δυνάμεις μεταξύ αυτών των σωματιδίων είναι ίδιες κατά προσέγγιση, δηλαδή ανεξάρτητες από το ηλεκτρικό τους φορτίο. Αν έπρεπε να ληφθεί υπόψη μόνο το μέγεθος της ενέργειας αλληλεπίδρασης, θα έπρεπε συνεπώς να αναμένεται ένα σταθερό δι-πρωτόνιο ή M = 2, Z = 2 με σχεδόν την ίδια ενέργεια σύνδεσης με το δευτερόνιο. Μια τέτοια κατάσταση δεν επιτρέπεται, ωστόσο, από την απαγορευτική αρχή σύμφωνα με την εμπειρία, επειδή η κατάσταση αυτή θα αποκτούσε μια κυματοσυνάρτηση συμμετρική ως προς τα δύο πρωτόνια. Αυτό είναι μόνο το απλό παράδειγμα της εφαρμογής της απαγορευτικής αρχής στη δομή των σύνθετων πυρήνων, για την κατανόηση των οποίων η αρχή αυτή είναι απαραίτητη, διότι τα συστατικά αυτών των βαρύτερων πυρήνων, τα πρωτόνια και τα νετρόνια, την ικανοποιούν.

Προκειμένου να προετοιμαστούμε για τη συζήτηση πιο θεμελιωδών ζητημάτων, θέλουμε να τονίσουμε εδώ έναν νόμο της Φύσης που ισχύει γενικά, δηλαδή τη σχέση μεταξύ σπιν και τάξης συμμετρίας. Η ημιακέραια τιμή του κβαντικού αριθμού σπιν συνδέεται πάντα με αντισυμμετρικές καταστάσεις (απαγορευτική αρχή), μια ακέραια τιμή σπιν συνδέεται πάντα με συμμετρικές καταστάσεις. Ο νόμος αυτός ισχύει όχι μόνο για πρωτόνια και νετρόνια, αλλά και για πρωτόνια και ηλεκτρόνια. Επιπλέον, μπορεί εύκολα να φανεί ότι ισχύει και για σύνθετα συστήματα, αν ισχύει για όλα τα επιμέρους συστατικά τους. Αν αναζητήσουμε μια θεωρητική εξήγηση αυτού του νόμου, πρέπει να περάσουμε στη συζήτηση της σχετικιστικής κυματομηχανικής, αφού είδαμε ότι σίγουρα δεν μπορεί να εξηγηθεί από τη μη σχετικιστική κυματομηχανική.

Αρχικά εξετάζουμε τα κλασικά πεδία²⁰, τα οποία, όπως τα μονόμετρα μεγέθη, τα διανύσματα και οι τανυστές, μετασχηματίζονται σε σχέση με τις περιστροφές στον συνήθη χώρο σύμφωνα με μια μονοσήμαντη αναπαράσταση της ομάδας περιστροφής. Μπορούµε, στη συνέχεια, να ονοµάσουµε τα πεδία αυτά εν συντοµία «μονοσήμαντα» πεδία. Εφόσον δεν λαμβάνονται υπόψη αλληλεπιδράσεις διαφορετικών ειδών πεδίου, μπορούμε να υποθέσουμε ότι όλες οι συνιστώσες του πεδίου θα ικανοποιούν μια κυματική εξίσωση δεύτερης τάξης, επιτρέποντας την υπέρθεση επίπεδων κυμάτων ως γενική λύση. Η συχνότητα και ο κυματικός αριθμός αυτών των επίπεδων κυμάτων συνδέονται με έναν νόμο, ο οποίος, σύμφωνα με τη θεμελιώδη παραδοχή του De Broglie, μπορεί να προκύψει από τη σχέση μεταξύ ενέργειας και ορμής ενός σωματιδίου που ισχύει στη σχετικιστική μηχανική, με διαίρεση διά ενός σταθερού παράγοντα ίσου με τη σταθερά του Planck h διαιρεμένη με 2π. Επομένως, θα εμφανιστεί στις εξισώσεις του κλασικού πεδίου, μια νέα σταθερά μ με διάσταση αντίστροφου μήκους, με την οποία η μάζα ηρεμίας m στην σωματιδιακή εικόνα συνδέεται με τη σχέση m=hμ/c, όπου c είναι η ταχύτητα του φωτός στο κενό. Από την υποτιθέμενη ιδιότητα της μονοσήμαντης τιμής του πεδίου, προκύπτει το συμπέρασμα ότι ο αριθμός των πιθανών επίπεδων κυμάτων για δεδομένη συχνότητα, αριθμό κυμάτων και κατεύθυνση διάδοσης είναι πάντα περιττός, για μη μεταβαλλόμενο μ. Χωρίς να υπεισέλθουμε σε λεπτομέρειες του γενικού ορισμού του σπιν, μπορούμε να θεωρήσουμε αυτή την ιδιότητα της πόλωσης των επίπεδων κυμάτων ως χαρακτηριστική για πεδία τα οποία, ως αποτέλεσμα της κβάντωσής τους, δίνουν ακέραιες τιμές σπιν.

Οι απλούστερες περιπτώσεις μονοσήμαντων πεδίων, είναι το βαθμωτό πεδίο και ένα πεδίο που αποτελείται από ένα τετράνυσμα και έναν αντισυμμετρικό τανυστή, όπως τα δυναμικά και οι δυνάμεις πεδίου στη θεωρία του Maxwell. Ενώ το βαθμωτό πεδίο ικανοποιεί απλώς τη συνήθη κυματική εξίσωση δεύτερης τάξης στην οποία πρέπει να συμπεριληφθεί ο όρος που είναι ανάλογος του μ², το άλλο πεδίο πρέπει να ικανοποιήσει εξισώσεις που οφείλονται στον Proca και αποτελούν γενίκευση των εξισώσεων του Maxwell οι οποίες προκύπτουν στην ειδική περίπτωση όπου μ = 0. Είναι ικανοποιητικό ότι για αυτές τις απλούστερες περιπτώσεις μονοσήμαντων πεδίων, η πυκνότητα ενέργειας είναι μια θετικά ορισμένη τετραγωνική μορφή των πεδιακών μεγεθών και των πρώτων παραγώγων τους σε ένα ορισμένο σημείο. Για τη γενική περίπτωση των µονοσήµαντων πεδίων µπορεί τουλάχιστον να επιτευχθεί, ότι η συνολική ενέργεια που προκύπτει µετά την ολοκλήρωση στο χώρο είναι πάντα θετική.

Οι συνιστώσες του πεδίου μπορούν να θεωρηθούν είτε πραγματικές, είτε μιγαδικές. Για ένα μιγαδικό πεδίο, εκτός από την ενέργεια και την ορμή του πεδίου, μπορεί να οριστεί ένα τετράνυσμα το οποίο ικανοποιεί την εξίσωση συνέχειας και μπορεί να ερμηνευτεί ως το τετράνυσμα του ηλεκτρικού ρεύματος. Η τέταρτη συνιστώσα του καθορίζει την πυκνότητα του ηλεκτρικού φορτίου και μπορεί να λάβει τόσο θετικές, όσο και αρνητικές τιμές. Είναι πιθανό τα φορτισμένα μεσόνια που παρατηρούνται στις κοσμικές ακτίνες να έχουν ακέραια σπιν και έτσι να μπορούν να περιγραφούν από ένα τέτοιο σύνθετο πεδίο. Στην ειδική περίπτωση των πραγματικών πεδίων, αυτό το τετράνυσμα του ρεύματος είναι ταυτοτικά μηδέν.

Ιδιαίτερα, λαμβάνοντας υπόψη τις ιδιότητες της ακτινοβολίας στη θερμοδυναμική ισορροπία στην οποία δεν παίζουν κανένα ρόλο οι συγκεκριμένες ιδιότητες των πηγών του πεδίου, φάνηκε να δικαιολογείται, αρχικά, η παράβλεψη της αλληλεπίδρασης του πεδίου με τις πηγές, κατά την τυπική διαδικασία κβαντισμού του πεδίου. Αντιμετωπίζοντας αυτό το πρόβλημα, έγινε προσπάθεια να εφαρμοστεί η ίδια μαθηματική μέθοδος μετάβασης από ένα κλασικό σύστημα σε ένα αντίστοιχο σύστημα που διέπεται από τους νόμους της κβαντομηχανικής, η οποία ήταν τόσο επιτυχής κατά τη μετάβαση από την κλασική μηχανική των υλικών σημείων στην κυματομηχανική. Δεν πρέπει να ξεχνάμε, ωστόσο, ότι ένα πεδίο μπορεί να παρατηρηθεί μόνο με τη βοήθεια της αλληλεπίδρασής του με σώματα δοκιμής, τα οποία είναι με τη σειρά τους και τα ίδια πηγές του πεδίου.

Τα αποτελέσματα της τυπικής διαδικασίας κβαντισμού των πεδίων ήταν, εν μέρει, πολύ ενθαρρυντικά. Τα κβαντισμένα πεδία κυμάτων μπορούν να χαρακτηριστούν από μια κυματοσυνάρτηση, η οποία εξαρτάται από μια άπειρη ακολουθία (μη αρνητικών) ακεραίων, ως μεταβλητές. Καθώς η συνολική ενέργεια και η συνολική ορμή του πεδίου και επίσης, στην περίπτωση των μιγαδικών πεδίων, το συνολικό ηλεκτρικό φορτίο του αποδεικνύονται γραμμικές συναρτήσεις αυτών των αριθμών, μπορούν να ερμηνευθούν ως ο αριθμός των σωματιδίων που υπάρχουν σε μια συγκεκριμένη κατάσταση ενός μεμονωμένου σωματιδίου. Χρησιμοποιώντας μια ακολουθία γενικευμένων χώρων καταστάσεων με διαφορετικό αριθμό διαστάσεων που αντιστοιχούν στις διαφορετικές δυνατές τιμές του συνολικού αριθμού των παρόντων σωματιδίων, θα μπορούσε εύκολα να αποδειχθεί ότι η περιγραφή του συστήματός μας με μια κυματοσυνάρτηση που εξαρτάται από ακέραιους αριθμούς, είναι ισοδύναμη με ένα σύνολο σωματιδίων με κυματοσυναρτήσεις συμμετρικές στους χώρους διαμόρφωσής τους.

Επιπλέον, οι Bohr και Rosenfeld²¹ απέδειξαν στην περίπτωση του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου, ότι οι σχέσεις αβεβαιότητας που προκύπτουν για τις μέσες τιμές των εντάσεων του πεδίου σε πεπερασμένες περιοχές του χωροχρόνου από τους τυπικούς κανόνες μετάθεσης αυτής της θεωρίας, έχουν άμεσο φυσικό νόημα εφόσον οι πηγές μπορούν να αντιμετωπιστούν κλασικά και η ατομική τους δομή μπορεί να αγνοηθεί. Τονίζουμε την ακόλουθη ιδιότητα αυτών των κανόνων μετάθεσης: όλα τα φυσικά μεγέθη σε δύο χωροχρονικά σημεία , για τα οποία το τετράνυσμα της ευθείας που τα ενώνει είναι χωρικό, μετατίθενται μεταξύ τους. Αυτό είναι πράγματι απαραίτητο για φυσικούς λόγους, διότι οποιαδήποτε διαταραχή από μετρήσεις σε ένα χωροχρονικό σημείο P₁, μπορεί να φτάσει μόνο σε τέτοια χωροχρονικά σημεία P₂, για τα οποία το διάνυσμα P₁P₂, είναι χρονικό, δηλαδή για τα οποία c(t₁-t₂ ) > r₁₂ (όπου r₁₂ η χωρική απόσταση των δύο σημείων). Τα σημεία P₂ με διάνυσμα P₁P₂ που είναι χωρικό, για τα οποία c(t₁-t₂ ) > r₁₂, δεν μπορούν να προσεγγιστούν από αυτή τη διαταραχή και τότε οι μετρήσεις στα P₁ και P₂ δεν μπορούν ποτέ να αλληλοεπηρεαστούν.

Αυτή η συνέπεια, κατέστησε δυνατή τη διερεύνηση της δυνατότητας ύπαρξης σωματιδίων με ακέραιο σπιν, τα οποία θα υπάκουαν στην απαγορευτική αρχή. Τέτοια σωματίδια θα μπορούσαν να περιγραφούν από μια ακολουθία γενικευμένων χώρων καταστάσεων με διαφορετικές διαστάσεις και κυματοσυναρτήσεις αντισυμμετρικές στις συντεταγμένες αυτών των χώρων, ή ακόμα, από μια κυματοσυνάρτηση που εξαρτάται από ακέραιους αριθμούς όπου και πάλι πρέπει να ερμηνευθεί ως ο αριθμός των σωματιδίων που υπάρχουν σε συγκεκριμένες καταστάσεις, ο οποίος τώρα μπορεί να πάρει μόνο τις τιμές 0 ή 1. Οι Wigner και Jordan²² απέδειξαν ότι και σε αυτή την περίπτωση μπορούν να οριστούν τελεστές που είναι συναρτήσεις των συνηθισμένων χωροχρονικών συντεταγμένων και οι οποίοι μπορούν να εφαρμοστούν σε μια τέτοια κυματοσυνάρτηση. Οι τελεστές αυτοί δεν πληρούν πλέον κανόνες μετάθεσης: αντί για τη διαφορά, το άθροισμα των δύο πιθανών γινομένων δύο τελεστών, που διακρίνονται από τη διαφορετική τάξη των παραγόντων τους, καθορίζεται τώρα από τις μαθηματικές συνθήκες που πρέπει να πληρούν οι τελεστές. Η απλή αλλαγή του πρόσημου σε αυτές τις συνθήκες αλλάζει εντελώς το φυσικό νόημα του φορμαλισμού. Στην περίπτωση της απαγορευτικής αρχής δεν μπορεί ποτέ να υπάρξει μια οριακή περίπτωση όπου οι τελεστές αυτοί μπορούν να αντικατασταθούν από ένα κλασικό πεδίο. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον φορμαλισμό των Wigner και Jordan μπόρεσα να αποδείξω, υπό πολύ γενικές υποθέσεις, ότι μια σχετικιστικά αναλλοίωτη θεωρία που περιγράφει συστήματα ομοειδών σωματιδίων με ακέραιο σπιν που υπακούουν στην απαγορευτική αρχή, θα οδηγούσε πάντα στη μη μεταβλητότητα των φυσικών μεγεθών που συνδέονται με ένα χωρικό διάνυσμα²³. Αυτό θα παραβίαζε τη λογική φυσική αρχή που ισχύει για σωματίδια με συμμετρικές καταστάσεις. Κατ’ αυτόν τον τρόπο, με το συνδυασμό των ισχυρισμών της σχετικιστικής αναλλοίωτης κατάστασης και των ιδιοτήτων της κβάντωσης του πεδίου, θα μπορούσε να γίνει ένα βήμα προς την κατεύθυνση κατανόησης της σύνδεσης του σπιν και της τάξης συμμετρίας.

Η κβάντωση των μονοσήμαντων μιγαδικών πεδίων με ένα μη μηδενικό τετράνυσμα του ηλεκτρικού ρεύματος δίνει περαιτέρω το αποτέλεσμα, ότι πρέπει να υπάρχουν σωματίδια τόσο με θετικό, όσο και με αρνητικό ηλεκτρικό φορτίο και ότι μπορούν να εξαϋλωθούν και να δημιουργηθούν σε ένα εξωτερικό ηλεκτρομαγνητικό πεδίο²². Αυτή η δημιουργία και η εξαΰλωση ζεύγους που προβλέπεται από τη θεωρία, καθιστά αναγκαία τη σαφή διάκριση της έννοιας της πυκνότητας φορτίου και της πυκνότητας σωματιδίων. Η τελευταία έννοια δεν εμφανίζεται σε μια σχετικιστική κυματική θεωρία, ούτε για πεδία που φέρουν ηλεκτρικό φορτίο, ούτε για ουδέτερα πεδία. Αυτό είναι ικανοποιητικό, αφού η χρήση της εικόνας των σωματιδίων και των σχέσεων αβεβαιότητας (για παράδειγμα από τον ανάλυση νοητικών πειραμάτων του τύπου μικροσκοπίου ακτίνων-γ) δίνει επίσης το αποτέλεσμα ότι ένας εντοπισμός του σωματιδίου είναι δυνατός μόνο με περιορισμένη ακρίβεια²⁴ . Αυτό ισχύει τόσο για τα σωματίδια με ακέραιο όσο και με ημιακέραιο σπιν. Σε μια κατάσταση με μέση τιμή ενέργειας E, που περιγράφεται από ένα κυματοπακέτο με μέση συχνότητα ν = E/h, ένα σωματίδιο μπορεί να εντοπιστεί μόνο με σφάλμα Δx > hc/E ή Δx > c/ν. Για τα φωτόνια, προκύπτει ότι το όριο για τον εντοπισμό είναι το μήκος κύματος- για ένα σωματίδιο με πεπερασμένη μάζα ηρεμίας m και χαρακτηριστικό μήκος μ^-1= ℏ/mc, το όριο αυτό είναι στο σύστημα ηρεμίας του κέντρου του κυματοπακέτου που περιγράφει την κατάσταση των σωματιδίων που δίνεται από την σχέση Δx > ℏ/mc ή Δx > μ^-1.

Μέχρι τώρα έχω αναφέρει μόνο εκείνα τα αποτελέσματα της εφαρμογής της κβαντομηχανικής σε κλασικά πεδία τα οποία είναι ικανοποιητικά. Είδαμε ότι τα συμπεράσματα αυτής της θεωρίας για τους μέσους όρους της έντασης του πεδίου σε πεπερασμένες περιοχές του χωροχρόνου έχουν άμεση σημασία, ενώ αυτό δεν ισχύει για τις τιμές της έντασης του πεδίου σε ένα ορισμένο σημείο. Δυστυχώς, στην κλασική έκφραση της ενέργειας του πεδίου υπεισέρχονται μέσοι όροι των τετραγώνων των εντάσεων του πεδίου πάνω σε τέτοιες περιοχές, οι οποίοι δεν μπορούν να εκφραστούν με τους μέσους όρους των ίδιων των εντάσεων του πεδίου. Αυτό έχει ως συνέπεια η ενέργεια μηδενικού σημείου του κενού που προκύπτει από το κβαντισμένο πεδίο να γίνεται άπειρη, αποτέλεσμα που συνδέεται άμεσα με το γεγονός ότι το εξεταζόμενο σύστημα έχει άπειρο αριθμό βαθμών ελευθερίας. Είναι σαφές, ότι αυτή η ενέργεια μηδενικού σημείου δεν έχει καμία φυσική πραγματικότητα, για παράδειγμα δεν είναι η πηγή ενός βαρυτικού πεδίου. Τυπικά, είναι εύκολο να αφαιρέσει κανείς σταθερούς άπειρους όρους οι οποίοι είναι ανεξάρτητοι από την εξεταζόμενη κατάσταση και δεν αλλάζουν ποτέ- παρ’ όλα αυτά μου φαίνεται ότι, ήδη, αυτό το αποτέλεσμα είναι μια ένδειξη ότι θα χρειαστεί μια θεμελιώδης αλλαγή στις έννοιες που διέπουν την παρούσα θεωρία των κβαντισμένων πεδίων.

Προκειμένου να αποσαφηνίσω ορισμένες πτυχές της σχετικιστικής κβαντικής θεωρίας συζήτησα εδώ, διαφορετικά από την ιστορική σειρά των γεγονότων, πρώτα τα μονότιμα πεδία. Ήδη νωρίτερα ο Dirac²⁵ είχε διατυπώσει τις σχετικιστικές κυματικές εξισώσεις του που αντιστοιχούν σε υλικά σωματίδια με σπιν 1/2 χρησιμοποιώντας ένα ζεύγος των λεγόμενων σπινόρων με δύο συνιστώσες ο καθένας. Εφάρμοσε τις εξισώσεις αυτές στο πρόβλημα ενός ηλεκτρονίου σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Παρά τη μεγάλη επιτυχία της θεωρίας αυτής στην ποσοτική εξήγηση της λεπτής υφής των ενεργειακών επιπέδων του ατόμου του υδρογόνου και στον υπολογισμό της διατομής σκέδασης ενός φωτονίου από ένα ελεύθερο ηλεκτρόνιο, υπήρχε ένα αποτέλεσμα της θεωρίας αυτής που προφανώς ερχόταν σε αντίθεση με την εμπειρία. Η ενέργεια του ηλεκτρονίου μπορεί να έχει, σύμφωνα με τη θεωρία, τόσο θετικές όσο και αρνητικές τιμές και, σε εξωτερικά ηλεκτρομαγνητικά πεδία, θα έπρεπε να συμβαίνουν μεταβάσεις από καταστάσεις με το ένα πρόσημο της ενέργειας, σε καταστάσεις με το αντίθετο πρόσημο. Από την άλλη πλευρά, υπάρχει στη θεωρία αυτή ένα τετράνυσμα που ικανοποιεί την εξίσωση της συνέχειας με μια τέταρτη συνιστώσα που αντιστοιχεί σε μια πυκνότητα, η οποία είναι σίγουρα θετική.

Μπορεί να αποδειχθεί ότι υπάρχει παρόμοια κατάσταση για όλα τα πεδία, τα οποία, όπως και οι σπίνορες, μετασχηματίζονται για περιστροφές στο συνηθισμένο χώρο σύμφωνα με αναπαραστάσεις με δύο συνιστώσες, αλλάζοντας έτσι το πρόσημό τους για μια πλήρη περιστροφή. Θα ονομάσουμε εν συντομία τέτοιες ποσότητες «δίτιμες». Από τις σχετικιστικές κυματικές εξισώσεις τέτοιων ποσοτήτων μπορεί κανείς πάντα να εξάγει ένα τετράνυσμα διγραμμικό στις συνιστώσες του πεδίου, το οποίο ικανοποιεί την εξίσωση συνέχειας και για το οποίο η τέταρτη συνιστώσα, τουλάχιστον μετά την ολοκλήρωση στο χώρο, δίνει μια ουσιαστικά θετική ποσότητα. Από την άλλη πλευρά, η έκφραση για τη συνολική ενέργεια μπορεί να έχει τόσο το θετικό, όσο και το αρνητικό πρόσημο.

Υπάρχει κάποιο μέσο για να μετατοπιστεί το αρνητικό πρόσημο από την ενέργεια πίσω στην πυκνότητα του τετραδιανύσματος; Με αυτόν τον τρόπο η τελευταία θα μπορούσε και πάλι να ερμηνευτεί ως πυκνότητα φορτίου σε αντίθεση με την πυκνότητα σωματιδίων και η ενέργεια θα γινόταν θετική, όπως θα έπρεπε να είναι. Γνωρίζετε ότι η απάντηση του Dirac ήταν, ότι αυτό θα μπορούσε πράγματι να επιτευχθεί με την εφαρμογή της απαγορευτικής αρχής. Στη διάλεξή που έδωσε εδώ στη Στοκχόλμη¹⁰, εξήγησε ο ίδιος την πρότασή του για μια νέα ερμηνεία της θεωρίας του, σύμφωνα με την οποία στο πραγματικό κενό όλες οι καταστάσεις αρνητικής ενέργειας θα πρέπει να είναι κατειλημμένες και μόνο οι αποκλίσεις αυτής της κατάστασης της μικρότερης ενέργειας, δηλαδή οι οπές στη θάλασσα αυτών των κατειλημμένων καταστάσεων, υποτίθεται ότι είναι παρατηρήσιμες. Είναι η απαγορευτική αρχή που εγγυάται τη σταθερότητα του κενού, στο οποίο όλες οι καταστάσεις αρνητικής ενέργειας είναι κατειλημμένες. Επιπλέον, οι οπές έχουν όλες τις ιδιότητες σωματιδίων με θετική ενέργεια και θετικό ηλεκτρικό φορτίο, τα οποία σε εξωτερικά ηλεκτρομαγνητικά πεδία μπορούν να παραχθούν και να εξαϋλωθούν κατά ζεύγη. Αυτά τα προβλεπόμενα ποζιτρόνια, τα ακριβή κατοπτρικά είδωλα των ηλεκτρονίων, έχουν πράγματι ανακαλυφθεί πειραματικά.

Η νέα ερμηνεία της θεωρίας προφανώς εγκαταλείπει αρχικά τη θέση του προβλήματος του ενός σώματος και εξετάζει εξαρχής ένα πρόβλημα πολλών σωμάτων. Δεν μπορεί πλέον να ισχυριστεί κανείς ότι οι σχετικιστικές κυματικές εξισώσεις του Dirac είναι οι μόνες δυνατές, αλλά αν θέλει κανείς να έχει σχετικιστικές εξισώσεις πεδίου που αντιστοιχούν σε σωματίδια, για τα οποία είναι γνωστή η τιμή 1/2 του σπιν τους, πρέπει οπωσδήποτε να υποθέσει τις εξισώσεις Dirac. Αν και είναι λογικά δυνατό να κβαντώσουμε αυτές τις εξισώσεις όπως τα κλασικά πεδία, πράγμα που θα έδινε συμμετρικές καταστάσεις ενός συστήματος που αποτελείται από πολλά τέτοια σωματίδια, αυτό θα ήταν σε αντίθεση με το αξίωμα ότι η ενέργεια του συστήματος πρέπει στην πραγματικότητα να είναι θετική. Το αξίωμα αυτό ικανοποιείται από την άλλη πλευρά, αν εφαρμόσουμε την απαγορευτική αρχή και την ερμηνεία του Dirac για το κενό και τις οπές, η οποία ταυτόχρονα αντικαθιστά τη φυσική έννοια της πυκνότητας φορτίου με τιμές και των δύο πρόσημων με την μαθηματική αφαίρεση της πυκνότητας θετικά φορτισμένων σωματιδίων. Ένα παρόμοιο συμπέρασμα ισχύει για όλες τις σχετικιστικές κυματικές εξισώσεις με δίτιμες ποσότητες ως συνιστώσες πεδίου. Αυτό είναι το άλλο βήμα (ιστορικά αυτό που προηγήθηκε) προς την κατεύθυνση της κατανόησης της σχέσης μεταξύ του σπιν και της τάξης συμμετρίας.

Μπορώ μόνο να σημειώσω εν συντομία, ότι η νέα ερμηνεία του Dirac για τις κενές και κατειλημμένες καταστάσεις αρνητικής ενέργειας μπορεί να διατυπωθεί πολύ κομψά με τη βοήθεια του φορμαλισμού των Jordan και Wigner που αναφέρθηκε προηγουμένως. Η μετάβαση από την παλαιά στη νέα ερμηνεία της θεωρίας μπορεί, πράγματι, να υλοποιηθεί απλώς με την ανταλλαγή της έννοιας ενός από τους τελεστές, με εκείνη του ερμητιανού συζυγούς του, αν αυτοί εφαρμόζονται σε καταστάσεις αρχικά αρνητικής ενέργειας. Το άπειρο «μηδενικό φορτίο» των κατειλημμένων καταστάσεων αρνητικής ενέργειας είναι τότε, τυπικά ανάλογο με την άπειρη ενέργεια μηδενικού σημείου των κβαντισμένων μονότιμων πεδίων. Το πρώτο δεν αντιστοιχεί επίσης σε καμία φυσική πραγματικότητα και δεν αποτελεί την πηγή ενός ηλεκτρομαγνητικού πεδίου.

Παρά την τυπική αναλογία μεταξύ της κβάντωσης των μονότιμων πεδίων που οδηγούν σε σύνολα ομοειδών σωματιδίων με συμμετρικές καταστάσεις και των σωματιδίων που πληρούν την απαγορευτική αρχή και περιγράφονται από δίτιμα φυσικά μεγέθη-τελεστές, που εξαρτώνται από τις συντεταγμένες χώρου και χρόνου, υπάρχει φυσικά η θεμελιώδης διαφορά ότι για τα τελευταία δεν υπάρχει οριακή περίπτωση, όπου οι μαθηματικοί τελεστές μπορούν να αντιμετωπιστούν όπως τα κλασικά πεδία. Από την άλλη πλευρά μπορούμε να αναμένουμε ότι οι δυνατότητες και οι περιορισμοί για τις εφαρμογές των εννοιών του χώρου και του χρόνου, οι οποίες βρίσκουν την έκφρασή τους στις διαφορετικές έννοιες της πυκνότητας φορτίου και της πυκνότητας σωματιδίου, θα είναι οι ίδιες για φορτισμένα σωματίδια με ακέραιο και με ημιακέραιο σπιν.

Οι δυσκολίες της παρούσας θεωρίας γίνονται πολύ χειρότερες, αν ληφθεί υπόψη η αλληλεπίδραση του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου με την ύλη, αφού τότε εμφανίζονται οι γνωστοί απειρισμοί σχετικά με την ενέργεια ενός ηλεκτρονίου στο δικό του πεδίο, η λεγόμενη ιδιοενέργεια, ως αποτέλεσμα της εφαρμογής του συνήθους φορμαλισμού διαταραχών σε αυτό το πρόβλημα. Η ρίζα αυτής της δυσκολίας φαίνεται να είναι το γεγονός ότι ο φορμαλισμός της κβάντωσης του πεδίου έχει άμεσο νόημα μόνο εφόσον οι πηγές του πεδίου μπορούν να θεωρηθούν ως συνεχώς κατανεμημένες, υπακούοντας στους νόμους της κλασικής φυσικής, και εφόσον χρησιμοποιούνται μόνο μέσοι όροι των μεγεθών του πεδίου σε πεπερασμένες περιοχές του χωροχρόνου. Τα ίδια τα ηλεκτρόνια, ωστόσο, είναι ουσιαστικά μη κλασικές πηγές πεδίου.

Στο τέλος αυτής της διάλεξης, µπορώ να εκφράσω την κριτική µου άποψη, ότι µια σωστή θεωρία δεν πρέπει να οδηγεί ούτε σε άπειρες ενέργειες µηδενικού σηµείου, ούτε σε άπειρα µηδενικά φορτία, ότι δεν πρέπει να χρησιµοποιεί µαθηµατικά τεχνάσµατα για την αφαίρεση απειροτήτων ή ιδιοµορφιών, ούτε πρέπει να εφευρίσκει έναν «υποθετικό κόσµο» που είναι µόνο µια µαθηµατική φαντασία πριν να είναι σε θέση να διατυπώσει τη σωστή ερµηνεία του πραγµατικού κόσµου της φυσικής.

Από την πλευρά της λογικής, η έκθεσή μου για την «Απαγορευτική Aρχή και Kβαντομηχανική» δεν έχει κανένα συμπέρασμα. Πιστεύω ότι θα είναι δυνατόν να γραφτεί το συμπέρασμα μόνο αν δημιουργηθεί μια θεωρία που θα προσδιορίζει την τιμή της σταθεράς λεπτής υφής και θα εξηγεί έτσι την ατομική δομή του ηλεκτρισμού, η οποία είναι μια τόσο ουσιαστική ιδιότητα όλων των ατομικών πηγών ηλεκτρικών πεδίων που εμφανίζονται πραγματικά στη Φύση.

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ

Το πορτραίτο του Pauli φιλοτέχνησε ο εικαστικός Χρήστος Αλαβέρας από τη Θεσσαλονίκη.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

1. Landé, A., 1921. Über den anomalen Zeemaneffekt (Teil I). Z. Physik, 5, 231, https://doi.org/10.1007/BF01335014 ; R. Ladenburg, R., and Reiche, F., 1923. Absorption, Zerstreuung und Dispersion in der Bohrschen Atomtheorie. Naturwiss., 11584, https://link.springer.com/article/10.1007/BF01554355.

2. Pauli, W., 1923. Über die Gesetzmäßigkeiten des anomalen Zeemaneffektes. Z. Physik,  16, 155, https://doi.org/10.1007/BF01327386.

3. Pauli, W., 1925. Über den Einfluß der Geschwindigkeitsabhängigkeit der Elektronenmasse auf den Zeemaneffekt. Z. Physik, 31, 373, https://doi.org/10.1007/BF02980592.

4. Stoner, E., C., 1924. The distribution of Electrons among Atomic Levels.Phil. Mag., 48, 719,
https://doi.org/10.1080/14786442408634535

5. Pauli, W., 1925. Über den Zusammenhang des Abschlusses der Elektronengruppen im  Atom mit der Komplexstruktur der Spektren. Z. Physik, 31, 765, https://doi.org/10.1515/9783112596609-017.

6. Uhlenbeck, G.E., and Goudsmit, S.A., 1925. Ersetzung der Hypothese vom unmechanischen Zwang durch eine Forderung bezüglich des inneren Verhaltens jedes einzelnen Elektrons. Naturwiss., 13, 953, http://dx.doi.org/10.1007/BF01558878; 1926. Spinning Electrons and the Structure of Spectra. Nature, 117, 264, https://doi.org/10.1038/117264a0.

7. Thomas, L.,H., 1926. The Motion of the Spinning Electron. Nature, 117, 514, https://doi.org/10.1038/117514a0 and 1927. I. The kinematics of an electron with an axis. Phil. Mag., 3, 1, https://doi.org/10.1080/14786440108564170. Συγκρίνετε επίσης με το Frenkel, J., 1926. Die Elektrodynamik des rotierenden Elektrons. Z. Physik, 37, 243,  https://doi.org/10.1007/BF01397099.

8. Rapport du Sixième Conseil Solvay de Physique, Paris, 1932, pp. 217-225.

9. Για αυτό το πρώιμο στάδιο της ιστορίας της αρχής της απροσδιοριστίας, βλ. επίσης τη σημείωση του συγγραφέα στο Pauli, W., 1946. Remarks on the History of the Exclusion Theory. Science, 103, 213, https://doi.org/10.1126/science.103.2669.213, η οποία εν μέρει συμπίπτει με το πρώτο μέρος της παρούσας διάλεξης.

10. Οι διαλέξεις κατά την απονομή του βραβείου Νόμπελ των Heisenberg, Schrödinger και Dirac, έχουν περιληφθεί στο Die moderne Atomtheorie, Leipzig, 1934, https://katalog.bibliothek.kit.edu/cgi-bin/koha/opac-detail.pl?biblionumber=764635. Σε ελληνική απόδοση μπορείτε να τις διαβάσετε από τις σχετικές αναρτήσεις του InScience πατώντας πάνω στους συνδέσμους εδώ στα ονόματα των αντίστοιχων επιστημόνων.

11. Tα άρθρα του Bohr έχουν συγκεντρωθεί στον τόμο Atomic Theory and the Description of Nature, Cambridge University Press, 1934. Δείτε επίσης του άρθρο του Bohr, N., 1933. Light and Life*.Nature, 131, 421, 457, https://doi.org/10.1038/131457a0.

12. Heisenberg, W., 1926. Mehrkörperproblem und Resonanz in der Quantenmechanik. Z. Physik, 38, 411, https://doi.org/10.1007/BF01397160 and Über die Spektra von Atomsystemen mit zwei Elektronen. Z. Physik, 39, 499, https://doi.org/10.1007/BF01322090.

13. Fermi, E., 1926. Zur Quantelung des idealen einatomigen Gases. Z. Physik, 36, 902,  https://doi.org/10.1007/BF01400221. Dirac, P. A. M., 1926. On the theory of quantum mechanics. Proc. Roy. Soc. London, A 112, 661, https://doi.org/10.1098/rspa.1926.0133.

14. Bose, S. N., 1924. Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese. Z. Physik 26, 178,  https://doi.org/10.1007/BF01327326 and Wärmegleichgewicht im Strahlungsfeld bei Anwesenheit von Materie. Z. Physik, 27, 384, https://doi.org/10.1007/BF01328037. Einstein, A., 1924. Berl. Ber., 261; 1925. Einstein: The First Hundred Years, Berl. Ber., 1, 18.

15. Pauli, W., 1924. Zur Frage der theoretischen Deutung der Satelliten einiger Spektrallinien und ihrer Beeinflussung durch magnetische Felder. , 12, 741, https://doi.org/10.1007/BF01504828.

16. Heisenberg, W., 1927. Mehrkorperprobleme und Resonanz in der Quantenmechanik II. Physik, 41, 239, http://dx.doi.org/10.1007/BF01391241, Hund, F., 1927. Zur Deutung der Molekelspektren. II. Z. Physik, 42, 93, https://doi.org/10.1007/BF01397124.

17. Dennison, D. M., 1927. A note on the specific heat of the hydrogen molecule. Proc. Roy. Soc. London, A 115, 483, https://doi.org/10.1098/rspa.1927.0105.

18. Kronig, R.d.L., 1928. Der Drehimpuls des Stickstoffkerns. Naturwiss.,16, 335, https://doi.org/10.1007/BF01505425. Heitler, W., und Herzberg, G., 1929. Gehorchen die Stickstoffkerne der Boseschen Statistik?. Naturwiss.,17, 673. https://doi.org/10.1007/BF01506505.

19. Lewis, G. N., and Ashley, M. F., 1933. The Spin of Hydrogen Isotope. Phys. Rev., 43, 837, https://doi.org/10.1103/PhysRev.43.837.2. Murphy, G. N., and Johnston, H., 1934. The Nuclear Spin of Deuterium. Phys. Rev., 45, 550, and 46, 95 https://doi.org/10.1103/PhysRev.46.95.

20. Compare for the following the author’s report in Pauli, W., 1941. Relativistic Field Theories of Elementary Particles. Rev. Mod. Phys., 13, 203, https://doi.org/10.1103/RevModPhys.13.203 in which older literature is given. See also Pauli, W. and Weisskopf, V., 1934. The Quantization of the Scalar Relativistic Wave Equation. Helv. Phys. Acta, 7, 809.

21. Bohr, N., and Rosenfeld, L., 1933. Danske Videnskab. Selskab. Nat. Fys. Medd., 12, 8

22. Jordan, P. and Wigner, E., 1928. Über das Paulische Äquivalenzverbot. Z. Physik, 47, 631, https://doi.org/10.1007/BF01331938. Συγκρίνετε επίσης με το Fock, V., 1932. Konfigurationsraum und zweite Quantelung. Z. Physik, 75, 622, https://doi.org/10.1007/BF01344458.

23. Pauli, W., 1936. Théorie quantique relativiste des particules obéissant à la statistique de Einstein=Bose. Inst. Poincaré, 6, 137, http://eudml.org/doc/79000; 1940. The Connection Between Spin and Statistics. Phys. Rev., 58, 716, https://doi.org/10.1103/PhysRev.58.716.

24. Landau, L., Peierls, R., 1931. Erweiterung des Unbestimmtheitsprinzips für die relativistische Quantentheorie. Z. Physik, 69, 56, https://doi.org/10.1007/BF01391513. Συγκρίνετε επίσης με το in Handbuch der Physik, 24, Μέρος 1, 1933, Κεφ. Α , § 2 .

25. Dirac, P. M. A., 1928. The quantum theory of the electron. Proc. Roy. Soc., A117, 610, https://doi.org/10.1098/rspa.1928.0023.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΤΡΑΧΑΝΑΣ
Ο ΒΟΜΒΙΣΤΗΣ ΚΑΙ Ο ΣΤΡΑΤΗΓΟΣ
Ιστορώντας την κβαντική επανάσταση 1900 – 2025

 

ISBN 978-618-230-102-9
Διαστάσεις: 17 x 24 cm
Αριθμός σελίδων: 360
Τιμή: € 15
Έτος έκδοσης: 2025

Περιγραφή

Κατά τη διάρκεια του 20ού αιώνα, το είδος µας προχώρησε σε πρωτοφανείς τεχνολογικές πρωτοβουλίες µε τις οποίες επιχείρησε να ελέγξει τη φύση. Δηµιουργώντας παραποτάµια αναχώµατα, τεράστιες αγροτικές µονάδες µε µονοκαλλιέργειες και άλλες παρόµοιας κλίµακας κατασκευές προσπαθούµε και σήµερα να αναδιαµορφώσουµε τη φύση µε βάση τις δικές µας αποκλειστικά ανάγκες – σε τέτοιον βαθµό, µάλιστα, που φαίνεται ότι, στο τέλος, µπορεί και να την καταστρέψουµε. Στο βιβλίο αυτό, ο βιολόγος Ροµπ Νταν υποστηρίζει πως τίποτα δεν θα µπορούσε να απέχει περισσότερο απ’ την αλήθεια: αντί να αναρωτιόµαστε αν η φύση θα καταφέρει να επιβιώσει από εµάς, θα ήταν προτιµότερο να διερωτηθούµε αν θα επιβιώσουµε εµείς από αυτήν. Παρά τις καλύτερες –ή τις χειρότερες– προσπάθειές µας να θέσουµε υπό έλεγχο τον βιολογικό κόσµο, η ζωή έχει τους δικούς της κανόνες, τους οποίους καµιά ανθρώπινη παρέµβαση δεν µπορεί ν’ αλλάξει.

Ρίχνοντας άπλετο φως σε αρκετούς θεµελιώδεις νόµους της οικολογίας, της εξέλιξης και της βιογεωγραφίας, ο Νταν µάς δείχνει για ποιους λόγους τη ζωή δεν µπορεί να τη σταµατήσει κανείς. Οργανώνουµε τις καλλιέργειές µας σε χωράφια αποκλειστικά µε ένα είδος, µόνο και µόνο για ν’ ανακαλύψουµε ότι µια νέα µορφή ζωής έχει ήδη εµφανιστεί και τους επιτίθεται. Απορρίπτουµε τα τοξικά µας απόβληtα κι αµέσως βλέπουµε ότι τα έχουν αποικήσει διάφοροι µικροοργανισµοί. Ακόµα και στο µετρό του Λονδίνου είδαµε να εµφανίζεται ένα νέο είδος κουνουπιού ικανό να εκµεταλλεύεται το φαινοµενικά αφιλόξενο περιβάλλον του. Τη ζωή δεν θα την καταστείλουν ούτε τα τελειότερα σχέδιά µας. Αντίθετα, ο Νταν µάς εξηγεί ότι εκείνο που πράµατι διακυβεύεται είναι το δικό µας µέλλον. Η Φυσική ιστορία του µέλλοντος θέτει εντελώς νέα πρότυπα για να κατανοήσουµε την ποικιλοµορφία της ζωής στον πλανήτη µας, αλλά και το πεπρωµένο του ίδιου του ανθρώπινου είδους.

Ο Στέφανος Τραχανάς διδάσκει, μεταξύ άλλων, κβαντική φυσική και διαφορικές εξισώσεις στο τμήμα Φυσικής του Πανεπιστημίου Κρήτης από το 1983 έως σήμερα. Από το 1986 και μετά είναι μέλος του επιστημονικού προσωπικού του Ιδρύματος Τεχνολογίας και Έρευνας (ΙΤΕ), και η διδασκαλία του στο τμήμα Φυσικής προσφέρεται δωρεάν.

Είναι συγγραφέας έντεκα πανεπιστημιακών συγγραμμάτων στα παραπάνω πεδία, καθώς και των βιβλίων Το φάντασμα της όπερας: Η επιστήμη στον πολιτισμό μας και Το αμάρτημα της Εύας: Φυσική κάτω από τ’ άστρα και δημιουργική μάθηση, Ο κύκλος: επιστήμη και δημοκρατία σε ανήσυχους καιρούς, τα οποία απευθύνονται στο ευρύτερο κοινό. Το βιβλίο του An Introduction to Quantum Physics κυκλοφόρησε το 2018 από τον εκδοτικό οίκο Wiley. Υπό έκδοση για το 2025 βρίσκεται επίσης το βιβλίο του Κβαντομηχανική Λυκείου: Για τη χαρά της ανακάλυψης, το οποίο απευθύνεται κυρίως σε εκπαιδευτικούς και ανήσυχους μαθητές.

Το 2003 ανακηρύχθηκε σε επίτιμο διδάκτορα του Πανεπιστημίου Κρήτης, ενώ το 2012 του απονεμήθηκε το Εθνικό Βραβείο Εξαίρετης Πανεπιστημιακής Διδασκαλίας εις μνήμην Ξανθόπουλου – Πνευματικού. Για το σύνολο της προσφοράς του τιμήθηκε το 2015 με τον Ανώτερο Ταξιάρχη του Φοίνικα της Ελληνικής Δημοκρατίας.

Το 2022, το τμήμα Φυσικής του Πανεπιστημίου Κρήτης έδωσε το όνομά του σε ένα από τα αμφιθέατρά του, ενώ το 2023 ο Δήμος Ηρακλείου τού απένειμε το Βραβείο Ηθικής Τάξεως της πόλης και το ΙΤΕ τον τίτλο του Διακεκριμένου Μέλους του.

Ως ιδρυτικό μέλος και διευθυντής των Πανεπιστημιακών Εκδόσεων Κρήτης (ΠΕΚ) του ΙΤΕ μέχρι το 2013, είχε τη βασική ευθύνη για τη δημιουργία του πρώτου πανεπιστημιακού εκδοτικού οίκου της χώρας. Τα τελευταία χρόνια, το ενδιαφέρον του στράφηκε στα ανοικτά διαδικτυακά μαθήματα και τους νέους δρόμους που αυτά ανοίγουν για την εξίσωση των ευκαιριών στην ποιοτική εκπαίδευση. Πιστεύοντας ότι η χώρα μας δεν μπορεί να μείνει έξω από τις επαναστατικές αλλαγές που συντελούνται αλλού σε αυτό το θέμα, πήρε την πρωτοβουλία για την ίδρυση του Κέντρου Ανοικτών Διαδικτυακών Μαθημάτων Mathesis –ενός αυτόνομου και αυτοχρηματοδοτούμενου τμήματος των ΠΕΚ– στο οποίο και προσφέρει εθελοντικά την εργασία του τόσο ως διευθυντής του όσο και ως δάσκαλος ή συγγραφέας. Η επιτυχία του «πειράματος» είναι το προσωπικό του στοίχημα για τα επόμενα χρόνια.

Michel Talagrand
Cambridge University Press, 2022
756 σελίδες

Θεοφάνης Γραμμένος,

Αναπλ. Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

To InS σε συνεργασία με τον Αναπληρωτή Καθηγητή του Πανεπιστημίου Θεσσαλίας Θεοφάνη Γραμμένο ξεκινά την παρουσίαση και κριτική επιστημονικών συγγραμμάτων.

Στην ελληνική, μεταφρασμένη ή μη, βιβλιογραφία δεν υπάρχουν πολλά συγγράμματα σχετικά με την κβαντική θεωρία πεδίων και ο βασικός (αν και όχι ο μοναδικός) λόγος για αυτή την έλλειψη είναι πως πρόκειται για ένα αντικείμενο που, εξ αιτίας των υψηλών μαθηματικών απαιτήσεων αλλά και της προϋπόθεσης προχωρημένων γνώσεων κβαντικής μηχανικής, διδάσκεται σχεδόν κατ’ εξοχήν σε μεταπτυχιακά προγράμματα σπουδών θεωρητικής φυσικής τα οποία για ευνόητους λόγους ανέκαθεν ήταν ολιγομελή. Ωστόσο, η κβαντική θεωρία πεδίων, ένα από τα πιο σπουδαία επιτεύγματα της φυσικής σκέψης και γενικότερα της ανθρώπινης νόησης, έχει μεγάλο ενδιαφέρον και για τους μαθηματικούς παρότι η σχετική εκδοτική δραστηριότητα ως προς το μαθηματικό αναγνωστικό κοινό είναι ακόμη μικρότερη. Μάλιστα ακόμη και στη διεθνή βιβλιογραφία τα απευθυνόμενα στη μαθηματική κοινότητα σχετικά διδακτικά συγγράμματα, τα οποία χαρακτηρίζονται από την απαραίτητη αφαιρετική μαθηματική προσέγγιση και τη συνακόλουθη αυστηρότητα, δεν ξεπερνούν τα δέκα. Σε αυτά έρχεται πλέον να προστεθεί το ανωτέρω βιβλίο που εκδόθηκε το 2022 από τις Πανεπιστημιακές Εκδόσεις του Cambridge. Ο συγγραφέας του, ο Γάλλος Michel Talagrand, δεν είναι άγνωστος στους μαθηματικούς. Το 2024 του απονεμήθηκε το Βραβείο Abel για τη συμβολή του στη συναρτησιακή ανάλυση και τη θεωρία πιθανοτήτων και τις εφαρμογές τους στη μαθηματική φυσική, και ειδικότερα για το έργο του στις στοχαστικές διαδικασίες. Το Βραβείο Abel προστέθηκε σε ένα πλήθος άλλων διακρίσεων του Talagrand όπως, για παράδειγμα, το Βραβείο Fermat (1997), το Βραβείο Shaw (2019), και το Μετάλλιο Stefan Banach της Πολωνικής Ακαδημίας Επιστημών (2022).

Το παρόν σύγγραμμα αποπειράται να γεφυρώσει, με όσο το δυνατόν πιο κατανοητό και προσιτό τρόπο, την απόσταση μεταξύ της προσέγγισης των θεωρητικών φυσικών στο αντικείμενο και της αυστηρής τεκμηρίωσης που αποζητούν οι μαθηματικοί. Ως μοναδικό προαπαιτούμενο ο Talagrand θέτει την καλή γνώση γραμμικής άλγεβρας και απειροστικού λογισμού, ενώ τα όποια άλλα μαθηματικά αντικείμενα που θα χρειαστεί ο αναγνώστης, όπως, για παράδειγμα, οι μη φραγμένοι τελεστές, η θεωρία κατανομών, και η θεωρία αναπαραστάσεων, καθώς και μια περιεκτική παρουσίαση θεμάτων από το αναγκαίο υπόβαθρο φυσικής, επεξηγούνται σε 16 παραρτήματα στο τέλος.

Το βιβλίο είναι χωρισμένο σε τέσσερα μέρη. Στο πρώτο μέρος με τίτλο «Basics» παρουσιάζονται με αρκετή λεπτομέρεια τα βασικά στοιχεία της μη σχετικιστικής κβαντικής μηχανικής και της μη σχετικιστικής κβαντικής θεωρίας πεδίων, οι ομάδες Lorentz και Poincaré, το ελεύθερο βαθμωτό πεδίο με μάζα, οι βασικές αρχές της κβάντωσης και ο τρόπος που στηρίζεται στη λαγκρανζιανή και τη χαμιλτονιανή μηχανική, και τέλος το φαινόμενο Casimir. Το δεύτερο μέρος με τίτλο «Spin» είναι αφιερωμένο στο σπιν. Πιο συγκεκριμένα, περιλαμβάνονται εκτεταμένα οι αναπαραστάσεις της ορθογώνιας ομάδας, της ομάδας Lorentz, και της ομάδας Poincaré, και τα βασικά ελεύθερα πεδία όπου, μεταξύ άλλων, αναλύεται κατανοητά η έννοια της μικροαιτιότητας. Το δεύτερο μέρος κλείνει με τα πεδία Dirac και Majorana. Στο τρίτο μέρος με τίτλο «Interactions», ο Talagrand καταπιάνεται με τις αλληλεπιδράσεις. Μετά από μια επαρκή εισαγωγή στη (τόσο τη χρονο-ανεξάρτητη όσο και τη χρονο-εξαρτώμενη) θεωρία διαταραχών, προχωρά στη μελέτη της σκέδασης, του μητρώου ή πίνακα σκέδασης, και της έννοιας της ενεργού διατομής, ενώ αφιερώνει περί τις 70 σελίδες στην εξέταση του μητρώου σκέδασης στο πλαίσιο της θεωρίας διαταραχών. Στο κεφάλαιο αυτό, μεταξύ άλλων, παρουσιάζονται με διδακτικό τρόπο το θεώρημα του Wick, ο διαδότης και τα διαγράμματα Feynman, και το μοντέλο φ⁴. Το τελευταίο κεφάλαιο του τρίτου μέρους αφορά τα αλληλεπιδρώντα κβαντικά πεδία όπου, μεταξύ άλλων, παρουσιάζεται μια διαγραμματική ερμηνεία του θεωρήματος των Gell-Mann και Low μέσω του οποίου είναι δυνατή η σύνδεση της θεμελιώδους κατάστασης ενός αλληλεπιδρώντος κβαντικού συστήματος με τη θεμελιώδη κατάσταση της αντίστοιχης μη αλληλεπιδρώσας θεωρίας.

Το τέταρτο μέρος του βιβλίου με τίτλο «Renormalization» εξετάζει με μαθηματικά αυστηρό τρόπο την δύσκολη έννοια της επανακανονικοποίησης ξεκινώντας με τη λεγόμενη απαρίθμηση δυνάμεων, ιδέα που εισήγαγε ο Freeman Dyson το 1948 στην προσπάθεια να αποφανθεί σχετικά με το ποιες θεωρίες κβαντικών πεδίων είναι επανακανονικοποιήσιμες. Η απαρίθμηση αυτή συνδέει τα κβαντικά πεδία, τις σταθερές σύζευξης, και τις παραμέτρους μάζας τους. Παρουσιάζεται το θεώρημα απαρίθμησης δυνάμεων του Weinberg, και στη συνέχεια εξετάζεται η μέθοδος επανακανονικοποίησης Bogoliubov-Parasiuk-Hepp-Zimmermann, γνωστή και ως σχήμα BPHZ, με την οποία καθίστανται πεπερασμένα τα πλάτη Feynman, ενώ διατηρούνται σε ισχύ οι βασικές απαιτήσεις της σχετικιστικής κβαντικής θεωρίας πεδίων, δηλαδή το αναλλοίωτο κατά Lorentz, η μοναδιακότητα, και η αιτιότητα. Η μέθοδος στηρίζεται στη συστηματική αφαίρεση ολοκληρωμάτων στον χώρο των ορμών, γεγονός που τη διακρίνει από άλλες μεθόδους επανακανονικοποίησης. Ακολούθως, στο πλαίσιο αυτής της μεθόδου μελετάται ο αποφασιστικός ρόλος των λεγόμενων αντισταθμιστικών όρων, οι ιδιομορφίες και ο έλεγχός τους, και τέλος αποδεικνύεται η σύγκλιση του σχήματος BPHZ.

Το πέμπτο και τελευταίο μέρος φέρει τον τίτλο «Complements» και περιλαμβάνει, όπως προαναφέρθηκε, 16 παραρτήματα στα οποία παρουσιάζονται συμπληρωματικά στοιχεία από τη θεωρία αναπαραστάσεων, η οριστικοποίηση της απόδειξης του θεωρήματος του Stone, οι κανονικές σχέσεις μετάθεσης, μια συμπαγής παρουσίαση των αλγεβρών Lie, στοιχεία της ειδικής θεωρίας σχετικότητας, σχόλια σχετικά με την ύπαρξη του τελεστή θέσης, οι αναπαραστάσεις της ομάδας Poincare, ο χαμιλτονιανός φορμαλισμός για κλασικά πεδία, η κβάντωση του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου μέσω της προσέγγισης Gupta-Bleuler, οι εξισώσεις Lippmann-Schwinger, συναρτήσεις επί επιφανειών και θεωρία κατανομών, στοιχεία κατανομών Schwartz (γνωστών και ως tempered distributions), τα αξιώματα του Wightman και το θεώρημα του Haag, ο διαδότης Feynman και η εξίσωση Klein-Gordon, το δυναμικό Yukawa, και τέλος οι πρωτεύουσες τιμές και οι συναρτήσεις δέλτα.

Το βιβλίο του Talagrand είναι ίσως το πλέον ενδεδειγμένο για έναν μαθηματικό που αναζητά τη μαθηματική αυστηρότητα δοσμένη με διδακτικό τρόπο και παράλληλα με τη φυσική εξήγηση και κατανόηση. Ο αναγνώστης θα ωφεληθεί πολύ στην καλύτερη εμπέδωση της παρουσιαζόμενης ύλης αν επεξεργαστεί τις περίπου 300 ασκήσεις που περιέχει το βιβλίο, ενώ στο τέλος δίνονται οι λύσεις σε επιλεγμένες ασκήσεις.

Διάλεξη Νόμπελ, 11 Δεκεμβρίου, 1954

Μετάφραση: Βαρβάρα Πετανίδου

«…σύμφωνα με τον Born, η κβαντική μηχανική μας δίνει μόνο μια στατιστική περιγραφή». (Από την προσφώνηση στην τελετή απονομής του βραβείου Nobel, 11 Δεκεμβρίου 1954)

Το έργο για το οποίο είχα την τιμή να μου απονεμηθεί το βραβείο Νόμπελ για το 1954, δεν περιέχει την ανακάλυψη ενός νέου φυσικού φαινομένου, αλλά μάλλον τη βάση για έναν νέο τρόπο σκέψης όσον αφορά τα φυσικά φαινόμενα. Αυτός ο τρόπος σκέψης έχει διαπεράσει τόσο την πειραματική, όσο και τη θεωρητική φυσική, σε τέτοιο βαθμό που φαίνεται δύσκολο να ειπωθεί κάτι περισσότερο γι’ αυτόν που δεν έχει ήδη ειπωθεί τόσο συχνά. Ωστόσο, υπάρχουν ορισμένες ιδιαίτερες πτυχές τις οποίες θα ήθελα να συζητήσω σε μια τόσο εορταστική για μένα περίσταση. Το πρώτο σημείο είναι το εξής: οι εργασίες στη σχολή του Γκέτινγκεν, τις οποίες διηύθυνα για ένα διάστημα (1926-1927), συνέβαλαν στην επίλυση μιας πνευματικής κρίσης στην οποία περιήλθε η επιστήμη μας, ως αποτέλεσμα της ανακάλυψης του κβάντου δράσης από τον Planck το 1900. Σήμερα, η Φυσική βρίσκεται σε μια παρόμοια κρίση – δεν εννοώ εδώ την εμπλοκή της στην πολιτική και την οικονομία ως αποτέλεσμα της κυριαρχίας μιας νέας και τρομακτικής δύναμης της φύσης, αλλά εξετάζω περισσότερο τα λογικά και επιστημολογικά προβλήματα που θέτει η πυρηνική φυσική. Ίσως, είναι καλό σε μια τέτοια στιγμή να θυμηθούμε τι συνέβη παλαιότερα σε μια παρόμοια κατάσταση, ιδίως επειδή τα γεγονότα αυτά δεν στερούνται μιας συγκεκριμένης δραματικής αίσθησης.

Το δεύτερο σημείο που θέλω να αναφέρω είναι, ότι όταν λέω, ότι οι φυσικοί είχαν αποδεχτεί τις έννοιες και τον τρόπο σκέψης που αναπτύξαμε τότε, δεν είμαι αρκετά σωστός. Υπάρχουν ορισμένες, πολύ αξιόλογες εξαιρέσεις, ιδίως μεταξύ των ίδιων των σκαπανέων που συνέβαλαν τα μέγιστα στην οικοδόμηση της κβαντικής θεωρίας. Ο ίδιος ο Planck, ανήκε στους σκεπτικιστές μέχρι τον θάνατό του. Ο Einstein, ο De Broglie και ο Schrödinger τόνιζαν αδιάκοπα τα μη ικανοποιητικά χαρακτηριστικά της κβαντομηχανικής και ζητούσαν την επιστροφή στις έννοιες της κλασικής, νευτώνειας φυσικής, ενώ πρότειναν τρόπους με τους οποίους αυτό θα μπορούσε να γίνει χωρίς να έρχονται σε αντίθεση με τα πειραματικά δεδομένα. Τέτοιες βαρυσήμαντες απόψεις δεν μπορούν να αγνοηθούν. Ο Niels Bohr έκανε μεγάλο κόπο για να αντικρούσει τις αντιρρήσεις. Κι εγώ, επίσης, τις έχω μελετήσει και πιστεύω ότι μπορώ να συμβάλω κάπως στην αποσαφήνιση αυτής της θέσης. Το θέμα αφορά τα όρια μεταξύ φυσικής και φιλοσοφίας, και έτσι η διάλεξή μου για τη φυσική θα έχει και ιστορικό και φιλοσοφικό χαρακτήρα, για τον οποίο πρέπει να ζητήσω την επιείκειά σας.

Πρώτα απ’ όλα, θα εξηγήσω πώς προέκυψε η κβαντομηχανική και η στατιστική της ερμηνεία. Στις αρχές της δεκαετίας του ’20, κάθε φυσικός, νομίζω, ήταν πεπεισμένος ότι η κβαντική υπόθεση του Planck ήταν σωστή. Σύμφωνα με αυτή τη θεωρία η ενέργεια εμφανίζεται σε πεπερασμένα κβάντα μεγέθους hν σε ταλαντωτικές διαδικασίες που έχουν μια συγκεκριμένη συχνότητα ν (π.χ. στα κύματα φωτός). Αμέτρητα πειράματα μπορούσαν να εξηγηθούν με αυτόν τον τρόπο και έδιναν πάντα την ίδια τιμή της σταθεράς του Planck h. Και πάλι, ο ισχυρισμός του Einstein ότι τα κβάντα του φωτός έχουν ορμή hν/c (όπου c είναι η ταχύτητα του φωτός) υποστηρίχθηκε καλά από το πείραμα (π.χ. μέσω του φαινομένου Compton). Αυτό συνεπαγόταν την αναβίωση της σωµατιδιακής θεωρίας του φωτός για ένα ορισµένο σύνολο φαινοµένων. Η κυματική θεωρία εξακολουθούσε να ισχύει για άλλες διεργασίες. Οι φυσικοί εξοικειώθηκαν με αυτόν τον δυισμό και έμαθαν πώς να τον αντιμετωπίζουν σε κάποιο βαθμό.

Το 1913 ο Niels Bohr είχε λύσει τον γρίφο των φασματικών γραμμών μέσω της κβαντικής θεωρίας και είχε έτσι εξηγήσει σε γενικές γραμμές την εκπληκτική σταθερότητα των ατόμων, τη δομή των ηλεκτρονικών τους κελυφών και το Περιοδικό Σύστημα των στοιχείων. Για ό,τι επρόκειτο να ακολουθήσει αργότερα, η σημαντικότερη παραδοχή της διδασκαλίας του ήταν η εξής: ένα ατομικό σύστημα δεν μπορεί να υπάρχει σε όλες τις μηχανικά δυνατές καταστάσεις, σχηματίζοντας ένα συνεχές, αλλά σε μια σειρά από διακριτές «στάσιμες» καταστάσεις. Κατά τη μετάβαση από τη μία στην άλλη, η διαφορά ενέργειας Ε_m – E_n εκπέμπεται ή απορροφάται ως κβάντο φωτός hν_mn (ανάλογα με το αν η Ε_m είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από την E_n). Πρόκειται για την ερμηνεία, με βάση την ενέργεια, του θεμελιώδους νόμου της φασματοσκοπίας που ανακαλύφθηκε μερικά χρόνια πριν από τον W. Ritz. Η κατάσταση μπορεί να γίνει αντιληπτή με μια ματιά γράφοντας τα ενεργειακά επίπεδα των στάσιμων καταστάσεων δύο φορές, οριζόντια και κάθετα. Αυτό παράγει μια τετραγωνική διάταξη

στην οποία οι θέσεις στη διαγώνιο αντιστοιχούν σε καταστάσεις και οι μη διαγώνιες θέσεις αντιστοιχούν σε μεταβάσεις.

Ήταν απολύτως σαφές στον Bohr ότι ο νόμος που διατυπώθηκε με αυτόν τον τρόπο έρχεται σε σύγκρουση με τη μηχανική, και ότι επομένως η χρήση της έννοιας της ενέργειας σε αυτόν είναι προβληματική. Βασίζει αυτή την τολμηρή συγχώνευση παλαιού και νέου στην αρχή της αντιστοιχίας. Αυτή συνίσταται στην προφανή απαίτηση ότι η συνήθης κλασική μηχανική πρέπει να ισχύει με υψηλό βαθμό προσέγγισης στην οριακή περίπτωση, όπου οι αριθμοί των στάσιμων καταστάσεων, οι λεγόμενοι κβαντικοί αριθμοί, είναι πολύ μεγάλοι (δηλαδή, πολύ δεξιά και προς το κάτω μέρος στην παραπάνω διάταξη) και η ενέργεια μεταβάλλεται σχετικά λίγο από την μια θέση στην άλλη, στην ουσία πρακτικά συνεχώς.

Η θεωρητική φυσική βασίστηκε σε αυτή την αντίληψη για τα επόμενα δέκα χρόνια. Το πρόβλημα ήταν το εξής: μια αρμονική ταλάντωση δεν έχει μόνο συχνότητα, αλλά και ένταση. Για κάθε μετάβαση στη διάταξη πρέπει να υπάρχει μια αντίστοιχη ένταση. Το ερώτημα είναι, πώς μπορεί να βρεθεί αυτή μέσα από τη λογική της αρχής της αντιστοιχίας; Αυτό σήμαινε να μαντέψουμε το άγνωστο από τις διαθέσιμες πληροφορίες για μια γνωστή οριακή περίπτωση. Σημαντική επιτυχία σημειώθηκε από τον ίδιο τον Bohr, από τους Kramers, Sommerfeld, Epstein και πολλούς άλλους. Αλλά το αποφασιστικό βήμα έγινε και πάλι από τον Einstein, ο οποίος, με μια νέα εξαγωγή του τύπου ακτινοβολίας του Planck, κατέστησε ξεκάθαρα σαφές ότι η κλασική έννοια της έντασης της ακτινοβολίας πρέπει να αντικατασταθεί από τη στατιστική έννοια της πιθανότητας μετάβασης. Σε κάθε θέση στον παραπάνω πίνακα αντιστοιχεί (μαζί με τη συχνότητα ν_mn = (Ε_m – E_n) / h) μια συγκεκριμένη πιθανότητα για τη μετάβαση που συνδυάζεται με εκπομπή ή απορρόφηση.

Στο Γκέτινγκεν συμμετείχαμε επίσης στις προσπάθειες να εξαγάγουμε την άγνωστη μηχανική του ατόμου από τα πειραματικά αποτελέσματα. Η λογική δυσκολία γινόταν όλο και πιο έντονη. Οι έρευνες σχετικά με τη σκέδαση και τη διασπορά του φωτός έδειξαν ότι η αντίληψη του Einstein για την πιθανότητα μετάβασης ως μέτρο της ισχύος μιας ταλάντωσης δεν ανταποκρινόταν στην περίπτωση, και η ιδέα ενός πλάτους ταλάντωσης που συνδέεται με κάθε μετάβαση ήταν απαραίτητη. Στο πλαίσιο αυτό πρέπει να αναφερθούν οι εργασίες των Ladenburg¹, Kramers², Heisenberg³, Jordan και εμού⁴. Η τέχνη του να μαντεύει κανείς σωστούς τύπους, οι οποίοι αποκλίνουν από τους κλασικούς, αλλά τους περιέχουν ως οριακή περίπτωση σύμφωνα με την αρχή της αντιστοιχίας, έφτασε σε υψηλό βαθμό τελειότητας. Μια εργασία μου, η οποία εισήγαγε, για πρώτη φορά νομίζω, την έκφραση κβαντομηχανική στον τίτλο της, περιέχει έναν αρκετά περίπλοκο τύπο (που ισχύει ακόμη και σήμερα) για την αμοιβαία διαταραχή των ατομικών συστημάτων.

Ο Heisenberg, ο οποίος εκείνη την εποχή ήταν βοηθός μου, έδωσε ένα ξαφνικό τέλος σε αυτή την περίοδο⁵. Έκοψε τον γόρδιο δεσμό μέσω μιας φιλοσοφικής αρχής και αντικατέστησε την εικασία με έναν μαθηματικό κανόνα. Η αρχή ορίζει ότι έννοιες και αναπαραστάσεις που δεν αντιστοιχούν σε φυσικά παρατηρήσιμα γεγονότα δεν πρέπει να χρησιμοποιούνται στη θεωρητική περιγραφή. Ο Einstein χρησιμοποίησε την ίδια αρχή όταν, συγκροτώντας τη θεωρία της σχετικότητας, εξάλειψε τις έννοιες της απόλυτης ταχύτητας ενός σώματος και του απόλυτου συγχρονισμού δύο γεγονότων σε διαφορετικούς τόπους. Ο Heisenberg απέρριψε την εικόνα των τροχιών των ηλεκτρονίων με καθορισμένες ακτίνες και περιόδους περιστροφής, επειδή τα μεγέθη αυτά δεν είναι παρατηρήσιμα, και επέμεινε ότι η θεωρία πρέπει να οικοδομηθεί μέσω των τετραγωνικών πινάκων που αναφέρθηκαν παραπάνω. Αντί να περιγράφεται η κίνηση δίνοντας μια συντεταγμένη ως συνάρτηση του χρόνου, x(t), θα έπρεπε να προσδιορίζεται ένας πίνακας από πλάτη μετάβασης x_mn. Για μένα το αποφασιστικό μέρος του έργου του είναι η απαίτηση να προσδιοριστεί ένας κανόνας με τον οποίο από έναν δεδομένο

(ή, γενικότερα, ο κανόνας πολλαπλασιασμού για τέτοιους πίνακες).

Με παρατήρηση γνωστών παραδειγμάτων που λύθηκαν με εικασίες βρήκε αυτόν τον κανόνα και τον εφάρμοσε με επιτυχία σε απλά παραδείγματα, όπως ο αρμονικός και ο μη αρμονικός ταλαντωτής.

Αυτά συνέβησαν το καλοκαίρι του 1925. Ο Heisenberg, που υπέφερε από αλλεργική ρινίτιδα, πήρε άδεια για θεραπεία δίπλα στη θάλασσα και μου έδωσε την εργασία του για δημοσίευση αν θεωρούσα πως μπορούσα να κάνω κάτι σχετικά με αυτό.

Η σημασία της ιδέας ήταν αμέσως ξεκάθαρη για μένα και έστειλα το χειρόγραφο στο επιστημονικό περιοδικό Zeitschrift für Physik. Δεν μπορούσα να βγάλω από το μυαλό μου τον κανόνα πολλαπλασιασμού του Heisenberg, και μετά από μια εβδομάδα εντατικής σκέψης και δοκιμών θυμήθηκα ξαφνικά μια αλγεβρική θεωρία που είχα μάθει από τον καθηγητή μου, τον καθηγητή Rosanes, στο Μπρεσλάου (Σ.τ.Μ. Σημερινό Βρότσλαβ στην Πολωνία). Τέτοιοι τετραγωνικοί πίνακες είναι γνωστοί στους μαθηματικούς και, σε συνδυασμό με έναν συγκεκριμένο κανόνα πολλαπλασιασμού, ονομάζονται μήτρες. Εφάρμοσα αυτόν τον κανόνα στην κβαντική συνθήκη του Heisenberg και διαπίστωσα ότι αυτή συμφωνούσε στους διαγώνιους όρους. Ήταν εύκολο να μαντέψω ποιες πρέπει να είναι οι υπόλοιπες ποσότητες, δηλαδή μηδέν – και αμέσως βρέθηκε μπροστά μου ο ιδιότυπος τύπος:

   

Αυτό σήμαινε ότι οι συντεταγμένες q και οι ορμές p δεν μπορούν να αναπαρασταθούν με αριθμητικές τιμές αλλά με σύμβολα, το γινόμενο των οποίων εξαρτάται από τη σειρά του πολλαπλασιασμού – τα οποία ονομάζονται «μη μετατιθέμενα».

Ήμουν τόσο ενθουσιασμένος από αυτό το αποτέλεσμα, όσο θα ήταν ένας ναυτικός που, μετά από ένα μακρύ ταξίδι, βλέπει από μακριά την πολυπόθητη στεριά, και ένιωσα λύπη που ο Heisenberg δεν ήταν εκεί. Ήμουν πεπεισμένος από την αρχή ότι είχαμε βρεθεί στο σωστό δρόμο. Ακόμα κι έτσι, ένα μεγάλο μέρος ήταν μόνο εικασίες, ιδίως η απαλοιφή των μη διαγώνιων στοιχείων στην προαναφερθείσα έκφραση. Σαν βοήθεια σε αυτό το πρόβλημα ζήτησα και τη συνεργασία του μαθητή μου Pascual Jordan, και σε λίγες ημέρες καταφέραμε να αποδείξουμε ότι είχα μαντέψει σωστά. Η κοινή εργασία του Jordan και εμού⁶ περιέχει τις σημαντικότερες αρχές της κβαντομηχανικής, συμπεριλαμβανομένης της επέκτασής της στην ηλεκτροδυναμική. Ακολούθησε μια ταραχώδης περίοδος συνεργασίας μεταξύ των τριών μας, η οποία περιπλέχθηκε λόγω απουσίας του Heisenberg. Υπήρξε μια ζωηρή ανταλλαγή επιστολών- η συμβολή μου σε αυτές, δυστυχώς, χάθηκε μέσα στις πολιτικές αναταραχές. Το αποτέλεσμα ήταν ένα άρθρο τριών συγγραφέων⁷, το οποίο έφερε την επίσημη πλευρά της έρευνας σε οριστικό συμπέρασμα . Πριν από την εμφάνιση αυτού του άρθρου, ήρθε η πρώτη δραματική έκπληξη: Η εργασία του Paul Dirac για το ίδιο θέμα⁸. Η έμπνευση που του παρείχε μια διάλεξη του Heisenberg στο Κέιμπριτζ, τον είχε οδηγήσει σε παρόμοια αποτελέσματα με αυτά που είχαμε λάβει εμείς στο Γκέτινγκεν, με τη διαφορά ότι δεν κατέφυγε στη γνωστή θεωρία των πινάκων των μαθηματικών, αλλά ανακάλυψε μόνος του το εργαλείο και επεξεργάστηκε τη θεωρία τέτοιων μη μετατιθέμενων συμβόλων.

Η πρώτη μη τετριμμένη και φυσικά σημαντική εφαρμογή της κβαντομηχανικής έγινε λίγο αργότερα από τον W. Pauli⁹ ο οποίος υπολόγισε τις στάσιμες τιμές της ενέργειας του ατόμου του υδρογόνου με τη μέθοδο των πινάκων και βρήκε πλήρη συμφωνία με τους τύπους του Bohr. Από αυτή τη στιγμή και μετά δεν μπορούσε πλέον να υπάρχει καμία αμφιβολία για την ορθότητα της θεωρίας.

Ωστόσο, δεν ήταν καθόλου σαφές τι πραγματικά σήμαινε αυτός ο φορμαλισμός. Τα μαθηματικά, όπως συμβαίνει συχνά, ήταν πιο έξυπνα από τη διάνοια που τα ερμηνεύει. Ενώ ακόμα συζητούσαμε αυτό το σημείο, ήρθε η δεύτερη δραματική έκπληξη, η εμφάνιση των περίφημων εργασιών του Schrödinger¹⁰. Ο ίδιος υιοθέτησε μια εντελώς διαφορετική γραμμή σκέψης που είχε προέλθει από τον Louis de Broglie¹¹.

Λίγα χρόνια νωρίτερα, ο τελευταίος είχε προβεί στον τολμηρό ισχυρισμό, υποστηριζόμενος από λαμπρές θεωρητικές εκτιμήσεις, ότι o δυισμός κύματος-σωματιδίου, γνωστός στους φυσικούς στην περίπτωση του φωτός, πρέπει να ισχύει και για τα ηλεκτρόνια. Σε κάθε ηλεκτρόνιο που κινείται χωρίς την επίδραση κάποιας δύναμης, αντιστοιχεί ένα επίπεδο κύμα με ορισμένο μήκος κύματος, το οποίο καθορίζεται από τη σταθερά του Planck και τη μάζα. Αυτή η συναρπαστική διατριβή του De Broglie ήταν γνωστή σε εμάς στο Γκέτινγκεν. Μια μέρα του 1925 έλαβα μια επιστολή από τον C. J. Davisson που έδινε κάποια περίεργα αποτελέσματα σχετικά με την ανάκλαση των ηλεκτρονίων από μεταλλικές επιφάνειες. Εγώ και ο συνάδελφός μου στην πειραματική πλευρά, ο James Franck, υποψιαστήκαμε αμέσως ότι αυτές οι καμπύλες του Davisson ήταν φάσματα κρυσταλλικού πλέγματος των κυμάτων ηλεκτρονίων του De Broglie, και βάλαμε έναν από τους μαθητές μας, τον Elsasser¹², να ερευνήσει το θέμα. Τα αποτελέσματά του παρείχαν την πρώτη προκαταρκτική επιβεβαίωση της ιδέας του De Broglie, και αυτό αποδείχθηκε αργότερα ανεξάρτητα από τους Davisson και Germer¹³ και τον G. P. Thomson¹⁴, με συστηματικά πειράματα.

Ωστόσο, αυτή η γνωριμία με τον τρόπο σκέψης του De Broglie δεν μας οδήγησε σε μια προσπάθεια εφαρμογής του στην ηλεκτρονική δομή των ατόμων. Αυτό αφέθηκε στον Schrödinger¹⁵. Αυτός επέκτεινε την κυματική εξίσωση του De Broglie, η οποία αναφερόταν σε κίνηση χωρίς την επίδραση κάποιας δύναμης, στην περίπτωση όπου λαμβάνεται υπόψη η επίδραση της δύναμης, και έδωσε μια ακριβή διατύπωση των συμπληρωματικών συνθηκών, που είχε ήδη προτείνει ο De Broglie, στις οποίες πρέπει να υπόκειται η κυματοσυνάρτηση ψ, δηλαδή να είναι μονοσήμαντη και πεπερασμένη στο χώρο και στο χρόνο. Με αυτόν τον τρόπο πέτυχε να εξάγει τις στάσιμες καταστάσεις του ατόμου του υδρογόνου με τη μορφή αυτών των μονοχρωματικών λύσεων της κυματικής εξίσωσης που δεν εκτείνονται στο άπειρο.

Για μια σύντομη περίοδο στις αρχές του 1926, φάνηκε ότι υπήρχαν, ξαφνικά, δύο αυτοτελή, αλλά εντελώς διαφορετικά συστήματα εξήγησης: η μηχανική των μητρών και η κυματομηχανική. Αλλά ο ίδιος ο Schrödinger σύντομα απέδειξε την πλήρη ισοδυναμία τους.

Η κυματομηχανική απολάμβανε πολύ μεγαλύτερη δημοτικότητα από την εκδοχή της κβαντομηχανικής του Γκέτινγκεν ή του Κέιμπριτζ. Βασίζεται σε μια κυματοσυνάρτηση ψ, η οποία στην περίπτωση ενός τουλάχιστον σωματιδίου μπορεί να απεικονιστεί στο χώρο, και χρησιμοποιεί τις μαθηματικές μεθόδους των μερικών διαφορικών εξισώσεων που χρησιμοποιούνται σήμερα από τους φυσικούς. Ο Schrödinger πίστευε ότι η κυματική του θεωρία επέτρεπε την επιστροφή στην ντετερμινιστική κλασική φυσική. Πρότεινε (και τόνισε πρόσφατα την πρότασή του εκ νέου), να απαλλαγούμε εντελώς από την αναπαράσταση των σωματιδίων, και αντί να μιλάμε για τα ηλεκτρόνια ως σωματίδια, να τα θεωρούμε ως μια συνεχή κατανομή πυκνότητας |ψ|² (ή ηλεκτρικής πυκνότητας e|ψ|²).

Σε εμάς στο Γκέτινγκεν αυτή η ερμηνεία φαινόταν απαράδεκτη μπροστά στα καλώς τεκμηριωμένα πειραματικά γεγονότα. Εκείνη την εποχή ήταν ήδη δυνατό να μετράμε τα σωματίδια μέσω σπινθήρων ή με έναν μετρητή Geiger και να φωτογραφίζουμε τις τροχιές τους με τη βοήθεια ενός θαλάμου νεφών Wilson.

Μου φάνηκε ότι δεν ήταν δυνατόν να επιτευχθεί μια σαφής ερμηνεία της συνάρτησης ψ, λαμβάνοντας υπόψη τα δέσμια ηλεκτρόνια. Ως εκ τούτου, ήδη από τα τέλη του 1925, είχα κάνει μια προσπάθεια να επεκτείνω τη μέθοδο των πινάκων, η οποία προφανώς κάλυπτε μόνο τις ταλαντωτικές διεργασίες, κατά τρόπο ώστε να μπορεί να εφαρμοστεί και στις μη περιοδικές διεργασίες. Εκείνη την εποχή ήμουν φιλοξενούμενος του Τεχνολογικού Ινστιτούτου της Μασαχουσέτης στις ΗΠΑ όπου βρήκα στο πρόσωπο του Norbert Wiener έναν εξαιρετικό συνεργάτη. Στην κοινή µας εργασία¹⁶ αντικαταστήσαµε τον πίνακα µε τη γενική έννοια του τελεστή, και έτσι καταστήσαµε δυνατή την περιγραφή μη περιοδικών διεργασιών. Παρ’ όλα αυτά μας ξέφυγε η σωστή προσέγγιση. Αυτό αφέθηκε στον Schrödinger, και εγώ ακολούθησα αμέσως τη μέθοδό του, καθώς έδινε την υπόσχεση ότι θα οδηγούσε σε μια ερμηνεία της συνάρτησης ψ. Και πάλι μια ιδέα του Einstein μου έδωσε το προβάδισμα. Είχε προσπαθήσει να κάνει κατανοητό τον δυισμό των σωματιδίων φωτονίων και των κυμάτων ερμηνεύοντας το τετράγωνο των πλατών των οπτικών κυμάτων ως πυκνότητα πιθανότητας για την εμφάνιση φωτονίων. Αυτή η ιδέα θα μπορούσε αμέσως να μεταφερθεί στη συνάρτηση ψ : η ποσότητα |ψ|² θα έπρεπε να αντιπροσωπεύει την πυκνότητα πιθανότητας για τα ηλεκτρόνια (ή άλλα σωματίδια). Ήταν εύκολο να υποστηριχθεί αυτό, αλλά πώς θα μπορούσε να αποδειχθεί;

Στο σημείο αυτό εμφανίστηκαν οι διαδικασίες σκέδασης σε άτομα. Ένα πλήθος ηλεκτρονίων προερχόμενο από το άπειρο, που αντιπροσωπεύεται από ένα προσπίπτον κύμα γνωστής έντασης (δηλαδή, |ψ|²), προσκρούει σε ένα εμπόδιο, ας πούμε ένα βαρύ άτομο. Με τον ίδιο τρόπο που ένα κύμα νερού που παράγεται από ένα ατμόπλοιο προκαλεί δευτερογενή κυκλικά κύματα κατά την πρόσκρουση σε ένα βράχο, το προσπίπτον κύμα ηλεκτρονίων μετατρέπεται εν μέρει σε ένα δευτερογενές σφαιρικό κύμα του οποίου το πλάτος ταλάντωσης ψ διαφέρει για διαφορετικές κατευθύνσεις. Το τετράγωνο του πλάτους αυτού του κύματος σε μεγάλη απόσταση από το κέντρο σκέδασης καθορίζει τη σχετική πιθανότητα σκέδασης σε συνάρτηση με την κατεύθυνση. Επιπλέον, αν το ίδιο το άτομο που σκεδάζει είναι ικανό να υπάρχει σε διάφορες στάσιμες καταστάσεις, τότε η κυματική εξίσωση του Schrödinger δίνει αυτόματα την πιθανότητα διέγερσης αυτών των καταστάσεων και το ηλεκτρόνιο σκεδάζεται με απώλεια ενέργειας, δηλαδή ανελαστικά, όπως λέγεται. Με αυτόν τον τρόπο κατέστη δυνατό να αποκτήσουν θεωρητική βάση¹⁷ οι υποθέσεις της θεωρίας του Bohr, οι οποίες είχαν επιβεβαιωθεί πειραματικά από τους Franck και Hertz. Σύντομα ο Wentzel¹⁸ κατάφερε να εξαγάγει στηριζόμενος στη θεωρία μου τον περίφημο τύπο του Rutherford για τη σκέδαση των σωματιδίων- α.

Ωστόσο, μια εργασία του Heisenberg¹⁹, που περιείχε την περίφημη σχέση αβεβαιότητας, συνέβαλε, περισσότερο από τις προαναφερθείσες επιτυχίες, στην ταχεία αποδοχή της στατιστικής ερμηνείας της συνάρτησης ψ. Μέσω αυτής της εργασίας έγινε σαφής ο επαναστατικός χαρακτήρας της νέας αντίληψης. Έδειξε ότι όχι μόνο ο ντετερμινισμός της κλασικής φυσικής πρέπει να εγκαταλειφθεί, αλλά και η αφελής αντίληψη της πραγματικότητας που έβλεπε τα σωματίδια της ατομικής φυσικής σαν να ήταν πολύ μικροί κόκκοι άμμου. Κάθε στιγμή ένας κόκκος άμμου έχει μια συγκεκριμένη θέση και ταχύτητα. Αυτό δεν συμβαίνει με ένα ηλεκτρόνιο. Αν η θέση του προσδιορίζεται με αυξανόμενη ακρίβεια, η δυνατότητα εξακρίβωσης της ταχύτητας μειώνεται και αντίστροφα. Θα επανέλθω σύντομα σε αυτά τα προβλήματα σε γενικότερο πλαίσιο, αλλά θα ήθελα πρώτα να πω λίγα λόγια για τη θεωρία των κρούσεων.

Οι μαθηματικές μέθοδοι προσέγγισης που χρησιμοποίησα ήταν αρκετά ξεπερασμένες και σύντομα βελτιώθηκαν. Από τη βιβλιογραφία, η οποία έχει αυξηθεί σε σημείο που δεν μπορώ να την διαχειριστώ, θα ήθελα να αναφέρω μόνο μερικούς από τους πρώτους συγγραφείς στους οποίους η θεωρία οφείλει μεγάλη πρόοδο: Faxén στη Σουηδία, Holtsmark στη Νορβηγία²⁰, Bethe στη Γερμανία²¹, Mott και Massey στην Αγγλία²².

Σήμερα, η θεωρία των κρούσεων είναι μια ειδική επιστήμη με τα δικά της μεγάλα, ολοκληρωμένα εγχειρίδια, τα οποία είναι εντελώς πάνω από τις δυνάμεις μου. Βέβαια, σε τελευταία ανάλυση, όλοι οι σύγχρονοι κλάδοι της φυσικής, η κβαντική ηλεκτροδυναμική, η θεωρία των μεσονίων, των πυρήνων, των κοσμικών ακτίνων, των στοιχειωδών σωματιδίων και των μετασχηματισμών τους, όλα ανήκουν στο πεδίο εφαρμογής αυτών των ιδεών και δεν θα μπορούσαν να τεθούν όρια σε μια συζήτηση επ’ αυτών.

Θα ήθελα επίσης να αναφέρω ότι το 1926 και το 1927 δοκίμασα έναν άλλο τρόπο υποστήριξης της στατιστικής έννοιας της κβαντομηχανικής, εν μέρει σε συνεργασία με τον Ρώσο φυσικό Fock²³. Στην προαναφερθείσα εργασία τριών συγγραφέων υπάρχει ένα κεφάλαιο που προδικάζει τη συνάρτηση Schrödinger, με τη διαφορά ότι δεν θεωρείται ως συνάρτηση ψ(x) στο χώρο, αλλά ως συνάρτηση ψ_n του διακριτού δείκτη n = 1, 2, . . . που απαριθμεί τις στάσιμες καταστάσεις. Αν το εξεταζόμενο σύστημα υπόκειται σε μια δύναμη η οποία μεταβάλλεται με το χρόνο, η ψ_n γίνεται επίσης χρονικά εξαρτώμενη, και το |ψ_n(t)|² δηλώνει την πιθανότητα για την ύπαρξη της κατάστασης n τη χρονική στιγμή t. Ξεκινώντας από μια αρχική κατανομή όπου υπάρχει μόνο μια κατάσταση, λαμβάνονται οι πιθανότητες μετάβασης και μπορούν να εξεταστούν οι ιδιότητές τους. Αυτό που με ενδιέφερε, ιδιαίτερα τότε, ήταν τι συμβαίνει στην αδιαβατική οριακή περίπτωση, δηλαδή στην πολύ αργά μεταβαλλόμενη δράση. Ήταν δυνατό να δείξω ότι, όπως ήταν αναμενόμενο, η πιθανότητα των μεταβάσεων γίνεται όλο και μικρότερη. Η θεωρία των πιθανοτήτων μετάβασης αναπτύχθηκε ανεξάρτητα από τον Dirac με μεγάλη επιτυχία. Μπορεί να ειπωθεί ότι ολόκληρη η ατομική και πυρηνική φυσική λειτουργεί με αυτό το σύστημα εννοιών, ιδίως με την πολύ κομψή μορφή που τους έδωσε ο Dirac²⁴. Σχεδόν όλα τα πειράματα οδηγούν σε συμπεράσματα για τις σχετικές συχνότητες των γεγονότων, ακόμη και όταν αυτά συμβαίνουν κρυφά με ονόματα όπως ενεργός διατομή ή παρόμοια.

Πώς γίνεται, λοιπόν, μεγάλοι επιστήμονες όπως ο Einstein, ο Schrödinger και ο De Broglie να είναι δυσαρεστημένοι με την κατάσταση; Φυσικά, όλες αυτές οι αντιρρήσεις διατυπώνονται όχι κατά της ορθότητας των τύπων, αλλά κατά της ερμηνείας τους. Δύο στενά συνδεδεμένες απόψεις πρέπει να διακριθούν: το ζήτημα του ντετερμινισμού και το ζήτημα της πραγματικότητας.

Η νευτώνεια μηχανική είναι ντετερμινιστική με την ακόλουθη έννοια:

Εάν η αρχική κατάσταση (θέσεις και ταχύτητες όλων των σωματιδίων) ενός συστήματος είναι δεδομένη με ακρίβεια, τότε η κατάσταση σε οποιαδήποτε άλλη χρονική στιγμή (νωρίτερα ή αργότερα) μπορεί να υπολογιστεί από τους νόμους της μηχανικής. Όλοι οι άλλοι κλάδοι της κλασικής φυσικής έχουν δημιουργηθεί σύμφωνα με αυτό το μοντέλο. O μηχανιστικός ντετερμινισμός έγινε σταδιακά ένα είδος άρθρου της πίστης: ο κόσμος ως μια μηχανή, ως ένα αυτόματο. Απ’ όσο μπορώ να δω, αυτή η ιδέα δεν έχει προδρόμους στην αρχαία και μεσαιωνική φιλοσοφία. Η ιδέα είναι προϊόν της τεράστιας επιτυχίας της νευτώνειας μηχανικής, ιδίως στην αστρονομία. Τον 19ο αιώνα έγινε βασική φιλοσοφική αρχή για το σύνολο των θετικών επιστημών. Αναρωτήθηκα αν αυτό ήταν πραγματικά δικαιολογημένο. Μπορούν πράγματι να γίνουν απόλυτες προβλέψεις για πάντα με βάση τις κλασικές εξισώσεις κίνησης; Γίνεται εύκολα αντιληπτό, με απλά παραδείγματα, ότι αυτό ισχύει μόνο όταν δεχτούμε τη δυνατότητα της απόλυτα ακριβούς μέτρησης (της θέσης, της ταχύτητας ή άλλων μεγεθών). Ας θεωρήσουμε ένα σωματίδιο που κινείται χωρίς τριβές σε μια ευθεία γραμμή μεταξύ δύο ακραίων σημείων (τοίχων), στα οποία υφίσταται απολύτως ελαστική κρούση. Το σωματίδιο κινείται με σταθερή ταχύτητα ίση με την αρχική του ταχύτητα v₀ προς τα πίσω και προς τα εμπρός, και μπορεί να καθοριστεί ακριβώς πού θα βρίσκεται σε δεδομένη χρονική στιγμή, υπό την προϋπόθεση ότι η v₀ είναι επακριβώς γνωστή. Αν όμως επιτραπεί μια μικρή απροσδιοριστία Δv₀, τότε η απροσδιοριστία στην πρόβλεψη tΔv₀ της θέσης τη χρονική στιγμή t, αυξάνεται με το t. Αν κάποιος περιμένει αρκετά μέχρι τον χρόνο t_c=l/Δv₀, όπου l είναι η απόσταση μεταξύ των ελαστικών τοιχωμάτων, η απροσδιοριστία θα έχει γίνει ίση με ολόκληρο το διάστημα l. Έτσι, είναι αδύνατο να προβλέψει κανείς οτιδήποτε για τη θέση σε χρόνο που είναι μεταγενέστερος από τον t_c. Οπότε, ο ντετερμινισμός μετατρέπεται πλήρως σε απροσδιοριστία μόλις επιτραπεί η παραμικρή ανακρίβεια στα δεδομένα για την ταχύτητα. Υπάρχει κάποια έννοια – και εννοώ οποιαδήποτε φυσική έννοια, όχι μεταφυσική – υπό την οποία μπορεί κανείς να μιλήσει για απόλυτα δεδομένα; Δικαιολογείται κανείς να πει ότι η συντεταγμένη x = π cm όπου π = 3.1415. . είναι ο γνωστός υπερβατικός αριθμός που καθορίζει τον λόγο της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του; Ως μαθηματικό εργαλείο η έννοια του πραγματικού αριθμού που αντιπροσωπεύεται από ένα μη τερματικό δεκαδικό κλάσμα είναι εξαιρετικά σημαντικό και γόνιμο. Ως μέτρο μιας φυσικής ποσότητας είναι ανοησία. Εάν το π ληφθεί στην 20η ή 25η θέση των δεκαδικών ψηφίων, προκύπτουν δύο αριθμοί που δεν διακρίνονται μεταξύ τους, καθώς και η πραγματική τιμή του π με οποιαδήποτε μέτρηση. Σύµφωνα µε την ευρετική αρχή που χρησιµοποιήθηκε από τον Einstein στη θεωρία της σχετικότητας και από τον Heisenberg στην κβαντική θεωρία, οι έννοιες που δεν αντιστοιχούν σε κάποια πιθανή παρατήρηση πρέπει να εξαλειφθούν από τη φυσική. Αυτό είναι δυνατό χωρίς δυσκολία και στην παρούσα περίπτωση. Αρκεί να αντικαταστήσουμε δηλώσεις όπως x = π cm με: η πιθανότητα κατανομής των τιμών του x έχει ένα απότομο μέγιστο στο x = π cm – και (αν θέλουμε να είμαστε πιο ακριβείς) να προσθέσουμε: τέτοιου και τόσου πλάτους. Εν ολίγοις, η συνήθης μηχανική πρέπει επίσης να διατυπώνεται στατιστικά. Ασχολήθηκα λίγο πρόσφατα με το πρόβλημα αυτό και διαπίστωσα ότι είναι εφικτό χωρίς δυσκολία. Εδώ δεν είναι ο κατάλληλος χώρος για να εμβαθύνω περισσότερο στο θέμα. Θα ήθελα μόνο να πω το εξής: ο ντετερμινισμός της κλασικής φυσικής αποδεικνύεται ότι είναι μια ψευδαίσθηση, που δημιουργήθηκε από την υπερεκτίμηση των μαθηματικών-λογικών εννοιών. Είναι ένα είδωλο, όχι ένα ιδανικό στην επιστημονική έρευνα και δεν μπορεί, ως εκ τούτου, να χρησιμοποιηθεί ως αντίρρηση στην ουσιαστικά μη νομοτελειακή στατιστική ερμηνεία της κβαντομηχανικής.

Πολύ δυσκολότερη είναι η ένσταση που βασίζεται στην πραγματικότητα. Η έννοια ενός σωματιδίου, π.χ. ενός κόκκου άμμου, εμπεριέχει ανεπιφύλακτα την ιδέα ότι βρίσκεται σε μια καθορισμένη θέση και έχει μια καθορισμένη κίνηση. Αλλά σύμφωνα με την κβαντομηχανική είναι αδύνατο να προσδιοριστούν ταυτόχρονα με οποιαδήποτε επιθυμητή ακρίβεια τόσο η θέση όσο και η ταχύτητα (ακριβέστερα : η ορμή, δηλαδή η μάζα επί την ταχύτητα). Προκύπτουν λοιπόν δύο ερωτήματα: τι μας εμποδίζει, παρά τον θεωρητικό ισχυρισμό, να μετρήσουμε και τα δύο μεγέθη με οποιαδήποτε επιθυμητή ακρίβεια μέσω βελτιωμένων πειραμάτων; Δεύτερον, αν όντως αποδειχθεί ότι αυτό δεν είναι εφικτό, δικαιολογούμαστε ακόμα να εφαρμόζουμε στο ηλεκτρόνιο την έννοια του σωματιδίου και επομένως τις ιδέες που συνδέονται με αυτό;

Αναφερόμενοι στο πρώτο ερώτημα, είναι σαφές ότι αν η θεωρία είναι σωστή – και έχουμε αρκετούς λόγους να το πιστεύουμε αυτό – το εμπόδιο στην ταυτόχρονη μέτρηση της θέσης και της κίνησης (και άλλων τέτοιων ζευγών των λεγόμενων συζυγών μεγεθών) πρέπει να βρίσκεται στους ίδιους τους νόμους της κβαντομηχανικής. Πράγματι, έτσι είναι. Αλλά δεν είναι απλό θέμα να αποσαφηνιστεί η κατάσταση. Ο ίδιος ο Niels Bohr έχει καταβάλλει μεγάλο κόπο και εφευρετικότητα²⁵ για να αναπτύξει μια θεωρία μετρήσεων που να ξεκαθαρίζει το θέμα και να ανταποκρίνεται στις πιο βελτιωμένες και ευφυείς επιθέσεις του Einstein, ο οποίος προσπάθησε επανειλημμένα να σκεφτεί μεθόδους μέτρησης με τις οποίες θα μπορούσαν να μετρηθούν η θέση και η κίνηση ταυτόχρονα και με ακρίβεια. Από αυτές τις προσπάθειες προκύπτει το εξής: για τη μέτρηση των χωρικών συντεταγμένων και των χρονικών στιγμών απαιτούνται άκαμπτες μετρητικές ράβδοι και ρολόγια. Από την άλλη πλευρά, για τη μέτρηση των ορμών και των ενεργειών, απαιτούνται συσκευές με κινητά μέρη που απορροφούν την κρούση του δοκιμαστικού αντικειμένου και δείχνουν το μέγεθος της ορμής του. Λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι η κβαντομηχανική είναι αρμόδια για την αντιμετώπιση της αλληλεπίδρασης αντικειμένου και συσκευής, γίνεται αντιληπτό ότι δεν είναι δυνατή καμία διάταξη που να ικανοποιεί ταυτόχρονα και τις δύο απαιτήσεις. Υπάρχουν, επομένως, αμοιβαία αποκλειόμενα αν και συμπληρωματικά πειράματα, που μόνο ως σύνολο εμπερικλείουν όλα όσα συμβαίνουν σε σχέση με ένα αντικείμενο.

Αυτή η ιδέα της συμπληρωματικότητας θεωρείται σήμερα από τους περισσότερους φυσικούς ως το κλειδί για την καθαρή κατανόηση των κβαντικών διαδικασιών. Ο Bohr γενίκευσε την ιδέα αυτή σε αρκετά διαφορετικά πεδία γνώσης, π.χ. στη σχέση μεταξύ συνείδησης και εγκεφάλου, στο πρόβλημα της ελεύθερης βούλησης και σε άλλα βασικά προβλήματα της φιλοσοφίας. Για να έρθουμε τώρα στο τελευταίο σημείο: μπορούμε να ονομάσουμε κάτι με το οποίο οι έννοιες της θέσης και της κίνησης δεν μπορούν να συσχετιστούν με τον συνήθη τρόπο, πράγμα ή σωματίδιο; Και αν όχι, ποια είναι η πραγματικότητα, που η θεωρία μας επινοήθηκε για να περιγράψει;

Η απάντηση σε αυτό δεν είναι πλέον η φυσική, αλλά η φιλοσοφία, και η διεξοδική αντιμετώπισή της θα σήμαινε ότι θα ξεπερνούσε κατά πολύ τα όρια αυτής της διάλεξης. Έχω εκθέσει τις απόψεις μου επ’ αυτού αλλού²⁶. Εδώ θα πω μόνο ότι είμαι κατηγορηματικά υπέρ της διατήρησης της ιδέας των σωματιδίων. Φυσικά, είναι απαραίτητο να επαναπροσδιορίσουμε τι εννοείται. Για το σκοπό αυτό, υπάρχουν διαθέσιμες, καλά αναπτυγμένες έννοιες που εμφανίζονται στα μαθηματικά με το όνομα, αναλλοίωτες σε μετασχηματισμούς. Κάθε αντικείμενο που αντιλαμβανόμαστε εμφανίζεται σε αναρίθμητες όψεις. Η έννοια του αντικειμένου είναι η αναλλοίωτη όλων αυτών των όψεων. Από αυτή την άποψη, το σημερινό παγκοσμίως χρησιμοποιούμενο σύστημα εννοιών στο οποίο τα σωματίδια και τα κύματα εμφανίζονται ταυτόχρονα, μπορεί να δικαιολογηθεί πλήρως.

Οι τελευταίες έρευνες σχετικά με τους πυρήνες και τα στοιχειώδη σωμάτια μας οδήγησαν, ωστόσο, σε όρια πέρα από τα οποία αυτό το ίδιο το σύστημα εννοιών δεν φαίνεται να επαρκεί. Το μάθημα που πρέπει να πάρουμε από όσα διηγήθηκα για την προέλευση της κβαντομηχανικής είναι ότι οι πιθανές βελτιώσεις των μαθηματικών μεθόδων δεν αρκούν για να παραγάγουμε μια ικανοποιητική θεωρία, αλλά ότι κάπου στο δόγμα μας κρύβεται μια αντίληψη, αδικαιολόγητη από την εμπειρία, την οποία πρέπει να εξαλείψουμε για να ανοίξει ο δρόμος.

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ

Ευχαριστούμε τον καθηγητή του ΕΚΠΑ Θόδωρο Αραμπατζή για τη βοήθειά του στην ακριβή απόδοση όρων του κειμένου.

Το πορτραίτο του Born φιλοτέχνησε ο εικαστικός Χρήστος Αλαβέρας από τη Θεσσαλονίκη.

ΠΑΡΑΠΟΜΠΕΣ

[1] Ladenburg, R., 1921. Die quantentheoretische Deutung der Zahl der Dispersionselektronen. Z. Physik, 4, 451, http://dx.doi.org/10.1007/BF01331244; Ladenburg, R., and Reiche, F., 1923. Absorption, Zerstreuung und Dispersion in der Bohrschen Atomtheorie. Naturwiss., 11584, https://link.springer.com/article/10.1007/BF01554355.

[2] Kramers, H., A., 1924. The Law of Dispersion and Bohr’s Theory of Spectra. Nature, 113, 673, https://www.nature.com/articles/113673a0.

[3] Kramers, H., A., and Heisenberg, W., 1925. Über die Streuung von Strahlung durch Atome. Z. Physik, 31, 681, https://link.springer.com/article/10.1007/BF02980624.

[4]; Born, M., 1924. Über Quantenmechanik. Z. Physik, 26, 379, https://link.springer.com/article/10.1007/BF01327341; Born, M., and Jordan, P., 1925. Absorption, Zerstreuung und Dispersion in der Bohrschen Atomtheorie. Naturwiss., 11584,
https://doi.org/10.1007/BF01554355.

[5] Heisenberg, W., 1925. Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen. Z. Physik, 33, 879, https://doi.org/10.1007/BF01328377.

[6] Born, M., and Jordan, P., 1925. Zur Quantenmechanik. Z. Physik, 34, 858, https://link.springer.com/article/10.1007/BF01328531.

[7] Born, M., Heisenberg, W., and Jordan, P., 1926. Zur Quantenmechanik. II.. Z. Physik, 35, 557, https://link.springer.com/article/10.1007/bf01379806.

[8] Dirac, P., A., M., 1925. The fundamental equations of quantum mechanics. Proc. Roy. Soc., A109, 642, https://doi.org/10.1098/rspa.1925.0150.

[9] Pauli, W., 1926. Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik. Z. Physik, 36, 336, https://doi.org/10.1007/BF01450175.

[10] Schrödinger, E., 1926. Über das Verhältnis der Heisenberg Born Jordanischen Quantenmechanik zu der meinen. Ann. Physik, 79 (8), 734, https://doi.org/10.1002/andp.19263840804.

[11] De Broglie, L., 1925. Recherches sur la théorie des quanta (Researches on the quantum theory). Ann. Phys., 10 (3), 22-128, https://doi.org/10.1051/anphys/192510030022.

[12] Elsasser, W., 1925. Bemerkungen zur Quantenmechanik freier Elektronen. Naturwissenschaften 13, 711, https://doi.org/10.1007/BF01558853.

[13] Davisson, C., and Germer, L., H., 1927. Diffraction of Electrons by a Crystal of Nickel. Phys. Rev., 30, 707, https://doi.org/10.1103/PhysRev.30.705.

[14] Thomson, G., P., and Reid, A., 1927. Diffraction of Cathode Rays by a Thin Film. Nature, 119, 890, https://doi.org/10.1038/119890a0; Thomson, G., P., 1928 Experiments on the diffraction of cathode ray. Proc. Roy. Soc., A 117, 600, https://doi.org/10.1098/rspa.1928.0022.

[15] Schrödinger, E., 1952. Are there quantum jumps? Part II. Brit. J. Phil. Sci., 3, 109, 233, https://www.jstor.org/stable/685266.

[16] Born, M., and Wiener, N., 1926. Eine neue Formulierung der Quantengesetze für periodische und nicht periodische Vorgänge. Z. Physik, 36, 174, https://doi.org/10.1007/BF01382261.

[17] Born, M., 1926. Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge. Z. Physik, 37, 863-867, https://doi.org/10.1007/BF01397477; Göttinger Nachr. Math. Phys. Kl., 146.

[18] Wentzel, G., 1926. Zwei Bemerkungen über die Zerstreuung korpuskularer Strahlen als Beugungserscheinung. Z. Physik, 40, 590, https://doi.org/10.1007/BF01390457.

[19] Heisenberg, W., 1927. Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik. Z. Physik, 43, 172, http://dx.doi.org/10.1007/BF01397280.

[20] Faxén, H., and Holtsmark, J., 1927. Beitrag zur Theorie des Durchganges langsamer Elektronen durch Gase. Z. Physik, 45, 307, https://doi.org/10.1007/BF01343053.

[21] Bethe, H., A., 1930. On the Theory of the Passage of Fast Corpuscular Rays through Matter. Ann. Physik, 5, 325, https://doi.org/10.1002/andp.19303970303.

[22] Mott, N., F., 1929. The scattering of fast electrons by atomic nuclei. Proc. Roy. Soc.,A 124, 422, 425, http://dx.doi.org/10.1098/rspa.1929.0127; The Quantum Theory of electronic scattering by Helium. Proc. Cambridge Phil. Soc., 25, 304, https://doi.org/10.1017/S030500410001402X.

[23] Born, M., 1927. Das Adiabatenprinzip in der Quantenmechanik. Z. Physik, 40, 167, https://doi.org/10.1007/BF01400360; Born, M., and Fock, V., 1928. Beweis des Adiabatensatzes. Z. Physik 51, 165, https://doi.org/10.1007/BF01343193.

[24] Dirac, P., A., M., 1925. The fundamental equations of quantum mechanics. Proc. Roy. Soc., A 109, 642, https://doi.org/10.1098/rspa.1925.0150; 1926. Quantum mechanics and a preliminary investigation of the hydrogen atom, 110, 561, https://doi.org/10.1098/rspa.1926.0034; 1926. The elimination of the nodes in quantum mechanics, 111, 281, https://doi.org/10.1098/rspa.1926.0068; 1926. On the theory of quantum mechanics, 112, 674, https://doi.org/10.1098/rspa.1926.0133.

[25] Bohr, N., 1928. Das Quantenpostulat und die neuere Entwicklung der Atomistik. Naturwissenschaften, 16, 245, https://doi.org/10.1007/BF01504968; 1936. Kausalität und Komplementarität» (Causality and Complementarity), Die Erkenntnis, 6, 293, https://www.jstor.org/stable/20011824.

[26] Born, N., 1953. Physical Reality. Phil. Quart., 3, 134, https://doi.org/10.2307/2216882; 1954, Physik. Bl., I0, 49.

Erwin Schrödinger

Μετάφραση: Κωνσταντίνα Γεωργούλια

Το παρόν κείμενο είναι το πέμπτο κεφάλαιο από το βιβλίο του Erwin Schrödinger με τίτλο Science and the Human Temperament (Η Επιστήμη και η Ανθρώπινη Ιδιοσυγκρασία) που εκδόθηκε το 1935 στο Λονδίνο από τις εκδόσεις George Allen & Unwin Ltd.

Σε αυτό το κεφάλαιο, θα θίξω το ζήτημα του σε ποιο βαθμό έχει περιγραφεί η εικόνα του φυσικού σύμπαντος, όπως μας την έχει παρουσιάσει η σύγχρονη επιστήμη, υπό την επιρροή ορισμένων σύγχρονων τάσεων, οι οποίες δεν αφορούν μόνο την επιστήμη. Βλέπουμε αυτές οι τάσεις να κυριαρχούν στις τέχνες και στα τεχνουργήματα (Σ.τ.Μ.: «Crafts» στο πρωτότυπο. Αρχικά, με τον όρο «crafts» όριζαν τη χειροτεχνία, τα χειροποίητα αντικείμενα, αλλά μετά τον 19^ο αιώνα χαρακτήριζαν τον σχεδιασμό και τη μηχανική παραγωγή χρηστικών αντικειμένων, π.χ. κοσμήματα, καθρέπτες, χτένες κτλ. Πρόκειται για όρο αγγλοσαξονικό, από την απαρχή της βιομηχανικής επανάστασης.), στην πολιτική και στις βιομηχανικές και κοινωνικές δομές. Για παράδειγμα, στην τέχνη, μια κυρίαρχη ιδέα είναι εκείνη της απλότητας και της σκοπιμότητας –reine Sachlichkeit, για να χρησιμοποιήσω μια γερμανική έκφραση– και η ίδια σκέψη κυριαρχεί και σε ολόκληρο τον κλάδο των τεχνουργημάτων. Στην πολιτική και στην κοινωνική τάξη, η επιθυμία για αλλαγή και ελευθερία από τον ζυγό του νόμου, των συμβάσεων και της εξουσίας είναι ένα ιδιαίτερο χαρακτηριστικό. Η φιλοσοφική και ηθική οπτική μας είναι αισθητά σχετική και όχι απόλυτη. Στην κοινωνική και εμπορική και βιομηχανική οργάνωσή μας, οι μέθοδοι ελέγχου των μαζών και ο εξορθολογισμός είναι η μόδα της εποχής. Σε αυτά έρχεται να προστεθεί εκείνη η αξιοσημείωτη εφεύρεση του καιρού μας που ακούει στο όνομα στατιστική. Ας πάρουμε καθεμία από αυτές τις κύριες τάσεις και ας τη συζητήσουμε ξεχωριστά, επισημαίνοντας παρόμοια χαρακτηριστικά στη σύγχρονη φυσική επιστήμη.

Απλότητα και σκοπιμότητα στις τέχνες και στα τεχνουργήματα. Ελάχιστοι ζωγράφοι πορτραίτων στις μέρες μας –για να πάρουμε ως παράδειγμα αυτό το είδος της τέχνης– θα σκέφτονταν να ζωγραφίσουν ένα πορτραίτο όπως εκείνο του Πάπα Λέοντα Χ του Ραφαήλ, όπου η κάθε λεπτομέρεια του ενδύματος και των επίπλων έχει δουλευτεί με μεγάλη προσοχή. Οι καλλιτέχνες μας θα είναι ικανοποιημένοι αν αιχμαλωτίσουν τα βασικά χαρακτηριστικά του μοντέλου τους και θα θεωρήσουν την όποια προσπάθεια που έχει να κάνει με τη διακόσμηση ή τη λεπτομερή ζωγραφική των αξεσουάρ ως εμπόδιο όσον αφορά τον κύριο σκοπό, ο οποίος είναι να παρουσιάσουν τον χαρακτήρα του μοντέλου, όπως αυτός απεικονίζεται στα βασικά χαρακτηριστικά του. Πίσω από όλη τη δεξιοτεχνία μας υπάρχει η ίδια ακριβώς θέληση που έχει να κάνει με τη σκοπιμότητα. Στην κατασκευή των σπιτιών και των επίπλων μας και όλων των οικιακών αξεσουάρ, στους τρόπους κατασκευής που υιοθετούνται από τους μηχανικούς αυτοκινήτων και του σιδηροδρόμου και των πλοίων, οτιδήποτε δεν συμβάλλει στον βασικό σκοπό εξορκίζεται. Νιώθουμε ότι δεν θέλουμε καμία διακόσμηση που δεν θα εναρμονιζόταν με την κεντρική ιδέα της πρακτικής χρησιμότητας. Και εξορκίζουμε αυτά τα διακοσμητικά αξεσουάρ όχι λόγω έλλειψης καλλιέργειας ή λόγω κακόγουστου ωφελιμισμού, αλλά μάλλον γιατί είμαστε πεπεισμένοι ότι αν πληρείται το κριτήριο της χρησιμότητας αυτό θα εξελίξει τον δικό του τύπο ομορφιάς. Δεν φοβόμαστε πλέον τους τεράστιους άδειους χώρους όσον αφορά την επίπλωσή μας ή τους τοίχους μας. Δεν έχουμε πλέον αυτό που αποκαλούν οι Γερμανοί Platzangst, τον φόβο των άδειων χώρων. Πράγματι, θα πρέπει να το θεωρούμε κακογουστιά να γεμίζουμε αυτούς τους άδειους χώρους πάνω στους τοίχους μας με ανούσιες εικόνες μέσα σε περίτεχνα σκαλισμένες κορνίζες ή να ποικίλλουμε τη μονοτονία του άθικτου τοίχου με σπειροειδή διακοσμητικά στοιχεία ή πίνακες ή άλλη σκαλιστή διακόσμηση.

Τώρα, υπάρχει κάτι παρόμοιο στην επιστήμη μας. Αρχίζουμε να διατυπώνουμε μια άποψη όσον αφορά τη διαμόρφωση της εικόνας μας σχετικά με το φυσικό σύμπαν με τέτοιο τρόπο, ώστε να αντιπροσωπεύει μόνο τα γεγονότα που μπορούν στην πραγματικότητα να επαληθευτούν μέσω του πειράματος και αποφεύγουμε όσο πιο πολύ μπορούμε όλες τις εκούσιες θεωρίες ή υποθέσεις. Δεν θέλουμε διακοσμητικά αξεσουάρ. Όπως δεν φοβόμαστε πλέον τις γυμνές επιφάνειες στα έπιπλά μας και στα δωμάτια που κατοικούμε, έτσι και στην επιστημονική εικόνα που έχουμε για τον εξωτερικό κόσμο δεν προσπαθούμε να γεμίσουμε τους άδειους χώρους. Προσπαθούμε να αποκλείσουμε οτιδήποτε που στη θεωρία δεν μπορεί να είναι το αντικείμενο της πειραματικής παρατήρησης. Και πιστεύουμε ότι είναι καλύτερο να αφήσουμε το αίσθημα έλλειψης πληρότητας ανικανοποίητο αντί να εισαγάγουμε νοητικές δομές, οι οποίες δεν μπορούν από τη φύση τους να ελεγχθούν πειραματικά όσον αφορά την αντιστοιχία τους με την εξωτερική πραγματικότητα.

Ως παράδειγμα, θα μπορούσα να χρησιμοποιήσω την ανάπτυξη της κινητικής θεωρίας των αερίων. Στο παρελθόν, τα μόρια των αερίων θεωρούνταν λείες, ελαστικές μπάλες ή σφαιροειδή, σαν μικροσκοπικές μπάλες του μπιλιάρδου –αλλά απολύτως ελαστικές– που αναπηδούσαν, όταν συγκρούονταν μεταξύ τους ή με τα τοιχώματα του δοχείου. Σταδιακά, θεωρήθηκε επαρκές και πράγματι προτιμότερο να αντικαταστήσουμε τις μπάλες του μπιλιάρδου με μηχανικά συστήματα, η ακριβής φύση των οποίων μπορεί να παραμείνει απροσδιόριστη, δεδομένου μόνο τού ότι υπακούν ακριβώς στους μηχανικούς νόμους. Ωστόσο, αυτά με τη σειρά τους θεωρήθηκαν σταδιακά ακατάλληλα όσον αφορά την εφαρμογή τους στην εσωτερική δομή των ατόμων και των μορίων και, στη συνέχεια, προέκυψε ότι τα κύρια αποτελέσματα που έδωσε η παλαιότερη θεωρία των αερίων μπορούσαν να ληφθούν υπόψη χωρίς καμία άλλη υπόθεση από εκείνη που υποστηρίζει ότι ο νόμος της διατήρησης της ενέργειας και της ορμής θεωρείται ότι επηρεάζει τις συγκρούσεις των μορίων μεταξύ τους ή με τα τοιχώματα του δοχείου. Και είναι ακόμη και αρκετό να θεωρήσουμε ότι αυτοί οι νόμοι εκφράζουν απλώς μέσους όρους, δηλαδή ότι είναι ορθοί μόνο για έναν μεγάλο αριθμό μοριακών συγκρούσεων που λαμβάνονται υπόψη χονδρικά.

Άλλο ένα παράδειγμα είναι αυτό της εντυπωσιακής συμπεριφοράς που έχει να κάνει με τη σύγχρονη έννοια της κβαντικής μηχανικής, όπως αυτή εφαρμόζεται στα ατομικά προβλήματα που ήρθαν αντιμέτωπα με την πρωιμότερη διατύπωση. Πρόκειται για ένα θεμελιώδες αξίωμα της σύγχρονης κβαντικής θεωρίας, σύμφωνα με το οποίο, ένα άτομο, όταν εκπέμπει ακτινοβολία, αλλάζει από ένα πολύ διακριτά ορισμένο επίπεδο υψηλότερης ενέργειας σε ένα διακριτά ορισμένο επίπεδο χαμηλότερης ενέργειας και εκπέμπει μια ποσότητα ενέργειας ως κύμα φωτός, του οποίου η συχνότητα ορίζεται με ακρίβεια. Ας ονομάσουμε το πρώτο επίπεδο ενέργειας Ε₁ και το δεύτερο Ε₂. Τότε, η συχνότητα του κύματος φωτός είναι (Ε₁ – Ε₂)/h, όπου h είναι η σταθερά του Planck¹. Σημαντικότατο κομμάτι αυτής της θεωρίας είναι ότι δεν απαντώνται ποτέ ενδιάμεσες τιμές ενέργειας, ανάμεσα στην Ε₁ και την Ε₂. Αλλάζει, λοιπόν, το άτομο ακαριαία, δηλαδή χωρίς να απαιτηθεί χρόνος, από τη μία κατάσταση ενέργειας στην άλλη; Αυτό δεν μπορεί να ισχύει, μιας και ο κυματοσυρμός, τον οποίο παράγει, μπορεί να αποδειχθεί ότι έχει ένα σημαντικό μήκος, σε ορισμένες περιπτώσεις πάνω από ένα μέτρο, και άρα η εκπομπή πρέπει να απαιτεί χρόνο, ο οποίος, από τη σκοπιά της ατομικής αντίδρασης, είναι σημαντικός. Τι ενέργεια έχει το άτομο κατά τη διάρκεια αυτού του χρόνου – δηλαδή κατά την εκπομπή του κυματοσυρμού; Είναι Ε₁ ή Ε₂; Όποια απάντηση και αν επιλέξουμε να δώσουμε, θα πρέπει να λάβουμε υπόψη μας ορισμένες δυσκολίες. Γιατί όσο η ατομική ενέργεια εξακολουθεί να είναι Ε₁, η ενέργεια του φωτός θα εκπεμπόταν, κατά κάποιον τρόπο, «σε δόσεις». Και αν το άτομο πραγματοποιήσει τη μεταπήδηση σε Ε₂, προτού ολοκληρωθεί η διαδικασία της ακτινοβολίας, τότε θα είναι σαν να πραγματοποιεί την πληρωμή «προκαταβολικά». Σε κάθε περίπτωση, τι συμβαίνει στην ιερή Αρχή της Διατήρησης της Ενέργειας, αν, για παράδειγμα, λάμβανε χώρα κάποια βίαιη παρεμβολή, η οποία θα διέκοπτε τη διαδικασία, όπως η σύγκρουση με ένα άλλο άτομο; Αυτό το δίλημμα παρέμεινε άλυτο στην παλαιότερη κβαντική θεωρία: αλλά η νεότερη κβαντική θεωρία υιοθετεί την παράδοξη στάση ότι το ερώτημα είναι ανούσιο. Δεν πρέπει να ρωτάμε τι ενέργεια έχει «στ’ αλήθεια» το άτομο ανά πάσα στιγμή, εκτός αν μπορούμε να τη μετρήσουμε. Και, σύμφωνα με τον Heisenberg², αυτή η μέτρηση είναι θεωρητικώς αδύνατη χωρίς την ενεργητική αλληλεπίδραση με το σύστημα, η οποία γίνεται όλο και πιο σημαντική όσο πιο ακριβής γίνεται η μέτρηση (αυτό αφορά τη σχέση αβεβαιότητας ανάμεσα στην ενέργεια και τον χρόνο). Αν αποφασίσουμε να πραγματοποιήσουμε τη μέτρηση, τότε υποστηρίζεται ότι θα βρούμε είτε την τιμή Ε₁ είτε την Ε₂, ποτέ μια ενδιάμεση τιμή· και, επίσης, σε πλήρη αντιστοιχία, θα ανιχνεύσουμε γύρω από το άτομο είτε τη συνολική ποσότητα ενέργειας, Ε₁–Ε₂, με τη μορφή ακτινοβολίας, ή απολύτως τίποτα. Άρα, αν εξετάσουμε πειραματικά, δεν θα διαπιστώσουμε ποτέ να παραβιάζεται η Αρχή της Διατήρησης της Ενέργειας. Αν δεν εξετάσουμε πειραματικά, ε, τότε, λοιπόν, είμαστε υποχρεωμένοι να αποφύγουμε να δώσουμε οποιοδήποτε νόημα στην έννοια της πραγματικής ενέργειας του συστήματος! Η εικόνα που έχουμε για τον κόσμο θα πρέπει να παραμείνει γυμνή και άδεια υπό αυτή την έννοια – δεν φοβόμαστε τον άδειο χώρο πάνω στον καμβά μας. Εδώ παρουσιάζω τη σύγχρονη άποψη, χωρίς να της ασκώ κριτική. Μπορείτε, αν θέλετε, να την αποκαλέσετε επιστημονική μόδα της εποχής, γιατί αυτή είναι που μας ενδιαφέρει για τον σκοπό της παρούσας συζήτησης.

Επιθυμία για Αλλαγή και Ελευθερία από την Εξουσία: Σε σχεδόν κάθε τομέα της ανθρώπινης δραστηριότητας, τον πολιτικό, τον κοινωνικό, τον καλλιτεχνικό ή τον θρησκευτικό, υπάρχει σήμερα ένας έντονος σκεπτικισμός σε σχέση με τις παραδοσιακά αποδεκτές αρχές. Ασφαλώς, σε όλες τις εποχές, υπήρχε η επιθυμία για αλλαγή· αλλιώς, η ζωή δεν θα εξελισσόταν. Αλλά αυτό που εντυπωσιάζει περισσότερο σήμερα είναι ότι η επιθυμία των ανθρώπων να μην παρασυρθούν από το ρεύμα των παραδεδομένων ιδεών επεκτείνεται όχι μόνο σε κάθε κλάδο της ανθρώπινης δραστηριότητας, αλλά είναι και μια συνήθης στάση που υιοθετούν όλες οι τάξεις. Και επιπλέον, οι ριζοσπάστες αυτοί καθαυτοί δεν συνιστούν πλέον μια μειονότητα εκκεντρικών και ενοχλητικών· η επιθυμία για αλλαγή είναι πανανθρώπινη. Είναι ένα πνευματικό χαρακτηριστικό των πιο υπεύθυνων και σοβαρών ανθρώπων από εμάς, και όχι απλώς μια τρελή ιδέα του όχλου, ο οποίος είναι πάντα έτοιμος να επιρρίψει την ευθύνη για τις δυστυχίες που βιώνει στην ανοησία των άλλων και σκέφτεται ότι οτιδήποτε άλλο εκτός από την τωρινή τάξη θα ήταν καλύτερο. Η τάση να υποτιμούμε την αξία των υπαρχόντων θεσμών φαίνεται πιο έντονα στη γενική στάση απέναντι στην εξουσία κάθε είδους, ιδίως εκείνη την εξουσία, η οποία βασίζεται αποκλειστικά στην παράδοση. Οτιδήποτε θα πρέπει να υπόκειται σε ανεξάρτητο εξονυχιστικό έλεγχο και ένας θεσμός, ο οποίος δεν μπορεί να αιτιολογήσει τον εαυτό του, σε αυτή τη βάση, θα πρέπει να εγκαταλείπεται. Θα πρέπει να έχει κάτι άλλο που να τον προτείνει, αντί απλώς την ιστορική εξέλιξη ή την αποδοχή των προηγούμενων γενεών.

Δεν θα υπερασπιστώ εδώ αυτή την τάση ούτε θα καταφερθώ εναντίον της. Υπάρχει και πρέπει να τη θεωρήσουμε δεδομένη. Και βλέπουμε η επιρροή της να είναι πολύ έντονα αισθητή στη σύγχρονη φυσική. Ωστόσο, στην περίπτωση της φυσικής επιστήμης, μπορούμε να εντοπίσουμε την απαρχή του κινήματος πολύ πιο πριν από τον παγκόσμιο πόλεμο (Σ.τ.Μ.: Πρόκειται για τον Α´ Παγκόσμιο Πόλεμο.). Το πρώτο βήμα προς την κατεύθυνση της ριζικής αλλαγής ήταν η ανακάλυψη αυτού που αποκαλείται μη ευκλείδεια γεωμετρία πριν από πάνω από εκατό χρόνια. Αργά και διακριτικά, αλλά με αυξανόμενη ένταση αναδύθηκε το ερώτημα που είχε να κάνει με το ποια γεωμετρία είναι στ’ αλήθεια πραγματική – η παραδοσιακά ιερή γεωμετρία του Ευκλείδη, σύμφωνα με την οποία ο τρισδιάστατος χώρος είναι ανάλογος προς ένα απείρως επεκτεινόμενο επίπεδο σε δύο διαστάσεις, ή μία από τις προσφάτως επινοημένες γεωμετρίες που παρουσιάζουν έναν συγκεκριμένο θετικά ή αρνητικά καμπύλο χώρο. Η τόλμη που φανερώνει αυτή η ιδέα θα σας εκπλήξει, όταν θυμηθείτε ότι, με τη θετική καμπυλότητα, ο τρισδιάστατος χώρος θα έβρισκε τη δισδιάστατη αναλογία του στην επιφάνεια μιας τεράστιας μπάλας και, όπως ακριβώς η επιφάνεια της μπάλας, θα ήταν πεπερασμένος, αν και απεριόριστος.

Συχνά, αναφέρεται –αν και μου έχουν πει ότι δεν μπορεί να αποδειχθεί από τίποτε από αυτά που έχει γράψει ο Gauss³ στα άρθρα ή στις επιστολές του– ότι αυτός ο σπουδαίος μαθηματικός, πραγματοποιώντας μια τριγωνομέτρηση στη Βόρεια Γερμανία, είχε την ελπίδα μιας πιθανής πειραματικής απόφασης ανάμεσα στις διαφορετικές γεωμετρίες. Γιατί με βάση και τους δύο τύπους της μη ευκλείδειας γεωμετρίας, το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου θα έπρεπε να μην είναι 180°, είτε η τιμή αυτή είναι μεγαλύτερη είτε μικρότερη· η τιμή 180° είναι χαρακτηριστική μόνο για τη συνήθη ευκλείδεια περίπτωση, η οποία βρίσκεται ακριβώς στο ενδιάμεσο. Επιπλέον, η απόκλιση θα πρέπει να είναι ανάλογη με το εμβαδόν του τριγώνου. Αν αυτός ο θρύλος του Gauss είναι αληθής, θα μπορούσε κανείς να τον θεωρήσει μια ένδειξη της προοδευτικής διάνοιάς του, αφού δεν δίστασε να απομακρυνθεί από την ιερή παράδοση, με βάση την οποία οτιδήποτε άλλο μέχρι την τότε αποδεκτή γεωμετρία ήταν αδύνατο. Από την άλλη, αν ο θρύλος είναι αναληθής, αυτό μπορεί να ισχύει γιατί ο Gauss είχε μια ακόμη μεγαλύτερη διορατικότητα όσον αφορά το ερώτημα! Γιατί από εκείνη την εποχή, έχουμε μάθει από τον Henri Poincaré⁴ ότι θα ήταν πολύ δύσκολο να αναμένουμε μια πειραματική απόφαση, δηλαδή ότι υπό μία ορισμένη έννοια είναι θεωρητικώς αδύνατη. Από τη στιγμή που η μέτρηση των γωνιών θα πρέπει προφανώς να γίνει με οπτικά όργανα, εξαρτάται, καταρχάς, από την ένταση των ακτίνων του φωτός, και στη συνέχεια από την κίνηση των μεταλλικών στροφέων και άλλων εξαρτημάτων που κινούνται σε αυτό που ήταν ίσως ένας μη ευκλείδειος χώρος. Όλα αυτά οδήγησαν τον Poincaré στο συμπέρασμα ότι είμαστε απολύτως ελεύθεροι να πιστεύουμε οποιαδήποτε γεωμετρία θέλουμε να είναι αληθής. Επιλέγουμε εκείνη που μας είναι πιο βολική – δηλαδή τη γεωμετρία σύμφωνα με την οποία οι νόμοι της φύσης εμφανίζονται με την απλούστερη μορφή τους και σύμφωνα με την οποία μπορούμε με τον απλούστερο τρόπο να εκφράσουμε τους νόμους της διάδοσης του φωτός, την κίνηση των πραγματικών στερεών σωμάτων και ούτω καθεξής.

Η επαναστατική τάση της σύγχρονης φυσικής έχει εκφραστεί πιο έντονα στη θεωρία της σχετικότητας και στην κβαντική θεωρία. Η δεύτερη αμφισβητεί ακόμη και την εγκυρότητα της αρχής της αιτιότητας. Με την ευκαιρία, να πω εδώ ότι πιστεύω πως ό,τι ισχύει στη γεωμετρία ισχύει και στην αιτιότητα. Δεν μπορεί ποτέ να αποφασιστεί πειραματικά αν η αιτιότητα στη φύση είναι «αληθής» ή «αναληθής». Η σχέση μεταξύ αιτίου και αιτιατού, όπως επισήμανε ο Hume⁵ πριν από πολύ καιρό, δεν είναι κάτι που βρίσκουμε στη φύση, αλλά είναι ένα χαρακτηριστικό του τρόπου με τον οποίο βλέπουμε τη φύση. Είμαστε απολύτως ελεύθεροι να υποστηρίξουμε αυτή την αρχή της αιτιότητας ή να την αλλάξουμε όπως μας βολεύει, με την έννοια ότι μπορούμε να την εκλάβουμε με όποιον τρόπο οδηγεί σε μια απλούστερη περιγραφή των φυσικών φαινομένων. Και εδώ θα πρέπει να επισημανθεί ότι όχι μόνο είμαστε ελεύθεροι να απορρίψουμε μια εδώ και πολύ καιρό αποδεκτή αρχή, όταν πιστεύουμε ότι βρήκαμε κάτι πιο βολικό από την άποψη της φυσικής έρευνας, αλλά και ότι είμαστε, επίσης, ελεύθεροι να υιοθετήσουμε εκ νέου την απορριφθείσα αρχή, όταν δούμε ότι κάναμε λάθος που την αφήσαμε στην άκρη. Αυτό το λάθος μπορεί εύκολα να γίνει φανερό με την ανακάλυψη νέων δεδομένων. Μια αναπτυσσόμενη εμπειρική επιστήμη δεν χρειάζεται και δεν πρέπει να φοβάται ότι θα αποδοκιμαστεί λόγω έλλειψης συνέπειας ανάμεσα στα συμπεράσματά της τις επόμενες εποχές.

Η Ιδέα της Σχετικότητας και του Αναλλοίωτου: Πιστεύω ότι αυτή η ομάδα ιδεών θα πρέπει να αντιμετωπιστεί ξέχωρα από την επαναστατική πτυχή της, γιατί αυτή καθαυτή εκτείνεται πέρα από το αντικείμενο της φυσικής. Η ιδέα της σχετικότητας είναι πολύ παλαιότερη από τη Θεωρία της Σχετικότητας του Αϊνστάιν. Οι πρώτοι ιστορικά γνωστοί σχετικιστές της Δύσης ήταν οι Έλληνες Σοφιστές, οι οποίοι υποστήριζαν ότι μπορούσαν με την τέχνη των λέξεων να αποδείξουν εξίσου το αληθές είτε της μίας είτε της άλλης από δύο αντικρουόμενες δηλώσεις. Παρόλο που μια τέτοιου είδους διαφήμιση θα μπορούσε να είναι χρήσιμη για τους δικηγόρους και τους πολιτικούς, ωστόσο τείνω να πιστεύω ότι οι Σοφιστές είχαν αρχικά ως στόχο κάτι πολύ πιο σοβαρό από το να καυχηθούν απλώς για την αυτού εξοχότητά τους με εξαιρετικά πειστικά λόγια. Είμαι σίγουρος ότι ήθελαν να τονίσουν την αλήθεια ότι μια δήλωση είναι πολύ σπάνια απλώς είτε σωστή είτε λάθος, αλλά ότι σχεδόν πάντα μπορεί να βρεθεί μια άποψη με βάση την οποία είναι σωστή και μια άλλη άποψη με βάση την οποία είναι λάθος. Πολύ γενικά, ο πυρήνας της ιδέας της σχετικότητας είναι ο εξής: Ακόμη και σε ένα πολύ συγκεκριμένο ερώτημα το οποίο έχει τεθεί με ακρίβεια (για παράδειγμα: κινείται η Γη στο μέσο μέσα από το οποίο διαδίδονται τα κύματα του φωτός ή όχι;), παρόλο που το ερώτημα μπορεί να απαντηθεί με ένα απλό «Ναι» ή «Όχι», ωστόσο κάποιος μερικές φορές πρέπει να απαντήσει λέγοντας: Εξαρτάται από το πώς το βλέπει κανείς. Εξαρτάται. Αλλά ασφαλώς δεν είναι αυτή η διφορούμενη απάντηση που περιέχει τη σπουδαία σκέψη. Το πραγματικό βασικό σημείο είναι να δομήσουμε αυτό το Εξαρτάται με τέτοιο τρόπο ώστε οι αντιφάσεις που οδήγησαν στο δίλημμα να ακυρωθούν.

Στο παράδειγμα στο οποίο αναφέρθηκα εμμέσως, η λεγόμενη εκτροπή του φωτός που προέρχεται από έναν σταθερό αστέρα φαινόταν να αντιτίθεται στα αποτελέσματα του πειράματος του Michelson⁶. Με τον όρο «εκτροπή» δηλώνουμε το γεγονός ότι η κατεύθυνση στην οποία βλέπουμε τον σταθερό αστέρα αλλάζει ελαφρώς, όταν αλλάζει η κατεύθυνση της κίνησης της Γης κατά τη διάρκεια της ετήσιας περιστροφής της. Το προφανές συμπέρασμα ήταν ότι η Γη κινείται αντίθετα με τα κύματα του φωτός, όπως ακριβώς ο οδηγός ενός αυτοκινήτου κινείται αντίθετα με τη βροχή που χτυπάει πάνω στο παρμπρίζ του. Σε εκείνον φαίνεται σαν η βροχή να έρχεται πάνω του από μπροστά. Αν αυτό το συμπέρασμα ήταν σωστό, κάποιος θα μπορούσε να συμπεράνει, επίσης, ότι σε ένα εργαστήριο, το οποίο κινείται μαζί με τη Γη, μια ακτίνα φωτός θα έπρεπε να χρειάζεται περισσότερο χρόνο για να ταξιδέψει, για παράδειγμα, από το ένα άκρο του εργαστηρίου στο άλλο, αν αυτή είναι η κατεύθυνση της κίνησης της Γης (και, κατά συνέπεια, του εργαστηρίου) απ’ ό,τι αν ήταν η αντίθετη κατεύθυνση. Γιατί όταν ο στόχος κινείται προς τον δρομέα, ο δρομέας θα τον φτάσει νωρίτερα απ’ ό,τι όταν ο στόχος απομακρύνεται. Αλλά το πείραμα του Michelson αποδεικνύει ότι χρειάζεται ο ίδιος χρόνος και στις δύο περιπτώσεις. Πολλές εξηγήσεις έχουν διατυπωθεί όσον αφορά αυτή τη δυσκολία, αλλά καμία τους δεν είναι ικανοποιητική. Για παράδειγμα, υπάρχει μία που επιχειρεί να λύσει τον γρίφο, προτείνοντας ότι η δέσμη φωτός που προέρχεται από ένα εργαστήριο-πηγή αποκτά την ταχύτητα της πηγής τη στιγμή της εκπομπής, δηλαδή την ταχύτητα της Γης, με περίπου τον ίδιο τρόπο που μια σφαίρα η οποία εκτοξεύεται από ένα αεροπλάνο λαμβάνει την ταχύτητα του γρήγορα κινούμενου αεροπλάνου μαζί με την ταχύτητα που της δίνει το όπλο από το οποίο εκτοξεύεται.

Αλλά αυτή η υπόθεση δεν λειτουργεί. Γιατί γνωρίζουμε ότι υπάρχουν μακρινά δίδυμα αστέρια, τα οποία περιστρέφονται το ένα γύρω από το άλλο. Τώρα, αν η παραπάνω εξήγηση ήταν ορθή, θα έπρεπε να ισχύει και για το φως που εκπέμπεται από τα αστέρια. Κατά συνέπεια, το φως που εκπέμπεται όταν το αστέρι απομακρύνεται από εμάς οφείλει να ξεκινήσει το ταξίδι του με μια μικρότερη ταχύτητα απ’ ό,τι το φως που εκπέμπεται λίγη ώρα αργότερα, όταν το αστέρι κινείται προς το μέρος μας. Αν ίσχυε κάτι τέτοιο, θα οδηγούσε σε μια απελπιστική «σύγχυση»· γιατί θα σήμαινε ότι το φως, το οποίο είχε εκπεμφθεί αργότερα θα έφτανε σε εμάς νωρίτερα, αν υποθέσουμε ότι η αλλαγή κατεύθυνσης είχε λάβει χώρα στο ενδιάμεσο. Αλλά δεν μπορούμε να βρούμε κανένα ίχνος αυτής της σύγχυσης του φωτός που προέρχεται από μακρινές δίδυμες πηγές.

Η πολύ μεγάλη δυσκολία που έχει το να ελέγξουμε αν όλα αυτά τα δεδομένα συμφωνούν μεταξύ τους οδήγησε τελικά σε αυτό που ονομάζεται Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας. Εδώ, μπορώ μόνο να δείξω το βασικό σημείο της. Η κίνηση ενός σώματος μπορεί να παρατηρηθεί απευθείας μόνο σε σχέση με ένα άλλο σώμα που λειτουργεί ως ένα «σύστημα αναφοράς». Τώρα ας προσπαθήσουμε απλώς να υποθέσουμε ότι η έννοια της κίνησης δεν έχει κανένα άλλο νόημα παρά μόνο αυτό της σχετικής κίνησης των υλικών σωμάτων. Αν ήταν δυνατό να διατυπώσουμε όλους τους νόμους της Φύσης, συμπεριλαμβανομένων των νόμων της οπτικής, ώστε να συνεπάγονται μόνο τις σχετικές ταχύτητες των υλικών σωμάτων, τότε, αυτομάτως, στο πείραμα του Michelson, όπου όλα τα εν λόγω σώματα (η Γη, τα οπτικά όργανα και ο παρατηρητής) δεν κινούνται καθόλου το ένα σε σχέση με το άλλο, καμία ταχύτητα ενός σώματος δεν μπορεί να εμφανιστεί στα αποτελέσματα του πειράματος. Ωστόσο, στην περίπτωση της εκτροπής του φωτός που προέρχεται από έναν μακρινό αστέρα, υπάρχουν στην πραγματικότητα δύο υλικά συστήματα, και συγκεκριμένα ο παρατηρητής πάνω στη Γη και ο σταθερός αστέρας. Είναι πιθανό οι σχετικές ταχύτητές τους να πρέπει να ληφθούν υπόψη.

Αυτή η περίπτωση μπορεί, επίσης, να χρησιμεύσει ως πείραμα του αποκλεισμού των περιττών χαρακτηριστικών στην επιστημονική εικόνα μας όσον αφορά το φυσικό σύμπαν. Αν αποκλείσουμε την αφηρημένη έννοια την οποία αποκαλούμε «κίνηση», όπως επίσης και την έννοια της «ταυτοχρονίας» (στην οποία δεν θα υπεισέλθω εδώ), τότε ερχόμαστε αντιμέτωποι με εκείνους τους «άδειους χώρους», οι οποίοι προκάλεσαν μια κάποια ταραχή στους περισσότερους από εμάς, όταν προτάθηκε για πρώτη φορά η ιδέα του αποκλεισμού εκείνων των χαρακτηριστικών.

Η έννοια του Αναλλοίωτου είναι η απαραίτητη συμπληρωματική ιδέα στη γενική ιδέα της σχετικότητας. Αν δηλώσετε ότι το ερώτημα, το οποίο έχουμε διατυπώσει, δεν μπορεί να απαντηθεί με ένα «Ναι» ή ένα «Όχι» –κάτι το οποίο σημαίνει, για να είμαστε ευθείς, ότι έχουμε διατυπώσει ένα ανόητο ερώτημα– τότε ας δούμε πώς πρέπει να διατυπώσουμε ένα ερώτημα, ώστε να έχει νόημα! Ποια πράγματα είναι ανεξάρτητα από το δικό σας οικτρό Εξαρτάται; Για παράδειγμα, στη Θεωρία της Σχετικότητας, ποια πράγματα είναι ανεξάρτητα από το Σύστημα Αναφοράς; – Αυτά τα ερωτήματα δείχνουν ακριβώς τι σημαίνει η έννοια του Αναλλοίωτου. Όταν διατυπώσουμε την ιδέα, αυτή αποδεικνύεται τόσο περιεκτική, ώστε όλος ο σχηματισμός των ανθρώπινων ιδεών φαίνεται να υπόκειται σε αυτή. Στο προηγούμενο κεφάλαιο, υποστήριξα ότι στην επιστημονική πρακτική αποδεχόμαστε ένα πείραμα, ως ένα νόμιμο μέρος της ομάδας των εδραιωμένων επιστημονικών δεδομένων μόνο αν το αποτέλεσμα του πειράματος είναι αναπαράξιμο. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να είναι κάτι Αναλλοίωτο, όχι μόνο σε σχέση με τον παρατηρητή, αλλά και σε σχέση με πολλά άλλα πράγματα. Εν ολίγοις, πρέπει να είναι κάτι Αναλλοίωτο σε σχέση με οτιδήποτε εκτός από εκείνες τις συνθήκες, τις οποίες επισημαίνουμε ειδικά ως απαραίτητες, όταν περιγράφουμε το πείραμα. Και υπό μία πολύ πιο γενική έννοια, το όλο ερώτημα που συζητιέται σε αυτό και στο προηγούμενο κεφάλαιο είναι ένα ερώτημα αμεταβλητότητας. Το ερώτημα που τίθεται είναι αν τα αποτελέσματα της φυσικής επιστήμης αποτελούν σταθερές σε σχέση με το πολιτισμικό περιβάλλον μέσα στο οποίο ζούμε ή αν θα πρέπει να αναφέρονται σε αυτό το περιβάλλον ως ένα Πλαίσιο Αναφοράς. Στη δεύτερη περίπτωση, όταν το πολιτισμικό περιβάλλον υφίσταται μια ριζική αλλαγή, τα αποτελέσματα της επιστήμης, παρόλο που μπορεί να μη γίνουν ψευδή στη λεπτομέρεια, θα αποκτούσαν ωστόσο ένα τελείως διαφορετικό νόημα και ενδιαφέρον.

Ας έρθουμε τώρα στο επόμενο χαρακτηριστικό που ανέφερα ως βασικό στοιχείο της εποχής μας. Θα το αποκαλέσω μαζικό έλεγχο. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον όρο, θέλω να δείξω την άκρως ανεπτυγμένη τεχνική μας που έχει να κάνει με την τεράστια μείωση των δαπανών που σχετίζονται με τον χρόνο και την εργασία όσον αφορά τη διαχείριση τεράστιων συνόλων, τα μεμονωμένα στοιχεία των οποίων απαιτούν μεμονωμένο χειρισμό. Αυτά τα σύνολα είναι, για παράδειγμα, ομάδες κατοίκων (μιας χώρας, επαρχίας, πόλης ή ενορίας), εκλογείς, φορολογούμενοι, καταναλωτές, άτομα που πληρώνουν συνδρομές (σε βιβλιοθήκες, εφημερίδες, ασφαλιστικές εταιρείες, σιδηροδρόμους κτλ.)  οι τόμοι των βιβλίων στις βιβλιοθήκες, τα αυτοκίνητα και ούτω καθεξής. Τα μέσα ελέγχου όλων αυτών ως συνόλων είναι η εγγραφή, η χαρτογράφηση, οι κατάλογοι, οι επίσημες μορφές, τα λογιστικά βιβλία, με οργανωμένα σώματα αξιωματούχων σε κάθε κλάδο, οι δραστηριότητες των οποίων προσδιορίζονται μέσω γενικών νόμων και ειδικών οδηγιών. Η θέσπιση νόμων και η δικαιοσύνη υπόκεινται στην ίδια τεχνική μαζικού ελέγχου. Όταν θεσπίζουμε νόμους, επιχειρούμε να προβλέψουμε όλους τους τύπους αγωγών και πταισμάτων που μπορούμε να φανταστούμε, έτσι ώστε να μπορέσουμε να θεσπίσουμε έναν γενικό νόμο, ο οποίος θα διευκολύνει έναν δικαστή να βγάλει την ετυμηγορία του, γιατί σε διαφορετική περίπτωση θα ήταν αδύνατο να πράττει με έναν δίκαιο και ομοιόμορφο τρόπο σε κάθε υπόθεση.

Τέλος, αξίζει εξίσου να αναφερθεί το θαυμάσιο σύστημα της παραγωγής του εργοστασίου, με το οποίο μπορούμε να ικανοποιήσουμε την τεράστια ζήτηση σε αγαθά της εποχής μας. Αν, για παράδειγμα, κάθε γραφομηχανή παραγόταν μεμονωμένα, με κάθε τμήμα της να κατασκευάζεται αποκλειστικά για μία ορισμένη μηχανή, τότε η χρησιμότητα της εργασίας που θα γινόταν από τη γραφομηχανή δεν θα αντιστάθμιζε ποτέ την τεράστια ποσότητα χρόνου και σκέψης και ενέργειας που θα αφιερωνόταν στην κατασκευή της. Αλλά όταν τυποποιούμε τη γραφομηχανή και όλα τα κομμάτια της, ώστε μια μηχανή εργοστασίου να μπορεί να παράγει κάθε κομμάτι με τη σειρά, τότε είναι πιθανό να μπορούμε να κατασκευάσουμε γραφομηχανές σε μεγάλες ποσότητες, έτσι ώστε το κόστος κάθε μηχανής, ως μέλος της μάζας, να είναι ανάλογο με τη χρησιμότητά της. Το μεγαλύτερο μέρος της δαπάνης για την κατασκευή μπορεί να γίνει μια και καλή, με τη δημιουργία των απαραίτητων εργοστασιακών εγκαταστάσεων, όπου θα κατασκευάζονται τα μεμονωμένα κομμάτια. Με μια παραγωγή πολλών χιλιάδων ημερησίως, η μεγαλοφυής ιδέα, κατά κάποιον τρόπο, πολλαπλασιάζεται κατά αυτόν τον συντελεστή, η δαπάνη για το απλό δείγμα μειώνεται ανάλογα και απομένει αυτό που στ’ αλήθεια θα άξιζε να αποκαλείται θαύμα, αν εμείς οι σύγχρονοι άνθρωποι δεν το είχαμε τόσο συνηθίσει, δηλαδή το ότι αγοράζουμε, για παράδειγμα, με δέκα ή δώδεκα λίρες ένα μικρό θαύμα, το οποίο ως μεμονωμένη κατασκευή δεν θα ήταν διαθέσιμη ούτε με χίλιες λίρες. Σε αυτό ακριβώς το σύστημα μαζικού ελέγχου στην παραγωγή οφείλουν την εκπληκτική τελειότητά τους τόσα πολλά από τα σύγχρονα προϊόντα μας. Στην πραγματικότητα, ισοδυναμεί με την απασχόληση εκατοντάδων χιλιάδων υπαλλήλων, προκειμένου να ικανοποιηθούν οι απαιτήσεις της Αυτού Μεγαλειότητος του Καταναλωτή.

Το τελειότερο παράδειγμα της κυριαρχίας μας επί της ύλης μέσω ενός οργανωμένου συστήματος ελέγχου παράλληλα με την εξοικονόμηση εργασίας με μία μόνο αρχική δαπάνη για τη λειτουργία των μηχανημάτων μας, εντοπίζεται στη μαθηματική ανάλυση. Η χρήση της μαθηματικής ανάλυσης είναι το κυρίαρχο χαρακτηριστικό της φυσικής επιστήμης σήμερα. Αν έλεγαν σε έναν φιλόσοφο ή σε έναν επιστήμονα, στην αρχαία Ελλάδα, πώς λύνουμε ένα απλό πρόβλημα στην υδροδυναμική σήμερα: αν του έλεγαν, για παράδειγμα, ότι μπορούμε να ακολουθήσουμε κάθε μικρή ποσότητα ενός υγρού και ότι μπορούμε να λάβουμε υπόψη, ανά πάσα στιγμή, όλες τις δυνάμεις οι οποίες ασκούνται πάνω σε αυτή την ποσότητα, και οι οποίες αλλάζουν συνεχώς, γιατί προκύπτουν από άλλα τμήματα του υγρού, η κίνηση των οποίων συνιστά η ίδια ένα κομμάτι του προβλήματος – οι Έλληνες δεν θα πίστευαν ότι μια πεπερασμένη ανθρώπινη διάνοια θα μπορούσε ποτέ να κάνει κάτι τόσο πολύπλοκο, ακόμη και αν αφιέρωνε αρκετά χρόνια σε αυτό. Ωστόσο, το πρόβλημα θα μπορούσε να είναι ένα πρόβλημα, το οποίο μπορεί να δίναμε σήμερα σαν μια κοινή άσκηση σε μια σχολική τάξη.

Γεγονός είναι ότι έχουμε μάθει πώς να ελέγχουμε τη συνολική διαδικασία με μία διαφορική εξίσωση, όπως η ακόλουθη:

   

Λέω: «Με μία εξίσωση». Στην πραγματικότητα, η εξίσωση δηλώνει αυτό που ισχύει για κάθε μεμονωμένο σημείο ανά πάσα στιγμή. Η τέχνη έγκειται στο να διαμορφώνουμε τη γνώση μας με τέτοιο τρόπο, ώστε η μορφή της δήλωσης να είναι η ίδια για κάθε σημείο στον χρόνο και τον χώρο. Αυτός είναι ο τρόπος με τον οποίο προσαρμόζουμε τη γνώση μας, ώστε να μπορεί να αντιμετωπιστεί με τον ίδιο τρόπο όσον αφορά τον χρόνο και την εργασία, καθώς ο κατασκευαστής χειρίζεται τη μηχανή.

Ένα άλλο παράδειγμα απαντάται στις συνιστώσες των τανυστών και των διανυσμάτων. Γράφουμε ένα και μόνο γράμμα της αλφαβήτου με διάφορους δείκτες, ως ακολούθως:

Οι δείκτες αντιπροσωπεύουν κάποιον αριθμό, όπως το 1, το 2, το 3 ή το 4 και τους αριθμούς μιας συστηματικά ταξινομημένης λίστας.

Συνεπώς, το πρώτο από τα σύμβολα που δίνονται παραπάνω χρησιμοποιείται στη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας για να δηλώσει ένα από τα σαράντα μεγέθη, τα οποία εισάγονται σε μια τέτοια λίστα. Το δεύτερο σύμβολο σημαίνει είκοσι διαφορετικά μεγέθη. Τέτοιου είδους μεγέθη συνδέονται συχνά το ένα με το άλλο με συστήματα των 20, των 40 ή των 100 εξισώσεων, τα οποία πρέπει να συνδυάζονται το ένα με το άλλο με τον πιο πολύπλοκο τρόπο. Ωστόσο, οι ακριβείς κανόνες (όπως εκείνοι για τη λεγόμενη αύξηση και μείωση των δεικτών) βγάζουν τη μισή ντουζίνα μεγεθών ή εξισώσεων, που απαιτούνται, αυτομάτως από τη μέση, ώστε ο υπολογισμός να μπορεί να γίνει εξίσου απλά και ξεκάθαρα, όπως και με μία ή δύο εξισώσεις. Αυτά τα παραδείγματα θα μπορούσαν να αυξηθούν ad libitum (Σ.τ.Μ.: Λατινικά στο πρωτότυπο. Κατά βούληση.). Η απλοποίηση για χάρη της οικονομίας είναι το βασικό χαρακτηριστικό της μαθηματικής προόδου, όπου μια διαρκώς μεταβαλλόμενη σφαίρα έρευνας μπαίνει στα πρακτικά όρια της ποσοτικής ανάλυσής μας.

Η χρήση της στατιστικής, η οποία παίζει έναν τόσο σημαντικό ρόλο στη σύγχρονη φυσική και αστρονομία, είναι μία από τις μεθόδους που ανήκουν στο σύγχρονο σύστημά μας όσον αφορά τον έλεγχο των τεράστιων συνόλων. Ωστόσο, εδώ έχει μια πιο συγκεκριμένη και βαθιά σημασία, γιατί εισάγει μια τελείως νέα ιδέα, η οποία, όπως αποδείχτηκε, ήταν εξαιρετικά παραγωγική όσον αφορά τα αποτελέσματα. Η χαρτογράφηση και η καταχώριση χρησιμοποιούνται από όλους μας για τη γρήγορη εξασφάλιση του σωστού προσανατολισμού σε σχέση με κάθε μεμονωμένη περίπτωση, όπως αυτή εμφανίζεται· αλλά το βασικό χαρακτηριστικό της στατιστικής είναι η προσεκτική και συστηματική αγνόηση των λεπτομερειών. Αυτό είναι ένα τυπικό παράδειγμα στο οποίο μια νέα τάση ενδιαφέροντος έχει να κάνει με την αλλαγή όλων των ερωτημάτων και τη διατύπωση νέων. Ακόμη και όταν είναι δυνατό να εξασφαλίσουμε τη γνώση των συγκεκριμένων λεπτομερειών αναφορικά με μεμονωμένα χαρακτηριστικά ή γεγονότα, αυτή η γνώση δεν είναι αυτό που ενδιαφέρει τον στατιστικολόγο· γιατί εκείνος αναζητά νόμους τελείως διαφορετικού είδους που παρέχουν νέες πληροφορίες. Αυτό αναγνωρίζεται πιο εύκολα στην περίπτωση της αστρονομίας απ’ ό,τι στην περίπτωση της φυσικής. Στη φυσική, μπορεί να φαίνεται σε εκείνους που δεν είναι επαρκώς εξοικειωμένοι με τη βασική ιδέα ότι η χρήση της στατιστικής δείχνει μια αναγνώριση ήττας, στο βαθμό που υποδηλώνει ότι έχουμε μείνει πίσω όσον αφορά αυτή τη μέθοδο, γιατί έχουμε βρει ότι θα ήταν αδύνατο να δώσουμε μια λεπτομερή περιγραφή της θέσης και της κίνησης των μεμονωμένων μορίων, ακόμη και αν το θέλαμε. Στην περίπτωση της στατιστικής στην αστρονομία, κατέχουμε τη λεπτομερή γνώση, αλλά διαπιστώνουμε ότι αυτή δεν μας οδηγεί πουθενά. Δεν μας ενδιαφέρει διόλου το ερώτημα, αν ένα συγκεκριμένο αστέρι είναι πιο ερυθρό ή πιο ανοιχτόχρωμο, ποια είναι η ένταση του φωτός που εκπέμπεται από αυτό, αν κινείται προς εμάς ή αν απομακρύνεται από εμάς και ποια είναι η ταχύτητα της κίνησής του. Αναγκαζόμαστε να αγνοήσουμε λεπτομέρειες εδώ, προκειμένου να καταλήξουμε σε συμπεράσματα, τα οποία είναι μη προσβάσιμα σε οποιοδήποτε σύστημα έρευνας βασίζεται στη γνώση αυτών των λεπτομερειών. Ας σημειώσουμε εδώ μία μόνο πολύ γνωστή περίπτωση ως τυπικό παράδειγμα αυτού που θέλω να πω:

Μόνο στην περίπτωση συγκριτικά λίγων αστεριών στην «άμεση γειτονιά» του ήλιου μπορούμε να μετρήσουμε την απόστασή τους από εμάς απευθείας, με τη λεγόμενη παράλλαξη, η οποία λαμβάνει χώρα κατά τη διάρκεια της χρονιάς. Όσον αφορά την απόσταση των αστεριών που είναι μακρύτερα, δεν γνωρίζουμε τίποτα απευθείας· και καταλήγουμε ότι, κατά έναν μέσο όρο, όσο πιο αμυδρό φαίνεται το φως τους σε εμάς τόσο πιο μακριά μας είναι. Με βάση αυτή την υπόθεση, εικάζουμε ότι τα αστέρια με το αμυδρότερο φως πρέπει να είναι πολύ περισσότερα από τα λαμπρότερα. Και αυτό, όπως προκύπτει, είναι αυτό που ισχύει στην πραγματικότητα. Ισχύει, επίσης, ότι ο αριθμός των αστεριών με μειούμενη λαμπρότητα αυξάνεται στον ίδιο ακριβώς βαθμό, όπως θα αναμενόταν, αν τα αστέρια –αν λάβουμε έναν ευρύ μέσο όρο– ήταν κατανεμημένα ομοιόμορφα στο διάστημα και με την ίδια πυκνότητα όπως στην άμεση γειτονιά μας. Γιατί αν ισχύει κάτι τέτοιο, τότε –από τη στιγμή που η λαμπρότητα μειώνεται ανάλογα με το τετράγωνο της απόστασης– μπορούμε να υπολογίσουμε ακριβώς τον αυξανόμενο αριθμό των αστεριών, καθώς η λαμπρότητά τους μειώνεται και, όπως είπα, η παρατήρηση δείχνει ότι αυτοί οι υπολογισμοί είναι σωστοί. Αλλά μόνο μέχρι ένα ορισμένο μέγεθος. Πέρα από αυτό βρίσκουμε ότι ο αριθμός των αστεριών με την αμυδρότερη λαμπρότητα που μπορεί να παρατηρηθεί παύει να αυξάνεται με τον τρόπο τον οποίο θα περιμέναμε με βάση την υπόθεση της ομοιόμορφης κατανομής στο διάστημα. Ο πραγματικός αριθμός είναι όλο και μικρότερος σε σχέση με αυτόν που υπολογίζουμε. Για τα αστέρια με αυτό το συγκεκριμένο μέγεθος, ο παρατηρητής με το τηλεσκόπιο έχει, απ’ ό,τι φαίνεται, φτάσει στο σύνορο του «κοντινού» αστρικού περιβάλλοντός μας – τον Γαλαξία. Από τη στιγμή που γνωρίζουμε τη στατιστική σχέση ανάμεσα στο μέγεθος και την απόσταση, μπορούμε με αυτόν τον τρόπο να υπολογίσουμε τις διαστάσεις του Γαλαξία σε όλες τις κατευθύνσεις (ξέρετε ότι, όπως προκύπτει, αυτός έχει σχήμα φακού), παρόλο που οι διαστάσεις είναι πάρα πολύ μεγάλες για να μας επιτρέψουν να εξακριβώσουμε την απόσταση ενός μεμονωμένου αστεριού. Με αυτόν τον τρόπο, η λογική απόρριψη των λεπτομερειών, τις οποίες μας δίδαξε το στατιστικό σύστημα, επέφερε μια απόλυτη μεταμόρφωση των γνώσεών μας για το σύμπαν.

Είναι προφανές από κάθε πλευρά ότι αυτή η στατιστική μέθοδος είναι ένα κυρίαρχο χαρακτηριστικό της εποχής μας και ένα σημαντικό όργανο προόδου σε σχεδόν κάθε τομέα της δημόσιας ζωής. Αλλά είναι, δυστυχώς, ένα όργανο που χρησιμοποιείται όλως αδιακρίτως και χωρίς την απαιτούμενη κρίση. Φαίνεται πολύ απλό, αλλά είναι άκρως πολύπλοκο. Στην εφαρμογή του στην ανθρώπινη ζωή, όπου εμφανίζονται πιο περίπλοκα και άκρως αναπάντεχα χαρακτηριστικά, είναι πολύ πιο δύσκολο στη διαχείρισή του απ’ ό,τι όταν ασχολούμαστε με τα αστέρια και τα μόρια. Το να προσθέτουμε στήλες και να σκαρφιζόμαστε μέσους όρους ή ποσοστά φαίνεται πολύ εύκολο. Και, συνεπώς, η ίδια η μέθοδος αποδεικνύεται λάθος λόγω της έλλειψης μαθηματικής και λογικής εκπαίδευσης εκείνων που τη χρησιμοποιούν – για να μη μιλήσουμε για μια έλλειψη αντικειμενικότητας. Είναι πολύ πιο εύκολο να καταλήξουμε σε ένα λανθασμένο στατιστικό αποτέλεσμα απ’ ό,τι σε ένα σωστό, ώστε όποιος έχει μια προτίμηση γι’ αυτό, μπορεί πολύ εύκολα να το απολαύσει!

Η στατιστική των οικονομολόγων, των κοινωνιολόγων και ούτω καθεξής –εν ολίγοις, η στατιστική στις ανθρωπιστικές επιστήμες– μοιάζει περισσότερο με τη στατιστική της φυσικής απ’ ό,τι με εκείνη της αστρονομίας. Ο αστρονόμος παρατηρεί το αντικείμενό του και δεν μπορεί να το επηρεάσει, γιατί είναι εκτός αυτού και μακριά του· αλλά ο φυσικός και ο στατιστικολόγος των ανθρωπιστικών επιστημών επιχειρούν να προβλέψουν τους νόμους σύμφωνα με τους οποίους η στατιστική θα αλλάξει, αν οι εξωτερικές συνθήκες αλλάξουν κι εκείνες αυθαίρετα. Σε ένα προηγούμενο κεφάλαιο, μίλησα πολύ συγκεκριμένα για τον «νόμο των μέσων όρων», όπως είναι γνωστός στη φυσική επιστήμη. Αυτός ο νόμος δίνει τη δυνατότητα στον φυσικό να τιθασεύσει την ύλη απόλυτα, αν και ποτέ δεν μπορεί να γνωρίζει τη μοίρα ενός μεμονωμένου μορίου· ούτε και να επηρεάσει την πορεία του.

Θα μου επιτρέπατε να εκφράσω την ελπίδα ότι η αναλογία ανάμεσα σε αυτή την κατάσταση των πραγμάτων στη φυσική επιστήμη και σε μια σημαντική τάση της εποχής μας θα γίνει ολοένα και πιο στενή με την πάροδο του χρόνου; Γιατί ο απώτερος σκοπός, τον οποίο έχω στο μυαλό μου αυτή τη στιγμή, σίγουρα δεν έχει ακόμα επιτευχθεί.

Το να εγκαθιδρύσουμε την απαραίτητη τάξη και νομοτέλεια στην ανθρώπινη κοινότητα, με τη λιγότερη δυνατή παρέμβαση στις εσωτερικές υποθέσεις του ατόμου, μου φαίνεται ότι είναι ο στόχος μιας άκρως αναπτυσσόμενης κουλτούρας. Γι’ αυτό τον σκοπό, η στατιστική μέθοδος, όπως χρησιμοποιείται από τον φυσικό, φαίνεται άκρως κατάλληλη. Στην περίπτωση της ανθρώπινης κοινότητας, θα ισοδυναμούσε με τη μελέτη του κοινού νου και των κοινών ανθρώπινων ταλέντων, λαμβάνοντας υπόψη το εύρος της ποικιλίας τους, από το οποίο θα συμπεραίναμε ποια είναι τα κίνητρα που θα έπρεπε να έχουν τα ανθρώπινα όντα, ώστε να ικανοποιούν τις επιθυμίες τους, με τρόπο που να εξασφαλίζει μια κοινωνική τάξη η οποία είναι τουλάχιστον ανεκτή με βάση όλα τα ουσιαστικά χαρακτηριστικά της.

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ

Ευχαριστούμε τον καθηγητή του ΕΚΠΑ Θεόδωρο Αραμπατζή και τον καθηγητή του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, Χρήστο Σκαλκώτο, για τη βοήθεια τους στην ακριβή απόδοση όρων του κειμένου.

Το πορτραίτο του Schrödinger φιλοτέχνησε ο εικαστικός Χρήστος Αλαβέρας από τη Θεσσαλονίκη.

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

^[1]Ο Max Planck (23 Απριλίου 1858 – 4 Οκτωβρίου 1947) ήταν Γερμανός φυσικός, κάτοχος του Βραβείου Νόμπελ στη Φυσική (1918). Θεωρείται ο πατέρας της κβαντικής θεωρίας. Η θεμελιώδης σταθερά της κβαντικής φυσικής, η «Σταθερά του Planck», πήρε το όνομά του.

^[2]Ο Werner Karl Heisenberg (5 Δεκεμβρίου 1901 – 1 Φεβρουαρίου 1976) ήταν Γερμανός θεωρητικός φυσικός, ένας από τους πρωτοπόρους της κβαντικής μηχανικής. Είχε σημαντική συμβολή στο πρόγραμμα πυρηνικών όπλων της Ναζιστικής Γερμανίας. Για την έρευνά του πάνω στη θεμελίωση της κβαντικής θεωρίας τιμήθηκε με το βραβείο Νόμπελ στη Φυσική το 1932.

^[3]Ο Johann Carl Friedrich Gauss (30 Απριλίου 1777 – 23 Φεβρουαρίου 1855) ήταν Γερμανός μαθηματικός που συνεισέφερε σε πολλά ερευνητικά πεδία της επιστήμης του, όπως η θεωρία αριθμών, η στατιστική, η μαθηματική ανάλυση, η διαφορική γεωμετρία, αλλά και η γεωδαισία, η αστρονομία και η φυσική. Κατά τη διάρκεια της ζωής του, αποκλήθηκε «Princeps mathematicorum» («Πρίγκιπας των Μαθηματικών»).

^[4]Ο Henri Poincaré (29 Απριλίου 1854 – 17 Ιουλίου 1912) ήταν ένας από τους κορυφαίους Γάλλους μαθηματικούς και θεωρητικούς φυσικούς, καθώς και φιλόσοφος της επιστήμης. Στον κόσμο των μαθηματικών είναι γνωστός ως ο «τελευταίος πανεπιστήμονας».

^[5]Ο David Hume (26 Απριλίου/7 Μαΐου 1711 – 25 Αυγούστου 1776) ήταν Σκωτσέζος φιλόσοφος που επηρέασε την ανάπτυξη δύο σχολών φιλοσοφίας, του σκεπτικισμού και του εμπειρισμού. Έπαιξε μεγάλο ρόλο στο κίνημα του αγγλικού διαφωτισμού.

^[6]Ο Albert Abraham Michelson (19 Δεκεμβρίου 1852 – 9 Μαΐου 1931) ήταν ένας Γερμανο-Αμερικανός φυσικός, γνωστός για το έργο του όσον αφορά τη μέτρηση της ταχύτητας του φωτός και συγκεκριμένα για το πείραμα Michelson-Morley. Το 1907, έλαβε το Βραβείο Νόμπελ στη Φυσική.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ

Michael Dine

Μετάφραση: Κωνσταντίνος Κυρίτσης

ISBN 978-618-230-068-8

Διαστάσεις: 14 x 21 cm
Αριθμός σελίδων: 360

Τιμή: € 20

Έτος έκδοσης: 2024

Οι περισσότεροι έχουμε ακούσει για μακρινά άστρα και γαλαξίες. Έχουμε ακούσει ότι το σύμπαν προέκυψε από μια μεγάλη έκρηξη πριν από δισεκατομμύρια χρόνια. Αλλά τι μέγεθος και τι ηλικία έχει; Από πού προήλθε; Ποια η τελική μοίρα του; Βέβαια, έχουμε επίγνωση της ύπαρξης των ατόμων, ίσως και πραγμάτων πολύ μικρότερων από αυτά. Αλλά πώς είναι δυνατόν να γνωρίζουμε για τους ατομικούς πυρήνες; Πώς γίνεται αυτές οι μικροσκοπικές οντότητες να ελέγχουν τη λειτουργία του σύμπαντος, αλλά και την παρασκευή ενός σάντουιτς, τη χρήση μιας πιστωτικής κάρτας ή τη μετακίνησή μας; Από τις μεγαλύτερες έως τις μικρότερες κλίμακες, το σύμπαν μάς φαίνεται απίστευτα μυστηριώδες. Μπορούμε άραγε να κάνουμε κάτι πέρα από εικασίες για την αρχιτεκτονική και τα δομικά του υλικά; Μπορούμε να σκεφτούμε πειράματα που θα απαντήσουν στην απορία μας για το τι ισχύει σε τόσο εξωπραγματικές κλίμακες;

Φαίνεται πως ζούμε σε μια εξαιρετική στιγμή της ανθρώπινης ιστορίας. Από τη μία, αντιμετωπίζουμε τεράστιες προκλήσεις: κλιματική αλλαγή, πανδημίες, απειλή πυρηνικού πολέμου. Από την άλλη, διαθέτουμε γνώσεις για τον κόσμο γύρω μας ―και για το σύμπαν― πέρα από οτιδήποτε θα μπορούσε να διανοηθεί κανείς ακόμα και πριν από έναν αιώνα. Ωστόσο, η καθημερινή μας εμπειρία καταλαμβάνει μόνο μια μικρή γωνιά του. Η ζωή μας διαδραματίζεται σε κλίμακες εκατοστών, μέτρων, χιλιομέτρων, ίσως και χιλιάδων χιλιομέτρων. Όμως γνωρίζουμε τη φύση και σε μικρότερες κλίμακες ― πολύ μικρότερες από το μέγεθος ενός ατομικού πυρήνα. Έχουμε επίσης γνώσεις για το σύμπαν σε αφάνταστα μεγάλες αποστάσεις. Ακόμα πιο εκπληκτικό είναι ότι γνωρίζουμε ―αληθινά γνωρίζουμε― γεγονότα που συνέβησαν δισεκατομμύρια χρόνια πριν και ότι μπορούμε να δηλώσουμε με αρκετή σιγουριά τι θα συμβεί στο σύμπαν μέσα στα επόμενα δεκάδες δισεκατομμύρια έτη. Τούτο το βιβλίο επιχειρεί να αφουγκραστεί τον παλμό αυτής της εξαιρετικής στιγμής.

Περιεχόμενα

ΒΗΜΑ ΠΡΩΤΟ
1. Επιθεωρώντας το σύμπαν
2. Μπορούμε να θεωρούμε δεδομένο τον χώρο και τον χρόνο;
3. Τι εννοούμε με τον όρο σύμπαν;

ΒΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ
4. Μπορεί η κβαντομηχανική να προβλέψει το μέλλον;
5. Οι καρποί της πυρηνικής εποχής
6. Το βάρος των πιο μικρών πραγμάτων
7. Αστρικό στερέωμα

ΤΑ ΕΠΟΜΕΝΑ ΒΗΜΑΤΑ
8. Γιατί υπάρχει κάτι και όχι τίποτα;
9. «Το πρόβλημα των μεγάλων αριθμών»
10. Από τι είναι φτιαγμένο το σύμπαν;
11. Η σκοτεινή ενέργεια

ΕΝΑ ΒΗΜΑ ΣΕ ΟΛΙΣΘΗΡΟ ΕΔΑΦΟΣ
12. Στην αρχή των πάντων
13. Μπορούμε να καταλήξουμε σε μια τελική θεω­ρία χωρίς να σηκωθούμε από την καρέκλα μας;
14. Η τοπογραφία της πραγματικότητας
15. Ρίχνοντας τα ζάρια της θεωρητικής φυσικής

Σημειώσεις
Ευχαριστίες
Ευρετήριο

———————————————————————————————————————————–

Eκδόσεις ΚΑΤΟΠΤΡΟ

Nicole Yunger Halpern

Πανεπιστήμιο Μέριλαντ

Μετάφραση: Ανδ. Δημητρόπουλος

Eπιμέλεια: Αλ. Μάμαλης

ISBN: 978-618-5493-22-6

Σκληρόδετο, Α/Μ, 384 σελ., 14 × 21 εκ., 28,00 € (χωρίς ΦΠΑ)

Δυο λόγια για το βιβλίο

Η Βιομηχανική Επανάσταση συναντά την επανάσταση της κβαντικής τεχνολογίας!
Ένας περιπετειώδης οδηγός του πεδίου όπου διατέμνονται η κβαντική φυσική, η επεξεργασία πληροφοριών και η θερμοδυναμική.

Οι ατμομηχανές της βικτωριανής εποχής και η σωματιδιακή φυσική ίσως φαίνεται ότι ανήκουν σε διαφορετικούς κόσμους (και σε διαφορετικούς αιώνες), αλλά ένας πρόσφατα ανεπτυγμένος κλάδος της επιστήμης, η κβαντική θερμοδυναμική, ατενίζει με νέο βλέμμα τις επιστημονικές βάσεις της Βιομηχανικής Επανάστασης μέσω των φακών της φρενιτιώδους επανάστασης της κβαντικής πληροφορίας τού σήμερα. Η κλασική θερμοδυναμική, η μελέτη των θερμικών μηχανών, της ενέργειας και του βαθμού απόδοσης, χρειάζεται εκ νέου προσδιορισμό, ώστε να αξιοποιήσει τα οφέλη της κβαντικής μηχανικής, του βασικού πλαισίου που ερευνά τη φύση της πραγματικότητας στη μικροσκοπική κλίμακα.

Η ατρόμητη φυσικός Nicole Yunger Halpern εισάγει τον αμύητο αναγνώστη στις έννοιες αυτές μέσω του «κβαντικού ατμοπάνκ», του είδους φαντασίας που ζευγαρώνει τις φουτουριστικές τεχνολογίες με τις βικτωριανές ευαισθησίες. Στο βιβλίο της, κινούμενη από τη θεμελιώδη επιστήμη στις πειραματικές εφαρμογές αιχμής, διερευνά ερωτήματα όπως «Θα καταφέρει η κβαντική φυσική να φέρει την επανάσταση στους υπολογιστές και στις μηχανές γενικότερα;» και «Ποια βαθύτερα μυστικά μπορεί να αποκαλύψει η θεωρία της κβαντικής πληροφορίας σχετικά με τη φορά του χρόνου;». Περιγράφει επίσης τις δικές της περιπέτειες στο κβαντικό σύμπαν, και μας προσφέρει μια εκ των έσω ματιά του έργου των παθιασμένων με την τεχνολογική αυτή υπόσχεση επιστημόνων. Τέλος, εξερευνά την αισθητική του νέου πεδίου, μοιράζεται την αντισυμβατική ευθυμία του, και ατενίζει τις δυνατότητες ενός κβαντικού μέλλοντος. Το αποτέλεσμα θα συγκλονίσει τους αφοσιωμένους φίλους της επιστήμης.

Είπαν για το βιβλίο

•  «Για τον πολύ κόσμο, η επιστήμη της κβαντικής πληροφορίας αποτελεί αίνιγμα. Ωστόσο, αναμένεται να διαμορφώσει μεγάλο μέρος του μέλλοντος των υπολογισμών. Για να γνωρίσουμε τον γενναίο αυτό νέο κόσμο, χρειαζόμαστε έναν υπομονετικό, ευγενικό και διασκεδαστικό οδηγό. Στο βιβλίο Κβαντικό ατμοπάνκ, η Yunger Halpern εφαρμόζει ένα θαυμάσιο τέχνασμα, παρουσιάζοντας την επιστήμη τού αύριο με τη μορφή του χθεσινού επιστημονικού τοπίου, με μεγάλη σαφήνεια και πρωτοτυπία. Η επιστημονική συγγραφή στα καλύτερά της».

—Marcelo Gleiser, καθηγητής θεωρητικής φυσικής, Κολέγιο Dartmouth

 

•  «Το Κβαντικό ατμοπάνκ, γραμμένο από μία από τις πιο προικισμένες κβαντοθεωρητικούς της γενιάς της, είναι ένα βιβλίο που πρέπει να διαβάσετε. Γεμάτο με ποιητικές παρουσιάσεις των κβαντικών μυστηρίων και αφηγήσεις τόσο συναρπαστικές, δεν θα μπορείτε να το αφήσετε από τα χέρια σας. Το βιβλίο αυτό θα γίνει κλασικό».

—Stephon Alexander, καθηγητής θεωρητικής φυσικής, Πανεπιστήμιο Brown

 

•  «Με καρδιά και καλλιτέχνη και επιστήμονα, η Yunger Halpern εξερευνά δύο από τα πιο καυτά πεδία της σύγχρονης φυσικής: την κβαντική θερμοδυναμική και την επιστήμη της κβαντικής πληροφορίας. Αυτό το άγριο και διασκεδαστικό έργο θα σας παρασύρει σε μια μαγευτική βόλτα, φωτίζοντας το βαθύτερο νόημα της γνώσης, του χρόνου, ακόμη και της ίδιας της πραγματικότητας».

—Leonard Mlodinow, θεωρητικός φυσικός και συγγραφέας

 

•  «Όπως κάθε καλό κβαντικό σύστημα, το βιβλίο αυτό είναι περίπλοκο, διεμπλεγμένο και απρόβλεπτο. Η Yunger Halpern μάς ξεναγεί θαυμάσια στο πολυσύχναστο νέο ερευνητικό μέτωπο όπου διασταυρώνονται η φυσική, η πληροφορική και η τεχνολογία, με ματογυάλια και μπρούτζινο εξοπλισμό».

—Sean Carroll, καθηγητής θεωρητικής φυσικής, Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Καλιφόρνιας (Caltech)

 

•  «Με φιλοπαίγμονα διάθεση και χάρισμα, η Yunger Halpern εξερευνά τι συμβαίνει όταν συγχωνεύουμε τη φυσική των ατμομηχανών και τα μαθηματικά της θεωρίας της πληροφορίας με τις τελευταίες προόδους της κβαντικής θεωρίας. Το αποτέλεσμα είναι μια συναρπαστική άποψη της Φύσης και μια προεπισκόπηση των φανταστικών τεχνολογικών δυνατοτήτων».

—David Kaiser, καθηγητής φυσικής και ιστορίας της επιστήμης, Τεχνολογικό Ινστιτούτο της Μασαχουσέτης (ΜΙΤ)

 

•  «Ένα διασκεδαστικό βιβλίο […] που εξηγεί με απλά λόγια την ουσία και τα μυστικά των πολλών πτυχών της κβαντικής θερμοδυναμικής. […] Προσθέτοντας λογοτεχνικό ύφος στο τεχνικό περιεχόμενο, η Halpern μεταφέρει αριστοτεχνικά με απλούς όρους την ποικιλία των πολύπλοκων ιδεών που χαρακτηρίζουν τα διάφορα υποπεδία της κβαντικής θερμοδυναμικής».

—Physics Today

 

•  «Το Κβαντικό ατμοπάνκ είναι ίσως η καλύτερη εξήγηση της κβαντικής φυσικής για το ευρύ κοινό που μπορείτε να βρείτε. Η δρ Halpern χρησιμοποιεί όμορφη εικονογράφηση, ευφάνταστες περιγραφές και χιούμορ».

—Quantum Zeitgeist

 

•  «Η Yunger Halpern γράφει με σαφήνεια για το όραμα ενός αναδυόμενου επιμέρους πεδίου της φυσικής και για το πώς αναμένει και ελπίζει ότι αυτό θα αναπτυχθεί. Το Κβαντικό ατμοπάνκ απευθύνεται τόσο στους μη ειδικούς αναγνώστες που ανακαλύπτουν νέα ενδιαφέροντα όσο και στους εμπνευσμένους ειδικούς».

—Jay Lawrence, καθηγητής φυσικής και αστρονομίας, Κολέγιο Dartmouth

 

•  «Το Κβαντικό ατμοπάνκ μάς δείχνει με ξεκάθαρη γλώσσα και καθηλωτική αφήγηση πώς να συνδυάσουμε την αιχμή του δόρατος της επιστήμης του 19ου αιώνα με την πρωτοπορία της επιστήμης του 20ού, ώστε να δημιουργήσουμε μια δυναμική νέα επιστήμη για τον 21ο αιώνα».

—Chad Orzel, καθηγητής φυσικής, Κολέγιο Union (Νέα Υόρκη)

 

•  «H Yunger Halpern επαναπροσδιορίζει τη θερμοδυναμική του 19ου αιώνα παρατηρώντας τη μέσα από έναν σύγχρονο κβαντικό φακό, και παίζει με την αισθητική του 1800 ανεβαίνοντας σε τρένα, αερόστατα και άλογα. Πρόκειται για ένα βιβλίο σοβαρής φυσικής, το οποίο πιθανότατα θα προσελκύσει τους αναγνώστες τόσο του φανταστικού όσο της εκλαϊκευμένης επιστήμης».

—Simon Ings, New Scientist

Η συγγραφέας

Η Nicole Yugern Halpern είναι θεωρητική φυσικός στο Ινστιτούτο Κβαντικής Πληροφορίας και Επιστήμης Υπολογιστών (QuICS) του Πανεπιστημίου του Μέριλαντ. Κατάγεται από τη Φλόριντα και φοίτησε στο Κολέγιο Dartmouth στο Νιου Χάμσαϊρ. Οι σπουδές της συνδύαζαν τη φυσική, τα μαθηματικά, την ιστορία και τη φιλοσοφία. Σε ένα διάλειμμα των σπουδών της διάρκειας ενός έτους εργάστηκε ως βοηθός ερευνήτρια φυσικής στην Αγγλία, όπου εξερεύνησαε αιωνόβια κάστρα, μικρά χωριά και την τοπική λογοτεχνία. Στη συνέχεια έκανε μεταπτυχιακές σπουδές στο Perimeter Institute for Theoretical Physics στον Καναδά. Η διδακτορική διατριβή της πραγματοποιήθηκε στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Καλιφόρνιας (Caltech) στην Πασαντίνα. Έχει αναπτύξει ένα ερευνητικό πρόγραμμα στο οποίο συγχωνεύονται η κβαντική φυσική, η θεωρία της πληροφορίας και η θερμοδυναμική. Μετά την αποφοίτησή της, αντάλλαξε τη λιακάδα της Πασαντίνα με τη βροχή και τα κόκκινα τούβλα του Πανεπιστημίου Harvard, όπου διεξήγαγε έρευνα ως μεταδιδακτορική συνεργάτις του Ινστιτούτου Θεωρητικής Ατομικής, Μοριακής και Οπτικής Φυσικής (ITAMP). Μετά το Harvard ακολούθησε το Πανεπιστήμιο του Μέριλαντ, όπου είναι επικεφαλής μιας ερευνητικής ομάδας φυσικών.

Τα περιεχόμενα του βιβλίου

Πρόλογος

1. Ένα παράδοξο
2. Ημέρα δίχως χθες
3. Κοσμογένεση
4. Στάχτες και καπνός
5. Χαμένοι στο πολυσύμπαν
6. Δεν ρωτάς; Δεν έχεις ιστορία!
7. Χρόνος άχρονος
8. Το Σύμπαν σαν το σπίτι μας

Ευχαριστίες

Σημειώσεις

Βιβλιογραφία

Λεξιλόγιο

Ευρετήριο

Διάλεξη Νόμπελ, 12 Δεκεμβρίου, 1933

Μετάφραση: Βαρβάρα Πετανίδου

Επιμέλεια Μετάφρασης: Κέλη Σπυροπούλου, Βασίλης Λεμπέσης

«…για την ανακάλυψη νέων παραγωγικών μορφών της ατομικής θεωρίας». (Από την προσφώνηση στην τελετή απονομής του βραβείου Nobel, 11 Δεκεμβρίου 1933)

Κατά τη διαδρομή μιας ακτίνας φωτός μέσα από ένα οπτικό όργανο, όπως ένα τηλεσκόπιο ή έναν φακό φωτογραφικής μηχανής, αυτή υφίσταται αλλαγή κατεύθυνσης σε κάθε διαθλαστική ή ανακλαστική επιφάνεια. Η πορεία των ακτίνων μπορεί να ανακατασκευαστεί, αν γνωρίζουμε τους δύο απλούς νόμους που διέπουν τις αλλαγές στην κατεύθυνση: τον νόμο της διάθλασης που ανακαλύφθηκε από τον Snellius πριν από μερικές εκατοντάδες χρόνια και τον νόμο της ανάκλασης, με τον οποίο ο Αρχιμήδης ήταν εξοικειωμένος πάνω από  2.000 χρόνια πριν. Ως απλό παράδειγμα, το Σχ. 1 δείχνει μια ακτίνα Α-Β, η οποία υπόκειται σε διάθλαση σε καθεμία από τις τέσσερις συνοριακές επιφάνειες δύο φακών σύμφωνα με τον νόμο του Snellius.

Σχήμα 1.

Ο Φερμά (Fermat) όρισε τη συνολική διαδρομή μιας ακτίνας φωτός από μια πιο γενική άποψη. Σε διαφορετικά μέσα το φως διαδίδεται με διαφορετικές ταχύτητες και η διαδρομή της ακτινοβολίας δίνει την εντύπωση ότι το φως πρέπει να φτάσει στον προορισμό του όσο το δυνατόν γρηγορότερα. Παρεμπιπτόντως, εδώ επιτρέπεται να θεωρήσουμε δύο οποιαδήποτε σημεία κατά μήκος της ακτίνας ως σημεία εκκίνησης και τερματισμού. Η ελάχιστη απόκλιση από τη διαδρομή που ακολουθείται πραγματικά θα σήμαινε καθυστέρηση. Αυτή είναι η περίφημη αρχή του ελαχίστου χρόνου για το φως του Φερμά, η οποία με θαυμαστό τρόπο καθορίζει την τύχη μιας ακτίνας φωτός με μια μόνο δήλωση και περιλαμβάνει επίσης τη γενικότερη περίπτωση, όταν η φύση του μέσου μεταβάλλεται όχι απότομα όπως σε μεμονωμένες επιφάνειες αλλά σταδιακά από σημείο σε σημείο. Η ατμόσφαιρα της γης παρέχει ένα παράδειγμα. Όσο πιο βαθιά διεισδύει σε αυτήν μια ακτίνα φωτός από το διάστημα, τόσο πιο αργά προχωρά μέσα σε έναν όλο και πιο πυκνό αέρα. Παρόλο που οι διαφορές στην ταχύτητα διάδοσης είναι απειροελάχιστες, η αρχή του Φερμά υπό αυτές τις συνθήκες απαιτεί η ακτίνα φωτός να καμπυλώνει προς τη γη (βλ. Σχ. 2), έτσι ώστε να παραμείνει λίγο περισσότερο στα υψηλότερα «ταχύτερα» στρώματα και να φτάσει στον προορισμό της πιο γρήγορα σε σχέση με τη συντομότερη ευθεία διαδρομή (διακεκομμένη γραμμή στο σχήμα- αγνοήστε το τετράγωνο, WWW¹W¹  προς το παρόν).

Σχήμα 2.

Νομίζω ότι σχεδόν κανένας από εσάς δε θα έχει παραλείψει να παρατηρήσει ότι ο ήλιος όταν είναι χαμηλά στον ορίζοντα δε φαίνεται να είναι κυκλικός αλλά πεπλατυσμένος: η κατακόρυφη διάμετρός του φαίνεται να είναι μειωμένη. Αυτό είναι ένα αποτέλεσμα της καμπυλότητας των ακτίνων.

Σύμφωνα με την κυματική θεωρία, οι ακτίνες του φωτός, αυστηρά μιλώντας, έχουν μόνο πλασματική σημασία. Δεν είναι οι φυσικές τροχιές κάποιων σωματιδίων του φωτός αλλά μια μαθηματική κατασκευή, οι λεγόμενες ορθογώνιες τροχιές των κυματικών επιφανειών, φανταστικές γραμμές-οδηγοί κατά κάποιον τρόπο, οι οποίες δείχνουν προς την κατεύθυνση που είναι κάθετη προς την κυματική επιφάνεια στην οποία η τελευταία προχωρά (βλ. το Σχ. 3 που δείχνει την απλούστερη περίπτωση ομόκεντρων σφαιρικών κυματικών επιφανειών και αντίστοιχα ευθύγραμμων ακτίνων, ενώ το Σχ. 4 απεικονίζει την περίπτωση των καμπύλων ακτίνων).

Σχήμα 3.

Σχήμα 4.

Είναι εκπληκτικό το γεγονός ότι μια γενική αρχή τόσο σημαντική όσο αυτή του Φερμά σχετίζεται άμεσα με αυτές τις μαθηματικές κατευθυντήριες γραμμές και όχι με τις κυματικές επιφάνειες, και για τον λόγο αυτό θα μπορούσε κανείς να τη θεωρήσει ως ένα απλό μαθηματικό αξιοπερίεργο. Κάθε άλλο. Γίνεται ορθώς κατανοητή μόνο από τη σκοπιά της κυματικής θεωρίας και παύει να είναι ένα θεϊκό θαύμα. Από την άποψη των κυμάτων, η λεγόμενη καμπυλότητα της φωτεινής ακτίνας είναι πιο εύκολα κατανοητή ως μια εκτροπή της κυματικής επιφάνειας, η οποία πρέπει προφανώς να συμβαίνει όταν γειτονικά τμήματα μιας κυματικής επιφάνειας προχωρούν με διαφορετικές ταχύτητες- με τον ίδιο ακριβώς τρόπο που ένα άγημα στρατιωτών βαδίζοντας προς τα εμπρός θα εκτελέσει τη διαταγή «κλίνατ’ επί δεξιά» κάνοντας βήματα διαφορετικού μήκους, ο άντρας της δεξιάς πτέρυγας το μικρότερο και ο άντρας της αριστερής πτέρυγας το μεγαλύτερο. Στην ατμοσφαιρική διάθλαση της ακτινοβολίας για παράδειγμα (Σχ. 2), το τμήμα της κυματικής επιφάνειας WW πρέπει αναγκαστικά να στραφεί προς τα δεξιά προς το W¹W¹, επειδή το αριστερό του μισό βρίσκεται σε ελαφρώς υψηλότερο, μικρότερης πυκνότητας αέρα, και έτσι προχωράει ταχύτερα από το δεξιό τμήμα που βρίσκεται σε χαμηλότερο σημείο. Παρεμπιπτόντως, θα ήθελα να αναφερθώ σε ένα σημείο στο οποίο η αρχή του Snellius αποτυγχάνει: μια οριζόντια εκπεμπόμενη φωτεινή ακτίνα θα πρέπει να παραμένει οριζόντια, επειδή, ο δείκτης διάθλασης δε μεταβάλλεται στην οριζόντια κατεύθυνση. Στην πραγματικότητα, μια οριζόντια ακτίνα καμπυλώνεται πιο έντονα από οποιαδήποτε άλλη, πράγμα που αποτελεί προφανή συνέπεια της θεωρίας του εκτρεπόμενου μετώπου κύματος. Κατά τη λεπτομερή εξέταση της αρχής του Φερμά διαπιστώνεται ότι ισοδυναμεί πλήρως με την τετριμμένη και προφανή δήλωση ότι – δεδομένης της τοπικής κατανομής των ταχυτήτων του φωτός – το μέτωπο του κύματος πρέπει να εκτρέπεται με τον τρόπο που υποδεικνύεται. Δεν μπορώ να το αποδείξω αυτό εδώ, αλλά θα προσπαθήσω να δώσω μια εύλογη εξήγηση. Θα σας ζητούσα και πάλι να φανταστείτε μια σειρά στρατιωτών που βαδίζουν προς τα εμπρός. Για να εξασφαλιστεί ότι η γραμμή παραμένει αδιάσπαστη, οι άνδρες συνδέονται με μια μακριά ράβδο που ο καθένας κρατάει σταθερά στο χέρι του. Δε δίνεται καμία εντολή ως προς την κατεύθυνση- η μόνη εντολή είναι: ο κάθε άνδρας να βαδίζει ή να τρέχει όσο πιο γρήγορα μπορεί. Εάν η φύση του εδάφους ποικίλλει αργά από τόπο σε τόπο, θα είναι πότε η δεξιά πτέρυγα πότε η αριστερή που θα προχωρήσει πιο γρήγορα, και οι αλλαγές στην κατεύθυνση θα συμβούν αυθόρμητα. Αφού περάσει κάποιο χρονικό διάστημα, θα φανεί ότι ολόκληρη η διαδρομή που διανύεται δεν είναι ευθύγραμμη αλλά, κατά κάποιο τρόπο, καμπυλωτή. Ότι αυτή η καμπυλωτή διαδρομή είναι ακριβώς εκείνη με την οποία ο προορισμός που θα μπορούσε να επιτευχθεί ανά πάσα στιγμή μπορεί να επιτευχθεί ταχύτερα ανάλογα με τη φύση του εδάφους είναι τουλάχιστον αρκετά εύλογο, δεδομένου ότι ο καθένας από τους άνδρες έκανε ό,τι καλύτερο μπορούσε. Θα φανεί ακόμα ότι η εκτροπή συμβαίνει επίσης σταθερά προς εκείνη την κατεύθυνση στην οποία το έδαφος είναι λιγότερο ομαλό, έτσι ώστε να καταλήξει στο τέλος να φαίνεται ότι οι άνδρες είχαν σκόπιμα “παρακάμψει” ένα μέρος όπου θα προχωρούσαν αργά.

Η αρχή του Φερμά φαίνεται έτσι να είναι η τετριμμένη πεμπτουσία της κυματικής θεωρίας. Ήταν λοιπόν μια αξιομνημόνευτη περίσταση όταν ο Χάμιλτον (Hamilton) έκανε την ανακάλυψη ότι η πραγματική κίνηση σημειακών μαζών σε ένα πεδίο δυνάμεων (π.χ. ενός πλανήτη στην τροχιά του γύρω από τον ήλιο ή μιας πέτρας που ρίχνεται στο βαρυτικό πεδίο της γης) διέπεται επίσης από μια παρόμοια γενική αρχή, η οποία φέρει, και έχει κάνει έκτοτε διάσημο, το όνομα του εμπνευστή της. Ομολογουμένως, η αρχή Χάμιλτον δε λέει ακριβώς ότι η σημειακή μάζα επιλέγει τον ταχύτερο δρόμο, αλλά λέει κάτι τόσο παρόμοιο: η αναλογία με την αρχή του συντομότερου χρόνου που ταξιδεύει το φως είναι τόσο κοντινή, ώστε να βρεθεί κανείς μπροστά σε έναν γρίφο. Φαινόταν σαν η Φύση να είχε υπαγορεύσει τον ίδιο νόμο δύο φορές σε εντελώς διαφορετικά μέσα: πρώτα στην περίπτωση του φωτός, μέσω ενός αρκετά προφανούς παίγνιου των ακτίνων, κι έπειτα στην περίπτωση των σημειακών μαζών, που κάθε άλλο παρά προφανείς ήταν, εκτός αν έπρεπε να αποδοθεί και σ’ αυτά με κάποιον τρόπο κυματική φύση. Και αυτό φαινόταν αδύνατο να γίνει. Διότι οι «σημειακές μάζες», στις οποίες οι νόμοι της μηχανικής είχαν πράγματι επιβεβαιωθεί πειραματικά εκείνη την εποχή, ήταν μόνο τα μεγάλα, ορατά, μερικές φορές πολύ μεγάλα σώματα, οι πλανήτες, για τα οποία κάτι σαν την «κυματική φύση» φαινόταν να αποκλείεται.

Τα μικρότερα, στοιχειώδη συστατικά της ύλης, τα οποία σήμερα, πιο συγκεκριμένα, αποκαλούμε «σημειακές μάζες», ήταν τότε καθαρά υποθετικά. Μόνο μετά την ανακάλυψη της ραδιενέργειας οι συνεχείς βελτιώσεις των μεθόδων μέτρησης επέτρεψαν τη λεπτομερή μελέτη των ιδιοτήτων αυτών των σωματιδίων και επιτρέπουν σήμερα τη φωτογράφιση των διαδρομών αυτών των σωματιδίων και την ακριβή μέτρησή τους (στερεοφωτογραμμετρικά) με τη λαμπρή μέθοδο του C. T. R. Wilson¹. Όσον αφορά τις μετρήσεις, επιβεβαιώνουν ότι για τα σωματίδια ισχύουν οι ίδιοι  νόμοι της μηχανικής όπως και για τα μεγάλα σώματα, τους πλανήτες κ.λπ. Ωστόσο, διαπιστώθηκε ότι ούτε το μόριο ούτε το μεμονωμένο άτομο μπορούν να θεωρηθούν ως το «απόλυτο συστατικό»: αλλά ότι ακόμη και το άτομο είναι ένα σύστημα με εξαιρετικά πολύπλοκη δομή. Στο μυαλό μας σχηματίζονται εικόνες της δομής των ατόμων που αποτελούνται από σωματίδια, οι οποίες φαίνεται να έχουν κάποια ομοιότητα με το πλανητικό σύστημα. Ήταν φυσικό, αρχικά, να γίνει η προσπάθεια ώστε να θεωρηθούν  έγκυροι οι ίδιοι νόμοι της κίνησης που είχαν αποδειχθεί ότι ικανοποιούνταν σε μεγάλη κλίμακα. Με άλλα λόγια, η μηχανική του Χάμιλτον, η οποία, όπως είπα παραπάνω, κορυφώνεται με την αρχή Χάμιλτον, εφαρμόστηκε και στην «εσωτερική ζωή» του ατόμου. Το ότι υπάρχει μια πολύ στενή αναλογία μεταξύ της αρχής του Χάμιλτον και της αρχής του Φερμά είχε εν τω μεταξύ σχεδόν ξεχαστεί. Στην περίπτωση που το θυμόντουσαν, θεωρούνταν ότι δεν ήταν τίποτε περισσότερο από ένα περίεργο χαρακτηριστικό της μαθηματικής θεωρίας.

Τώρα είναι πολύ δύσκολο, χωρίς να υπεισέλθουμε περαιτέρω σε λεπτομέρειες, να αποδώσουμε σωστά την αντίληψη της επιτυχίας ή της αποτυχίας αυτών των κλασικών-μηχανικών εικόνων του ατόμου. Από τη μια πλευρά, η αρχή του Χάμιλτον, ειδικότερα, αποδείχθηκε ο πιο πιστός και αξιόπιστος οδηγός, ο οποίος ήταν απλώς απαραίτητος- από την άλλη πλευρά έπρεπε να υποστεί κανείς, για να αποδώσει δικαιοσύνη στα γεγονότα, την πρόχειρη παρεμβολή εντελώς νέων ακατανόητων αξιωμάτων, των λεγόμενων κβαντικών συνθηκών και κβαντικών αξιωμάτων. Σαν μια έντονη δυσαρμονία στη συμφωνία της κλασικής μηχανικής – που όμως είναι παράξενα οικεία – παιγμένη σαν να ήταν στο ίδιο όργανο. Με μαθηματικούς όρους μπορούμε να το διατυπώσουμε ως εξής: ενώ η αρχή του Χάμιλτον απλώς αξιώνει ότι ένα δεδομένο ολοκλήρωμα πρέπει να είναι ελάχιστο, χωρίς η αριθμητική τιμή του ελαχίστου να καθορίζεται από αυτό το αξίωμα, τώρα απαιτείται η αριθμητική τιμή του ελαχίστου να περιορίζεται σε ακέραια πολλαπλάσια μιας παγκόσμιας φυσικής σταθεράς, του κβάντου δράσης του Πλανκ. Αυτό συμπτωματικά. Η κατάσταση ήταν αρκετά απελπιστική. Αν η παλιά μηχανική είχε αποτύχει εντελώς, δε θα ήταν τόσο άσχημα. Τότε ο δρόμος θα ήταν  ελεύθερος για την ανάπτυξη ενός νέου συστήματος μηχανικής. Όπως και να ‘ταν, βρισκόταν κανείς αντιμέτωπος με το δύσκολο έργο να σώσει την ψυχή του παλιού συστήματος, του οποίου το πνεύμα σαφώς κυριαρχούσε σ’ αυτόν τον μικρόκοσμο, και ταυτόχρονα να το κολακεύσει, ώστε να δεχτεί τις κβαντικές συνθήκες όχι ως μεγάλη παρεμβολή αλλά ως προερχόμενες από την ίδια του την εσώτερη ουσία.

Η διέξοδος βρισκόταν ακριβώς στη δυνατότητα που ήδη αναφέρθηκε παραπάνω, να αποδοθεί στην αρχή Χάμιλτον η λειτουργία ενός κυματικού μηχανισμού στον οποίο βασίζονται ουσιαστικά οι σημειακές μηχανικές διαδικασίες, όπως ακριβώς είχε συνηθίσει κανείς να κάνει στην περίπτωση των φαινομένων που σχετίζονται με το φως και την αρχή Φερμά που τα διέπει. Ομολογουμένως, η μεμονωμένη διαδρομή μιας σημειακής μάζας χάνει την ορθή φυσική της σημασία και γίνεται τόσο πλασματική όσο και η διακριτή απομονωμένη ακτίνα φωτός. Η ουσία της θεωρίας η ελάχιστη αρχή, ωστόσο, όχι μόνο παραμένει ανέπαφη, αλλά αποκαλύπτει το αληθινό και απλό νόημά της μόνο υπό την κυματοειδή διάσταση, όπως έχει ήδη εξηγηθεί. Αυστηρά μιλώντας, η νέα θεωρία δεν είναι στην πραγματικότητα νέα, είναι μια εντελώς οργανική εξέλιξη, ώστε θα μπορούσε σχεδόν να μπει κανείς στον πειρασμό να πει μια πιο περίτεχνη εκδοχή της παλιάς θεωρίας.

Πώς λοιπόν αυτή η νέα, πιο «περίτεχνη» εκδοχή οδήγησε σε αξιοσημείωτα διαφορετικά αποτελέσματα; Τι της επέτρεψε, όταν εφαρμόστηκε στο άτομο, να αποφύγει δυσκολίες που η παλιά θεωρία δεν μπορούσε να λύσει; Τι της επέτρεψε να καταστήσει αποδεκτές τις μεγάλες παρεμβάσεις ή ακόμη και να τις οικειοποιηθεί;

Και πάλι, τα θέματα αυτά μπορούν να διευκρινιστούν καλύτερα αξιοποιώντας την αναλογία με την οπτική. Πολύ σωστά, πράγματι, αποκάλεσα προηγουμένως την αρχή του Φερμά ως την πεμπτουσία της κυματικής θεωρίας του φωτός, ωστόσο, δεν μπορεί να καταστήσει αναπόφευκτη μια πιο ακριβή μελέτη της ίδιας της κυματικής διαδικασίας. Τα λεγόμενα φαινόμενα διάθλασης και συμβολής του φωτός μπορούν να γίνουν κατανοητά μόνο αν παρακολουθήσουμε λεπτομερώς την κυματική διαδικασία, διότι αυτό που έχει σημασία δεν είναι μόνο ο τελικός προορισμός του κύματος, αλλά και το αν σε μια δεδομένη στιγμή καταφτάνει εκεί με μια κορυφή ή με μια κοιλάδα του. Στις παλαιότερες, πιο χονδροειδείς πειραματικές διατάξεις, τα φαινόμενα αυτά λάμβαναν χώρα μόνο ως μικρές λεπτομέρειες και διέφευγαν της παρατήρησης. Μόλις έγιναν αντιληπτά και ερμηνεύτηκαν σωστά μέσω των κυμάτων, ήταν εύκολο να επινοηθούν πειράματα, στα οποία η κυματική φύση του φωτός εμφανίζεται όχι μόνο σε μικρές λεπτομέρειες αλλά σε πολύ μεγάλη κλίμακα σε ολόκληρη την έκταση του φαινομένου.

Επιτρέψτε μου να το διευκρινίσω αυτό με δύο παραδείγματα: πρώτον, το παράδειγμα ενός οπτικού οργάνου, όπως το τηλεσκόπιο, το μικροσκόπιο κ.λπ. Ο στόχος εδώ είναι να επιτευχθεί μια ευκρινής εικόνα, δηλαδή είναι επιθυμητό όλες οι ακτίνες που ξεκινούν από ένα σημείο να επανενωθούν σε ένα σημείο, τη λεγόμενη εστία (βλ. Σχ. 5α). Αρχικά θεωρήθηκε ότι μόνο οι γεωμετρικές-οπτικές δυσκολίες εμπόδιζαν την επίτευξη αυτού του στόχου^. αυτές είναι πράγματι σημαντικές.

Σχήμα 5.

Αργότερα διαπιστώθηκε ότι ακόμη και στα καλύτερα σχεδιασμένα όργανα η εστίαση των ακτίνων ήταν σημαντικά υποδεέστερη από ό,τι θα αναμενόταν, αν κάθε ακτίνα υπάκουε ακριβώς στην αρχή του Φερμά ανεξάρτητα από τις γειτονικές ακτίνες. Το φως που εξέρχεται από ένα σημείο και συλλαμβάνεται από το όργανο ξανασμίγει πίσω από το όργανο όχι πλέον σε ένα μόνο σημείο, αλλά κατανεμημένο σε μια μικρή κυκλική περιοχή, τον λεγόμενο δίσκο περίθλασης, ο οποίος, κατά τα άλλα, είναι στις περισσότερες περιπτώσεις κυκλικός μόνο και μόνο επειδή τα ανοίγματα και τα περιγράμματα των φακών είναι γενικά κυκλικά. Διότι, η αιτία του φαινομένου που ονομάζουμε περίθλαση έγκειται στο ότι δεν μπορεί το όργανο να συμπεριλάβει όλα τα σφαιρικά κύματα που προέρχονται από το σημείο του αντικειμένου. Τα άκρα του φακού και τα τυχόν ανοίγματα απλώς αποκόπτουν ένα μέρος των κυματικών επιφανειών (βλ. Σχ. 5β) και – αν μου επιτρέπετε να χρησιμοποιήσω μια πιο υπαινικτική έκφραση – τα τραχέα περιθώρια αντιστέκονται στην πλήρη επανένωση των ακτίνων σε ένα σημείο και παράγουν την κάπως θολή ή ασαφή εικόνα. Ο βαθμός ασάφειας συνδέεται στενά με το μήκος κύματος του φωτός και είναι απολύτως αναπόφευκτος λόγω αυτής της βαθιά ριζωμένης θεωρητικής σχέσης. Δύσκολα αντιληπτή στην αρχή, διέπει και περιορίζει την απόδοση του σύγχρονου μικροσκοπίου, το οποίο έχει υπερβεί όλα τα άλλα σφάλματα αναπαραγωγής μιας εικόνας. Οι εικόνες που λαμβάνονται από δομές όχι πολύ πιο μεγάλες ή και ακόμη πιο μικρές σε μέγεθος από τα μήκη κύματος του φωτός μοιάζουν μόνο εξ αποστάσεως ή καθόλου με το πρωτότυπο.

Ένα δεύτερο, ακόμη πιο απλό παράδειγμα είναι η σκιά ενός αδιαφανούς αντικειμένου που πέφτει πάνω σε μια οθόνη από μια μικρή σημειακή πηγή φωτός. Για να κατασκευαστεί η μορφή της σκιάς, πρέπει να ανιχνευθεί κάθε ακτίνα φωτός και να διαπιστωθεί αν το αδιαφανές αντικείμενο την εμποδίζει να φτάσει στην οθόνη. Το περίγραμμα της σκιάς σχηματίζεται από τις ακτίνες φωτός που μόλις περνούν από την άκρη του σώματος. Η εμπειρία έχει δείξει ότι το περίγραμμα της σκιάς δεν είναι απολύτως ευκρινές ακόμη και με μια σημειακή πηγή φωτός και ένα ευκρινές αντικείμενο που ρίχνει σκιά. Ο λόγος γι’ αυτό είναι ο ίδιος όπως και στο πρώτο παράδειγμα. Το μέτωπο του κύματος διχοτομείται κατά κάποιον τρόπο από το σώμα (βλ. Σχ. 6) και τα ίχνη αυτής της αλλοίωσης έχουν ως αποτέλεσμα τη θόλωση του περιγράμματος της σκιάς, η οποία θα ήταν ακατανόητη, εάν οι επιμέρους ακτίνες φωτός ήταν ανεξάρτητες οντότητες που προχωρούσαν ανεξάρτητα η μία από την άλλη χωρίς αναφορά στις γειτονικές τους.

Το φαινόμενο αυτό – που ονομάζεται επίσης περίθλαση – δεν είναι κατά κανόνα αισθητό σε μεγάλα σώματα. Αν όμως το σώμα που ρίχνει τη σκιά είναι πολύ μικρό, τουλάχιστον στη μία διάσταση, η περίθλαση εκφράζεται πρώτον με το ότι δε σχηματίζεται καθόλου σωστή σκιά και δεύτερον -πολύ πιο εντυπωσιακά- με το ότι το ίδιο το μικρό σώμα είναι σαν να ήταν το ίδιο μια πηγή φωτός και εκπέμπει φως προς όλες τις κατευθύνσεις^. (κατά προτίμηση βέβαια σε μικρές γωνίες σε σχέση με το  προσπίπτον φως).

Σχήμα 6.

Όλοι σας είστε αναμφίβολα εξοικειωμένοι με τους λεγόμενους «κόκκους σκόνης» σε μια δέσμη φωτός που πέφτει σε ένα σκοτεινό δωμάτιο. Τα λεπτά χορταράκια και οι ιστοί αράχνης στην κορυφή ενός λόφου με τον ήλιο πίσω τους ή οι ακατάστατες μπούκλες μαλλιών ενός ανθρώπου που στέκεται με τον ήλιο πίσω του και συχνά φωτίζονται μυστηριωδώς από το περιθλώμενο φως καθώς και η ορατότητα του καπνού και της ομίχλης βασίζονται σε αυτό το φαινόμενο . Δεν προέρχεται στην πραγματικότητα από το ίδιο το σώμα αλλά από το άμεσο περιβάλλον του, μια περιοχή στην οποία η παρουσία του σώματος προκαλεί σημαντική συμβολή στα προσπίπτοντα μέτωπα των κυμάτων. Είναι ενδιαφέρον και σημαντικό για ό,τι ακολουθεί να παρατηρήσουμε ότι η περιοχή της συμβολής έχει πάντα και προς κάθε κατεύθυνση τουλάχιστον την έκταση ενός ή μερικών μηκών κύματος, όσο μικρό κι αν είναι το διαταράσσον σωματίδιο. Για άλλη μια φορά, λοιπόν, παρατηρούμε μια στενή σχέση μεταξύ του φαινομένου της περίθλασης και του μήκους κύματος. Αυτό αναδεικνύεται ίσως καλύτερα με αναφορά σε μια άλλη κυματική διαδικασία, στον ήχο. Λόγω του πολύ μεγαλύτερου μήκους κύματος, το οποίο είναι της τάξης των εκατοστών και των μέτρων, ο σχηματισμός σκιών υποχωρεί στην περίπτωση του ήχου και η περίθλαση παίζει πρακτικά σημαντικό  ρόλο: μπορούμε εύκολα να ακούσουμε έναν άνθρωπο να φωνάζει πίσω από έναν ψηλό τοίχο ή πίσω από τη γωνία ενός συμπαγούς σπιτιού, ακόμη και αν δεν τον βλέπουμε.

Ας επιστρέψουμε από την οπτική στη μηχανική και ας εξερευνήσουμε την αναλογία στο μέγιστο βαθμό. Στην οπτική, το παλιό σύστημα της μηχανικής αντιστοιχεί σε μια νοητική εργασία με απομονωμένες αμοιβαία ανεξάρτητες ακτίνες φωτός. Η νέα κυματική μηχανική αντιστοιχεί στην κυματική θεωρία του φωτός. Αυτό που αποκομίζεται περνώντας από την παλαιά άποψη στη νέα είναι ότι τα φαινόμενα περίθλασης μπορούν να συμπεριληφθούν ή, για να το εκφράσουμε καλύτερα, αυτό που αποκομίζεται είναι κάτι αυστηρά ανάλογο με τα φαινόμενα περίθλασης του φωτός, και το οποίο στο σύνολό του πρέπει να είναι πολύ ασήμαντο, διαφορετικά η παλαιά άποψη της μηχανικής δε θα ήταν επαρκής τόσον καιρό. Είναι, ωστόσο, εύκολο να υποθέσουμε ότι το  φαινόμενο που αγνοήσαμε μπορεί σε ορισμένες περιπτώσεις να γίνει πολύ αισθητό, οπότε θα επιβληθεί πλήρως στη μηχανική διαδικασία και το παλιό σύστημα θα έλθει αντιμέτωπο με άλυτους γρίφους, αν ολόκληρο το μηχανικό σύστημα είναι συγκρίσιμο σε μέγεθος με τα μήκη κύματος των “κυμάτων της ύλης” που παίζουν τον ίδιο ρόλο στις μηχανικές διαδικασίες με αυτόν που παίζουν τα κύματα του φωτός στις οπτικές διαδικασίες.

Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο σε αυτά τα μικροσκοπικά συστήματα, τα άτομα, ήταν βέβαιο ότι θα αποτύγχανε η παλαιά άποψη, η οποία, παρόλο που παρέμενε ακλόνητη ως μια καλή προσέγγιση για τις γενικές μηχανικές διεργασίες, δεν είναι πλέον επαρκής για τις ευαίσθητες αλληλεπιδράσεις σε περιοχές της τάξης μεγέθους ενός ή μερικών μηκών κύματος. Ήταν εκπληκτικό να παρατηρεί κανείς τον τρόπο με τον οποίο όλες αυτές οι παράξενες πρόσθετες απαιτήσεις αναπτύχθηκαν αυθόρμητα από τη νέα κυματική θεώρηση, ενώ έπρεπε να επιβληθούν στην παλιά θεώρηση, για να προσαρμοστούν στην εσωτερική ζωή του ατόμου και να δώσουν κάποια εξήγηση στα παρατηρούμενα γεγονότα.

Έτσι, το σημαντικότερο σημείο του όλου θέματος είναι ότι οι διάμετροι των ατόμων και το μήκος κύματος των υποθετικών υλικών κυμάτων είναι περίπου της ίδιας τάξης μεγέθους. Και τώρα θα πρέπει οπωσδήποτε να ρωτήσετε αν πρέπει να θεωρηθεί απλή τύχη το γεγονός ότι στη συνεχή ανάλυσή μας για τη δομή της ύλης θα καταλήξουμε από όλα τα σημεία στην τάξη μεγέθους του μήκους κύματος ή αν αυτό είναι σε κάποιο βαθμό κατανοητό. Περαιτέρω, μπορεί να ρωτήσετε πώς γνωρίζουμε ότι αυτό είναι έτσι, αφού τα υλικά κύματα αποτελούν μια εντελώς νέα απαίτηση αυτής της θεωρίας, άγνωστη οπουδήποτε αλλού. Ή μήπως απλώς πρόκειται για μια υπόθεση που έπρεπε να γίνει;

Η συμφωνία μεταξύ των τάξεων μεγέθους δεν είναι απλά τυχαία ούτε απαιτείται κάποια ειδική υπόθεση σχετικά με αυτήν^. προκύπτει αυτόματα από τη θεωρία με τον ακόλουθο αξιοσημείωτο τρόπο. Το γεγονός ότι ο βαρύς πυρήνας του ατόμου είναι πολύ μικρότερος από το άτομο και επομένως μπορεί να θεωρηθεί ως ένα σημειακό κέντρο έλξης στο επιχείρημα που ακολουθεί, όπως τεκμηριώνεται πειραματικά από τα πειράματα για τη σκέδαση των ακτίνων άλφα που έκαναν οι Rutherford και Chadwick. Αντί των ηλεκτρονίων εισάγουμε υποθετικά κύματα, των οποίων τα μήκη κύματος αφήνονται εντελώς ελεύθερα, επειδή δε γνωρίζουμε ακόμη τίποτα γι’ αυτά. Αυτό αφήνει μια σταθερά, π.χ. α, που υποδηλώνει ένα άγνωστο ακόμη μέγεθος στον υπολογισμό μας. Ωστόσο, το έχουμε συνηθίσει αυτό σε τέτοιους υπολογισμούς και δε μας εμποδίζει να υπολογίσουμε ότι ο   πυρήνας του ατόμου πρέπει να παράγει ένα είδος φαινομένου περίθλασης σε αυτά τα κύματα, παρόμοια όπως κάνει ένα μικροσκοπικό σωματίδιο σκόνης στα κύματα του φωτός.  Κατ’ αναλογία, προκύπτει ότι υπάρχει στενή σχέση μεταξύ της έκτασης της περιοχής συμβολής με την οποία περιβάλλεται ο πυρήνας και του μήκους κύματος, και ότι τα δύο είναι της ίδιας τάξης μεγέθους. Για το τι είναι αυτό έπρεπε να το αφήσουμε ανοιχτό- αλλά το πιο σημαντικό βήμα ακολουθεί τώρα: ταυτίζουμε την περιοχή συμβολής, το φωτοστέφανο περίθλασης, με το άτομο^. ισχυριζόμαστε ότι το άτομο στην πραγματικότητα είναι απλώς το αποτέλεσμα της περίθλασης ενός κύματος ηλεκτρονίων που συλλαμβάνεται, όπως λέγαμε, από τον πυρήνα του ατόμου. Δεν είναι πλέον θέμα τύχης το γεγονός ότι το μέγεθος του ατόμου και το μήκος κύματος είναι της ίδιας τάξης μεγέθους^. είναι θέμα φύσης. Δε γνωρίζουμε την αριθμητική τιμή κανενός από τα δύο, γιατί έχουμε ακόμη στον υπολογισμό μας τη μία άγνωστη σταθερά, την οποία ονομάσαμε α. Υπάρχουν δύο πιθανοί τρόποι προσδιορισμού της, οι οποίοι παρέχουν αμοιβαίο έλεγχο ο ένας στον άλλον. Πρώτον, μπορούμε να την επιλέξουμε έτσι ώστε οι εκδηλώσεις της ζωής του ατόμου, κυρίως οι γραμμές του φάσματος που εκπέμπονται, να βγαίνουν σωστά ποσοτικά- αυτές άλλωστε μπορούν να μετρηθούν με μεγάλη ακρίβεια. Δεύτερον, μπορούμε να επιλέξουμε τη σταθερά α με τέτοιον τρόπο, ώστε το φωτοστέφανο περίθλασης να αποκτήσει το μέγεθος που απαιτείται για το άτομο. Αυτοί οι δύο προσδιορισμοί του α (εκ των οποίων ο δεύτερος είναι ομολογουμένως πολύ πιο ασαφής, επειδή το «μέγεθος του ατόμου» δεν είναι σαφώς καθορισμένος όρος) βρίσκονται σε πλήρη συμφωνία μεταξύ τους. Τρίτον, και τελευταίο, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι η σταθερά που παραμένει άγνωστη, από φυσική άποψη, δεν έχει στην πραγματικότητα τη διάσταση ενός μήκους, αλλά μιας δράσης, δηλαδή ενέργειας πολλαπλασιασμένης με τον χρόνο. Ένα προφανές βήμα, λοιπόν, είναι να την αντικαταστήσουμε με την αριθμητική τιμή του παγκόσμιου κβάντου δράσης του Planck, η οποία είναι γνωστή με ακρίβεια από τους νόμους της θερμικής ακτινοβολίας. Θα δούμε ότι επιστρέφουμε με την πλήρη, σημαντική πλέον, ακρίβεια στον πρώτο (ακριβέστερο) τρόπο προσδιορισμού.

Ποσοτικά μιλώντας, η θεωρία επομένως τα καταφέρνει με ελάχιστες νέες παραδοχές. Περιέχει μια και μόνη διαθέσιμη σταθερά, στην οποία πρέπει να δοθεί μια αριθμητική τιμή γνωστή από την παλαιότερη κβαντική θεωρία, πρώτον για να αποδοθεί στα φωτεινά αποτυπώματα της περίθλασης το σωστό μέγεθος, ώστε να μπορούν να ταυτιστούν λογικά με τα άτομα, και δεύτερον για να εκτιμηθούν ποσοτικά και σωστά όλες οι εκδηλώσεις της ζωής του ατόμου, το φως που εκπέμπει, η ενέργεια ιονισμού κ.λπ.

Προσπάθησα να σας παρουσιάσω τη θεμελιώδη ιδέα της κυματικής θεωρίας της ύλης στην απλούστερη δυνατή μορφή. Πρέπει να παραδεχτώ τώρα ότι στην επιθυμία μου να μην μπλέξω τις ιδέες από την αρχή, έκανα περιττές προσθήκες. Όχι όσον αφορά τον υψηλό βαθμό στον οποίο όλα τα επαρκώς προσεκτικά εξαγόμενα συμπεράσματα επιβεβαιώνονται από την εμπειρία, αλλά όσον αφορά την εννοιολογική ευκολία και απλότητα με την οποία καταλήγουμε στα συμπεράσματα. Δε μιλάω εδώ για τις μαθηματικές δυσκολίες, οι οποίες αποδεικνύονται πάντα ασήμαντες στο τέλος, αλλά για τις εννοιολογικές δυσκολίες. Είναι, βέβαια, εύκολο να πούμε ότι στρεφόμαστε από την έννοια της καμπύλης διαδρομής σε ένα σύστημα κυματικών επιφανειών κάθετων σε αυτήν. Οι κυματικές επιφάνειες, ωστόσο, ακόμη και αν εξετάσουμε μόνο μικρά τμήματά τους (βλ. Σχ. 7), περιλαμβάνουν τουλάχιστον μια στενή δέσμη πιθανών καμπύλων διαδρομών,

Σχήμα 7.

με όλες να υπακούουν στην ίδια σχέση. Σύμφωνα με την παλαιότερη άποψη, αλλά όχι σύμφωνα με τη νέα, μία από αυτές σε κάθε συγκεκριμένη μεμονωμένη περίπτωση διακρίνεται από όλες τις άλλες που είναι «μόνο δυνατές» ως αυτή που «πραγματικά ταξίδεψε». Βρισκόμαστε εδώ αντιμέτωποι με την πλήρη ισχύ της λογικής αντίθεσης μεταξύ του

είτε – ή  (μηχανική του σημείου)

και του

τόσο – όσο  (κυματική μηχανική).

Αυτό δε θα είχε μεγάλη σημασία, αν το παλιό σύστημα εγκαταλείπονταν εντελώς και αντικαθίστατο από το νέο. Δυστυχώς, αυτό δε συμβαίνει. Από την άποψη της κυματικής μηχανικής, η άπειρη σειρά πιθανών σημειακών διαδρομών θα ήταν απλώς πλασματική, καμία από αυτές δε θα είχε το προνόμιο έναντι των άλλων να είναι αυτή που πραγματικά ταξιδεύει σε μια μεμονωμένη περίπτωση. Έχω, ωστόσο, ήδη αναφέρει ότι έχουμε  παρατηρήσει, σε ορισμένες περιπτώσεις, ατομικές διαδρομές σωματιδίων στην πραγματικότητα. Η κυματική θεωρία μπορεί να το αναπαραστήσει αυτό είτε καθόλου είτε μόνο πολύ ατελώς. Μας είναι τρομερά δύσκολο να ερμηνεύσουμε τα ίχνη που βλέπουμε ως τίποτα περισσότερο από στενές δέσμες εξίσου πιθανών διαδρομών, μεταξύ των οποίων οι κυματικές επιφάνειες δημιουργούν διασταυρούμενες συνδέσεις. Ωστόσο, αυτές οι διασταυρούμενες συνδέσεις είναι απαραίτητες για την κατανόηση των φαινομένων περίθλασης και συμβολής, τα οποία μπορούν να αποδειχθούν για το ίδιο σωματίδιο με την ίδια αληθοφάνεια – και μάλιστα σε μεγάλη κλίμακα, όχι μόνο ως συνέπεια των θεωρητικών ιδεών για το εσωτερικό του ατόμου, τις οποίες αναφέραμε προηγουμένως. Οι συνθήκες είναι ομολογουμένως τέτοιες, ώστε να μπορούμε πάντα να τα καταφέρνουμε σε κάθε μεμονωμένη περίπτωση χωρίς οι δύο διαφορετικές εκδοχές να οδηγούν σε διαφορετικές προσδοκίες όσον αφορά το αποτέλεσμα ορισμένων πειραμάτων. Δεν μπορούμε, ωστόσο, να τα καταφέρουμε με τέτοιους παλιούς, οικείους και φαινομενικά απαραίτητους όρους όπως «πραγματικό» ή «μόνο δυνατό». Ποτέ δεν είμαστε σε θέση να πούμε τι πραγματικά είναι ή τι πραγματικά συμβαίνει, αλλά μπορούμε μόνο να πούμε τι θα παρατηρηθεί σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση. Θα πρέπει να είμαστε μόνιμα ικανοποιημένοι με αυτό… ; Εν πρώτοις, ναι. Κατ’ αρχήν, δεν υπάρχει τίποτα καινούργιο στο αξίωμα ότι τελικά η ακριβής επιστήμη δεν πρέπει να στοχεύει σε τίποτε περισσότερο από την περιγραφή αυτού που μπορεί πραγματικά να παρατηρηθεί. Το ερώτημα είναι μόνο αν από εδώ και στο εξής θα πρέπει να απέχουμε από το να συνδέουμε την περιγραφή με μια σαφή υπόθεση για την πραγματική φύση του κόσμου. Υπάρχουν πολλοί που επιθυμούν να κηρύξουν μια τέτοια παραίτηση ακόμη και σήμερα. Πιστεύω όμως ότι αυτό σημαίνει να κάνουμε τα πράγματα υπερβολικά εύκολα για τον εαυτό μας.

Θα όριζα την παρούσα κατάσταση των γνώσεών μας ως εξής^. Η μεν ακτίνα ή η διαδρομή του σωματιδίου αντιστοιχεί σε μια διαμήκη σχέση της διαδικασίας διάδοσης (δηλαδή στη διεύθυνση διάδοσης), η δε κυματική επιφάνεια σε μια εγκάρσια σχέση (δηλαδή ορθογώνια προς αυτήν). Και οι δύο σχέσεις είναι αναμφίβολα πραγματικές^. η μία αποδεικνύεται από διαδρομές σωματιδίων που έχουν φωτογραφηθεί, η άλλη από πειράματα συμβολής. Ο συνδυασμός και των δύο σε ένα ομοιόμορφο σύστημα έχει αποδειχθεί αδύνατος µέχρι σήµερα. Μόνο σε ακραίες περιπτώσεις επικρατεί σε τέτοιο βαθμό είτε η εγκάρσια κυψελοειδής είτε η ακτινική, διαμήκης σχέση, ώστε νομίζουμε ότι μπορούμε να αρκεστούμε μόνο στην κυματική θεωρία ή μόνο στη σωματιδιακή θεωρία.

Ο Erwin Schrödinger (12 Αυγούστου 1887 – 4 Ιανουαρίου 1961) ήταν Αυστριακός θεωρητικός φυσικός, ένας από τους πρωτοπόρους της κβαντικής θεωρίας. Η σημαντικότερη συνεισφορά του ήταν η διατύπωση της ομώνυμης εξίσωσης η οποία περιγράφει την χρονική εξέλιξη της κυματοσυνάρτησης ενός κβαντικού συστήματος. Ήταν αυτός που εισήγαγε τον όρο της κβαντικής σύμπλεξης (quantum entanglement), το 1932, και ο πρώτος που επιχείρησε μια συζήτηση των συνέπειών της.

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ

Το πορτραίτο του Schrödinger φιλοτέχνησε ο εικαστικός Χρήστος Αλαβέρας από τη Θεσσαλονίκη.

ΥΠΟΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

1. Το 1910, ο Wilson συνέλαβε την ιδέα ότι θα μπορούσε να απεικονίσει τα ίχνη των φορτισμένων σωματιδίων φωτογραφίζοντας τα ρεύματα των σταγονιδίων νερού που συμπυκνώνονται σε ιόντα που δημιουργήθηκαν καθώς τα σωματίδια περνούσαν μέσα από τον θάλαμο. Η ευαισθησία ήταν τέτοια που ένα μόνο φορτισμένο σωματίδιο μπορούσε να λειτουργήσει ως κέντρο συμπύκνωσης. Ο Wilson τιμήθηκε με το Νόμπελ Φυσικής το 1927 για αυτήν την εφεύρεση.