MAX BORN – Η στατιστική ερμηνεία της κβαντομηχανικής

Διάλεξη Νόμπελ, 11 Δεκεμβρίου, 1954

Μετάφραση: Βαρβάρα Πετανίδου

«…σύμφωνα με τον Born, η κβαντική μηχανική μας δίνει μόνο μια στατιστική περιγραφή». (Από την προσφώνηση στην τελετή απονομής του βραβείου Nobel, 11 Δεκεμβρίου 1954)

Το έργο για το οποίο είχα την τιμή να μου απονεμηθεί το βραβείο Νόμπελ για το 1954, δεν περιέχει την ανακάλυψη ενός νέου φυσικού φαινομένου, αλλά μάλλον τη βάση για έναν νέο τρόπο σκέψης όσον αφορά τα φυσικά φαινόμενα. Αυτός ο τρόπος σκέψης έχει διαπεράσει τόσο την πειραματική, όσο και τη θεωρητική φυσική, σε τέτοιο βαθμό που φαίνεται δύσκολο να ειπωθεί κάτι περισσότερο γι’ αυτόν που δεν έχει ήδη ειπωθεί τόσο συχνά. Ωστόσο, υπάρχουν ορισμένες ιδιαίτερες πτυχές τις οποίες θα ήθελα να συζητήσω σε μια τόσο εορταστική για μένα περίσταση. Το πρώτο σημείο είναι το εξής: οι εργασίες στη σχολή του Γκέτινγκεν, τις οποίες διηύθυνα για ένα διάστημα (1926-1927), συνέβαλαν στην επίλυση μιας πνευματικής κρίσης στην οποία περιήλθε η επιστήμη μας, ως αποτέλεσμα της ανακάλυψης του κβάντου δράσης από τον Planck το 1900. Σήμερα, η Φυσική βρίσκεται σε μια παρόμοια κρίση – δεν εννοώ εδώ την εμπλοκή της στην πολιτική και την οικονομία ως αποτέλεσμα της κυριαρχίας μιας νέας και τρομακτικής δύναμης της φύσης, αλλά εξετάζω περισσότερο τα λογικά και επιστημολογικά προβλήματα που θέτει η πυρηνική φυσική. Ίσως, είναι καλό σε μια τέτοια στιγμή να θυμηθούμε τι συνέβη παλαιότερα σε μια παρόμοια κατάσταση, ιδίως επειδή τα γεγονότα αυτά δεν στερούνται μιας συγκεκριμένης δραματικής αίσθησης.

Το δεύτερο σημείο που θέλω να αναφέρω είναι, ότι όταν λέω, ότι οι φυσικοί είχαν αποδεχτεί τις έννοιες και τον τρόπο σκέψης που αναπτύξαμε τότε, δεν είμαι αρκετά σωστός. Υπάρχουν ορισμένες, πολύ αξιόλογες εξαιρέσεις, ιδίως μεταξύ των ίδιων των σκαπανέων που συνέβαλαν τα μέγιστα στην οικοδόμηση της κβαντικής θεωρίας. Ο ίδιος ο Planck, ανήκε στους σκεπτικιστές μέχρι τον θάνατό του. Ο Einstein, ο De Broglie και ο Schrödinger τόνιζαν αδιάκοπα τα μη ικανοποιητικά χαρακτηριστικά της κβαντομηχανικής και ζητούσαν την επιστροφή στις έννοιες της κλασικής, νευτώνειας φυσικής, ενώ πρότειναν τρόπους με τους οποίους αυτό θα μπορούσε να γίνει χωρίς να έρχονται σε αντίθεση με τα πειραματικά δεδομένα. Τέτοιες βαρυσήμαντες απόψεις δεν μπορούν να αγνοηθούν. Ο Niels Bohr έκανε μεγάλο κόπο για να αντικρούσει τις αντιρρήσεις. Κι εγώ, επίσης, τις έχω μελετήσει και πιστεύω ότι μπορώ να συμβάλω κάπως στην αποσαφήνιση αυτής της θέσης. Το θέμα αφορά τα όρια μεταξύ φυσικής και φιλοσοφίας, και έτσι η διάλεξή μου για τη φυσική θα έχει και ιστορικό και φιλοσοφικό χαρακτήρα, για τον οποίο πρέπει να ζητήσω την επιείκειά σας.

Πρώτα απ’ όλα, θα εξηγήσω πώς προέκυψε η κβαντομηχανική και η στατιστική της ερμηνεία. Στις αρχές της δεκαετίας του ’20, κάθε φυσικός, νομίζω, ήταν πεπεισμένος ότι η κβαντική υπόθεση του Planck ήταν σωστή. Σύμφωνα με αυτή τη θεωρία η ενέργεια εμφανίζεται σε πεπερασμένα κβάντα μεγέθους hν σε ταλαντωτικές διαδικασίες που έχουν μια συγκεκριμένη συχνότητα ν (π.χ. στα κύματα φωτός). Αμέτρητα πειράματα μπορούσαν να εξηγηθούν με αυτόν τον τρόπο και έδιναν πάντα την ίδια τιμή της σταθεράς του Planck h. Και πάλι, ο ισχυρισμός του Einstein ότι τα κβάντα του φωτός έχουν ορμή hν/c (όπου c είναι η ταχύτητα του φωτός) υποστηρίχθηκε καλά από το πείραμα (π.χ. μέσω του φαινομένου Compton). Αυτό συνεπαγόταν την αναβίωση της σωµατιδιακής θεωρίας του φωτός για ένα ορισµένο σύνολο φαινοµένων. Η κυματική θεωρία εξακολουθούσε να ισχύει για άλλες διεργασίες. Οι φυσικοί εξοικειώθηκαν με αυτόν τον δυισμό και έμαθαν πώς να τον αντιμετωπίζουν σε κάποιο βαθμό.

Το 1913 ο Niels Bohr είχε λύσει τον γρίφο των φασματικών γραμμών μέσω της κβαντικής θεωρίας και είχε έτσι εξηγήσει σε γενικές γραμμές την εκπληκτική σταθερότητα των ατόμων, τη δομή των ηλεκτρονικών τους κελυφών και το Περιοδικό Σύστημα των στοιχείων. Για ό,τι επρόκειτο να ακολουθήσει αργότερα, η σημαντικότερη παραδοχή της διδασκαλίας του ήταν η εξής: ένα ατομικό σύστημα δεν μπορεί να υπάρχει σε όλες τις μηχανικά δυνατές καταστάσεις, σχηματίζοντας ένα συνεχές, αλλά σε μια σειρά από διακριτές «στάσιμες» καταστάσεις. Κατά τη μετάβαση από τη μία στην άλλη, η διαφορά ενέργειας Ε_m – E_n εκπέμπεται ή απορροφάται ως κβάντο φωτός hν_mn (ανάλογα με το αν η Ε_m είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από την E_n). Πρόκειται για την ερμηνεία, με βάση την ενέργεια, του θεμελιώδους νόμου της φασματοσκοπίας που ανακαλύφθηκε μερικά χρόνια πριν από τον W. Ritz. Η κατάσταση μπορεί να γίνει αντιληπτή με μια ματιά γράφοντας τα ενεργειακά επίπεδα των στάσιμων καταστάσεων δύο φορές, οριζόντια και κάθετα. Αυτό παράγει μια τετραγωνική διάταξη

στην οποία οι θέσεις στη διαγώνιο αντιστοιχούν σε καταστάσεις και οι μη διαγώνιες θέσεις αντιστοιχούν σε μεταβάσεις.

Ήταν απολύτως σαφές στον Bohr ότι ο νόμος που διατυπώθηκε με αυτόν τον τρόπο έρχεται σε σύγκρουση με τη μηχανική, και ότι επομένως η χρήση της έννοιας της ενέργειας σε αυτόν είναι προβληματική. Βασίζει αυτή την τολμηρή συγχώνευση παλαιού και νέου στην αρχή της αντιστοιχίας. Αυτή συνίσταται στην προφανή απαίτηση ότι η συνήθης κλασική μηχανική πρέπει να ισχύει με υψηλό βαθμό προσέγγισης στην οριακή περίπτωση, όπου οι αριθμοί των στάσιμων καταστάσεων, οι λεγόμενοι κβαντικοί αριθμοί, είναι πολύ μεγάλοι (δηλαδή, πολύ δεξιά και προς το κάτω μέρος στην παραπάνω διάταξη) και η ενέργεια μεταβάλλεται σχετικά λίγο από την μια θέση στην άλλη, στην ουσία πρακτικά συνεχώς.

Η θεωρητική φυσική βασίστηκε σε αυτή την αντίληψη για τα επόμενα δέκα χρόνια. Το πρόβλημα ήταν το εξής: μια αρμονική ταλάντωση δεν έχει μόνο συχνότητα, αλλά και ένταση. Για κάθε μετάβαση στη διάταξη πρέπει να υπάρχει μια αντίστοιχη ένταση. Το ερώτημα είναι, πώς μπορεί να βρεθεί αυτή μέσα από τη λογική της αρχής της αντιστοιχίας; Αυτό σήμαινε να μαντέψουμε το άγνωστο από τις διαθέσιμες πληροφορίες για μια γνωστή οριακή περίπτωση. Σημαντική επιτυχία σημειώθηκε από τον ίδιο τον Bohr, από τους Kramers, Sommerfeld, Epstein και πολλούς άλλους. Αλλά το αποφασιστικό βήμα έγινε και πάλι από τον Einstein, ο οποίος, με μια νέα εξαγωγή του τύπου ακτινοβολίας του Planck, κατέστησε ξεκάθαρα σαφές ότι η κλασική έννοια της έντασης της ακτινοβολίας πρέπει να αντικατασταθεί από τη στατιστική έννοια της πιθανότητας μετάβασης. Σε κάθε θέση στον παραπάνω πίνακα αντιστοιχεί (μαζί με τη συχνότητα ν_mn = (Ε_m – E_n) / h) μια συγκεκριμένη πιθανότητα για τη μετάβαση που συνδυάζεται με εκπομπή ή απορρόφηση.

Στο Γκέτινγκεν συμμετείχαμε επίσης στις προσπάθειες να εξαγάγουμε την άγνωστη μηχανική του ατόμου από τα πειραματικά αποτελέσματα. Η λογική δυσκολία γινόταν όλο και πιο έντονη. Οι έρευνες σχετικά με τη σκέδαση και τη διασπορά του φωτός έδειξαν ότι η αντίληψη του Einstein για την πιθανότητα μετάβασης ως μέτρο της ισχύος μιας ταλάντωσης δεν ανταποκρινόταν στην περίπτωση, και η ιδέα ενός πλάτους ταλάντωσης που συνδέεται με κάθε μετάβαση ήταν απαραίτητη. Στο πλαίσιο αυτό πρέπει να αναφερθούν οι εργασίες των Ladenburg¹, Kramers², Heisenberg³, Jordan και εμού⁴. Η τέχνη του να μαντεύει κανείς σωστούς τύπους, οι οποίοι αποκλίνουν από τους κλασικούς, αλλά τους περιέχουν ως οριακή περίπτωση σύμφωνα με την αρχή της αντιστοιχίας, έφτασε σε υψηλό βαθμό τελειότητας. Μια εργασία μου, η οποία εισήγαγε, για πρώτη φορά νομίζω, την έκφραση κβαντομηχανική στον τίτλο της, περιέχει έναν αρκετά περίπλοκο τύπο (που ισχύει ακόμη και σήμερα) για την αμοιβαία διαταραχή των ατομικών συστημάτων.

Ο Heisenberg, ο οποίος εκείνη την εποχή ήταν βοηθός μου, έδωσε ένα ξαφνικό τέλος σε αυτή την περίοδο⁵. Έκοψε τον γόρδιο δεσμό μέσω μιας φιλοσοφικής αρχής και αντικατέστησε την εικασία με έναν μαθηματικό κανόνα. Η αρχή ορίζει ότι έννοιες και αναπαραστάσεις που δεν αντιστοιχούν σε φυσικά παρατηρήσιμα γεγονότα δεν πρέπει να χρησιμοποιούνται στη θεωρητική περιγραφή. Ο Einstein χρησιμοποίησε την ίδια αρχή όταν, συγκροτώντας τη θεωρία της σχετικότητας, εξάλειψε τις έννοιες της απόλυτης ταχύτητας ενός σώματος και του απόλυτου συγχρονισμού δύο γεγονότων σε διαφορετικούς τόπους. Ο Heisenberg απέρριψε την εικόνα των τροχιών των ηλεκτρονίων με καθορισμένες ακτίνες και περιόδους περιστροφής, επειδή τα μεγέθη αυτά δεν είναι παρατηρήσιμα, και επέμεινε ότι η θεωρία πρέπει να οικοδομηθεί μέσω των τετραγωνικών πινάκων που αναφέρθηκαν παραπάνω. Αντί να περιγράφεται η κίνηση δίνοντας μια συντεταγμένη ως συνάρτηση του χρόνου, x(t), θα έπρεπε να προσδιορίζεται ένας πίνακας από πλάτη μετάβασης x_mn. Για μένα το αποφασιστικό μέρος του έργου του είναι η απαίτηση να προσδιοριστεί ένας κανόνας με τον οποίο από έναν δεδομένο

(ή, γενικότερα, ο κανόνας πολλαπλασιασμού για τέτοιους πίνακες).

Με παρατήρηση γνωστών παραδειγμάτων που λύθηκαν με εικασίες βρήκε αυτόν τον κανόνα και τον εφάρμοσε με επιτυχία σε απλά παραδείγματα, όπως ο αρμονικός και ο μη αρμονικός ταλαντωτής.

Αυτά συνέβησαν το καλοκαίρι του 1925. Ο Heisenberg, που υπέφερε από αλλεργική ρινίτιδα, πήρε άδεια για θεραπεία δίπλα στη θάλασσα και μου έδωσε την εργασία του για δημοσίευση αν θεωρούσα πως μπορούσα να κάνω κάτι σχετικά με αυτό.

Η σημασία της ιδέας ήταν αμέσως ξεκάθαρη για μένα και έστειλα το χειρόγραφο στο επιστημονικό περιοδικό Zeitschrift für Physik. Δεν μπορούσα να βγάλω από το μυαλό μου τον κανόνα πολλαπλασιασμού του Heisenberg, και μετά από μια εβδομάδα εντατικής σκέψης και δοκιμών θυμήθηκα ξαφνικά μια αλγεβρική θεωρία που είχα μάθει από τον καθηγητή μου, τον καθηγητή Rosanes, στο Μπρεσλάου (Σ.τ.Μ. Σημερινό Βρότσλαβ στην Πολωνία). Τέτοιοι τετραγωνικοί πίνακες είναι γνωστοί στους μαθηματικούς και, σε συνδυασμό με έναν συγκεκριμένο κανόνα πολλαπλασιασμού, ονομάζονται μήτρες. Εφάρμοσα αυτόν τον κανόνα στην κβαντική συνθήκη του Heisenberg και διαπίστωσα ότι αυτή συμφωνούσε στους διαγώνιους όρους. Ήταν εύκολο να μαντέψω ποιες πρέπει να είναι οι υπόλοιπες ποσότητες, δηλαδή μηδέν – και αμέσως βρέθηκε μπροστά μου ο ιδιότυπος τύπος:

   

Αυτό σήμαινε ότι οι συντεταγμένες q και οι ορμές p δεν μπορούν να αναπαρασταθούν με αριθμητικές τιμές αλλά με σύμβολα, το γινόμενο των οποίων εξαρτάται από τη σειρά του πολλαπλασιασμού – τα οποία ονομάζονται «μη μετατιθέμενα».

Ήμουν τόσο ενθουσιασμένος από αυτό το αποτέλεσμα, όσο θα ήταν ένας ναυτικός που, μετά από ένα μακρύ ταξίδι, βλέπει από μακριά την πολυπόθητη στεριά, και ένιωσα λύπη που ο Heisenberg δεν ήταν εκεί. Ήμουν πεπεισμένος από την αρχή ότι είχαμε βρεθεί στο σωστό δρόμο. Ακόμα κι έτσι, ένα μεγάλο μέρος ήταν μόνο εικασίες, ιδίως η απαλοιφή των μη διαγώνιων στοιχείων στην προαναφερθείσα έκφραση. Σαν βοήθεια σε αυτό το πρόβλημα ζήτησα και τη συνεργασία του μαθητή μου Pascual Jordan, και σε λίγες ημέρες καταφέραμε να αποδείξουμε ότι είχα μαντέψει σωστά. Η κοινή εργασία του Jordan και εμού⁶ περιέχει τις σημαντικότερες αρχές της κβαντομηχανικής, συμπεριλαμβανομένης της επέκτασής της στην ηλεκτροδυναμική. Ακολούθησε μια ταραχώδης περίοδος συνεργασίας μεταξύ των τριών μας, η οποία περιπλέχθηκε λόγω απουσίας του Heisenberg. Υπήρξε μια ζωηρή ανταλλαγή επιστολών- η συμβολή μου σε αυτές, δυστυχώς, χάθηκε μέσα στις πολιτικές αναταραχές. Το αποτέλεσμα ήταν ένα άρθρο τριών συγγραφέων⁷, το οποίο έφερε την επίσημη πλευρά της έρευνας σε οριστικό συμπέρασμα . Πριν από την εμφάνιση αυτού του άρθρου, ήρθε η πρώτη δραματική έκπληξη: Η εργασία του Paul Dirac για το ίδιο θέμα⁸. Η έμπνευση που του παρείχε μια διάλεξη του Heisenberg στο Κέιμπριτζ, τον είχε οδηγήσει σε παρόμοια αποτελέσματα με αυτά που είχαμε λάβει εμείς στο Γκέτινγκεν, με τη διαφορά ότι δεν κατέφυγε στη γνωστή θεωρία των πινάκων των μαθηματικών, αλλά ανακάλυψε μόνος του το εργαλείο και επεξεργάστηκε τη θεωρία τέτοιων μη μετατιθέμενων συμβόλων.

Η πρώτη μη τετριμμένη και φυσικά σημαντική εφαρμογή της κβαντομηχανικής έγινε λίγο αργότερα από τον W. Pauli⁹ ο οποίος υπολόγισε τις στάσιμες τιμές της ενέργειας του ατόμου του υδρογόνου με τη μέθοδο των πινάκων και βρήκε πλήρη συμφωνία με τους τύπους του Bohr. Από αυτή τη στιγμή και μετά δεν μπορούσε πλέον να υπάρχει καμία αμφιβολία για την ορθότητα της θεωρίας.

Ωστόσο, δεν ήταν καθόλου σαφές τι πραγματικά σήμαινε αυτός ο φορμαλισμός. Τα μαθηματικά, όπως συμβαίνει συχνά, ήταν πιο έξυπνα από τη διάνοια που τα ερμηνεύει. Ενώ ακόμα συζητούσαμε αυτό το σημείο, ήρθε η δεύτερη δραματική έκπληξη, η εμφάνιση των περίφημων εργασιών του Schrödinger¹⁰. Ο ίδιος υιοθέτησε μια εντελώς διαφορετική γραμμή σκέψης που είχε προέλθει από τον Louis de Broglie¹¹.

Λίγα χρόνια νωρίτερα, ο τελευταίος είχε προβεί στον τολμηρό ισχυρισμό, υποστηριζόμενος από λαμπρές θεωρητικές εκτιμήσεις, ότι o δυισμός κύματος-σωματιδίου, γνωστός στους φυσικούς στην περίπτωση του φωτός, πρέπει να ισχύει και για τα ηλεκτρόνια. Σε κάθε ηλεκτρόνιο που κινείται χωρίς την επίδραση κάποιας δύναμης, αντιστοιχεί ένα επίπεδο κύμα με ορισμένο μήκος κύματος, το οποίο καθορίζεται από τη σταθερά του Planck και τη μάζα. Αυτή η συναρπαστική διατριβή του De Broglie ήταν γνωστή σε εμάς στο Γκέτινγκεν. Μια μέρα του 1925 έλαβα μια επιστολή από τον C. J. Davisson που έδινε κάποια περίεργα αποτελέσματα σχετικά με την ανάκλαση των ηλεκτρονίων από μεταλλικές επιφάνειες. Εγώ και ο συνάδελφός μου στην πειραματική πλευρά, ο James Franck, υποψιαστήκαμε αμέσως ότι αυτές οι καμπύλες του Davisson ήταν φάσματα κρυσταλλικού πλέγματος των κυμάτων ηλεκτρονίων του De Broglie, και βάλαμε έναν από τους μαθητές μας, τον Elsasser¹², να ερευνήσει το θέμα. Τα αποτελέσματά του παρείχαν την πρώτη προκαταρκτική επιβεβαίωση της ιδέας του De Broglie, και αυτό αποδείχθηκε αργότερα ανεξάρτητα από τους Davisson και Germer¹³ και τον G. P. Thomson¹⁴, με συστηματικά πειράματα.

Ωστόσο, αυτή η γνωριμία με τον τρόπο σκέψης του De Broglie δεν μας οδήγησε σε μια προσπάθεια εφαρμογής του στην ηλεκτρονική δομή των ατόμων. Αυτό αφέθηκε στον Schrödinger¹⁵. Αυτός επέκτεινε την κυματική εξίσωση του De Broglie, η οποία αναφερόταν σε κίνηση χωρίς την επίδραση κάποιας δύναμης, στην περίπτωση όπου λαμβάνεται υπόψη η επίδραση της δύναμης, και έδωσε μια ακριβή διατύπωση των συμπληρωματικών συνθηκών, που είχε ήδη προτείνει ο De Broglie, στις οποίες πρέπει να υπόκειται η κυματοσυνάρτηση ψ, δηλαδή να είναι μονοσήμαντη και πεπερασμένη στο χώρο και στο χρόνο. Με αυτόν τον τρόπο πέτυχε να εξάγει τις στάσιμες καταστάσεις του ατόμου του υδρογόνου με τη μορφή αυτών των μονοχρωματικών λύσεων της κυματικής εξίσωσης που δεν εκτείνονται στο άπειρο.

Για μια σύντομη περίοδο στις αρχές του 1926, φάνηκε ότι υπήρχαν, ξαφνικά, δύο αυτοτελή, αλλά εντελώς διαφορετικά συστήματα εξήγησης: η μηχανική των μητρών και η κυματομηχανική. Αλλά ο ίδιος ο Schrödinger σύντομα απέδειξε την πλήρη ισοδυναμία τους.

Η κυματομηχανική απολάμβανε πολύ μεγαλύτερη δημοτικότητα από την εκδοχή της κβαντομηχανικής του Γκέτινγκεν ή του Κέιμπριτζ. Βασίζεται σε μια κυματοσυνάρτηση ψ, η οποία στην περίπτωση ενός τουλάχιστον σωματιδίου μπορεί να απεικονιστεί στο χώρο, και χρησιμοποιεί τις μαθηματικές μεθόδους των μερικών διαφορικών εξισώσεων που χρησιμοποιούνται σήμερα από τους φυσικούς. Ο Schrödinger πίστευε ότι η κυματική του θεωρία επέτρεπε την επιστροφή στην ντετερμινιστική κλασική φυσική. Πρότεινε (και τόνισε πρόσφατα την πρότασή του εκ νέου), να απαλλαγούμε εντελώς από την αναπαράσταση των σωματιδίων, και αντί να μιλάμε για τα ηλεκτρόνια ως σωματίδια, να τα θεωρούμε ως μια συνεχή κατανομή πυκνότητας |ψ|² (ή ηλεκτρικής πυκνότητας e|ψ|²).

Σε εμάς στο Γκέτινγκεν αυτή η ερμηνεία φαινόταν απαράδεκτη μπροστά στα καλώς τεκμηριωμένα πειραματικά γεγονότα. Εκείνη την εποχή ήταν ήδη δυνατό να μετράμε τα σωματίδια μέσω σπινθήρων ή με έναν μετρητή Geiger και να φωτογραφίζουμε τις τροχιές τους με τη βοήθεια ενός θαλάμου νεφών Wilson.

Μου φάνηκε ότι δεν ήταν δυνατόν να επιτευχθεί μια σαφής ερμηνεία της συνάρτησης ψ, λαμβάνοντας υπόψη τα δέσμια ηλεκτρόνια. Ως εκ τούτου, ήδη από τα τέλη του 1925, είχα κάνει μια προσπάθεια να επεκτείνω τη μέθοδο των πινάκων, η οποία προφανώς κάλυπτε μόνο τις ταλαντωτικές διεργασίες, κατά τρόπο ώστε να μπορεί να εφαρμοστεί και στις μη περιοδικές διεργασίες. Εκείνη την εποχή ήμουν φιλοξενούμενος του Τεχνολογικού Ινστιτούτου της Μασαχουσέτης στις ΗΠΑ όπου βρήκα στο πρόσωπο του Norbert Wiener έναν εξαιρετικό συνεργάτη. Στην κοινή µας εργασία¹⁶ αντικαταστήσαµε τον πίνακα µε τη γενική έννοια του τελεστή, και έτσι καταστήσαµε δυνατή την περιγραφή μη περιοδικών διεργασιών. Παρ’ όλα αυτά μας ξέφυγε η σωστή προσέγγιση. Αυτό αφέθηκε στον Schrödinger, και εγώ ακολούθησα αμέσως τη μέθοδό του, καθώς έδινε την υπόσχεση ότι θα οδηγούσε σε μια ερμηνεία της συνάρτησης ψ. Και πάλι μια ιδέα του Einstein μου έδωσε το προβάδισμα. Είχε προσπαθήσει να κάνει κατανοητό τον δυισμό των σωματιδίων φωτονίων και των κυμάτων ερμηνεύοντας το τετράγωνο των πλατών των οπτικών κυμάτων ως πυκνότητα πιθανότητας για την εμφάνιση φωτονίων. Αυτή η ιδέα θα μπορούσε αμέσως να μεταφερθεί στη συνάρτηση ψ : η ποσότητα |ψ|² θα έπρεπε να αντιπροσωπεύει την πυκνότητα πιθανότητας για τα ηλεκτρόνια (ή άλλα σωματίδια). Ήταν εύκολο να υποστηριχθεί αυτό, αλλά πώς θα μπορούσε να αποδειχθεί;

Στο σημείο αυτό εμφανίστηκαν οι διαδικασίες σκέδασης σε άτομα. Ένα πλήθος ηλεκτρονίων προερχόμενο από το άπειρο, που αντιπροσωπεύεται από ένα προσπίπτον κύμα γνωστής έντασης (δηλαδή, |ψ|²), προσκρούει σε ένα εμπόδιο, ας πούμε ένα βαρύ άτομο. Με τον ίδιο τρόπο που ένα κύμα νερού που παράγεται από ένα ατμόπλοιο προκαλεί δευτερογενή κυκλικά κύματα κατά την πρόσκρουση σε ένα βράχο, το προσπίπτον κύμα ηλεκτρονίων μετατρέπεται εν μέρει σε ένα δευτερογενές σφαιρικό κύμα του οποίου το πλάτος ταλάντωσης ψ διαφέρει για διαφορετικές κατευθύνσεις. Το τετράγωνο του πλάτους αυτού του κύματος σε μεγάλη απόσταση από το κέντρο σκέδασης καθορίζει τη σχετική πιθανότητα σκέδασης σε συνάρτηση με την κατεύθυνση. Επιπλέον, αν το ίδιο το άτομο που σκεδάζει είναι ικανό να υπάρχει σε διάφορες στάσιμες καταστάσεις, τότε η κυματική εξίσωση του Schrödinger δίνει αυτόματα την πιθανότητα διέγερσης αυτών των καταστάσεων και το ηλεκτρόνιο σκεδάζεται με απώλεια ενέργειας, δηλαδή ανελαστικά, όπως λέγεται. Με αυτόν τον τρόπο κατέστη δυνατό να αποκτήσουν θεωρητική βάση¹⁷ οι υποθέσεις της θεωρίας του Bohr, οι οποίες είχαν επιβεβαιωθεί πειραματικά από τους Franck και Hertz. Σύντομα ο Wentzel¹⁸ κατάφερε να εξαγάγει στηριζόμενος στη θεωρία μου τον περίφημο τύπο του Rutherford για τη σκέδαση των σωματιδίων- α.

Ωστόσο, μια εργασία του Heisenberg¹⁹, που περιείχε την περίφημη σχέση αβεβαιότητας, συνέβαλε, περισσότερο από τις προαναφερθείσες επιτυχίες, στην ταχεία αποδοχή της στατιστικής ερμηνείας της συνάρτησης ψ. Μέσω αυτής της εργασίας έγινε σαφής ο επαναστατικός χαρακτήρας της νέας αντίληψης. Έδειξε ότι όχι μόνο ο ντετερμινισμός της κλασικής φυσικής πρέπει να εγκαταλειφθεί, αλλά και η αφελής αντίληψη της πραγματικότητας που έβλεπε τα σωματίδια της ατομικής φυσικής σαν να ήταν πολύ μικροί κόκκοι άμμου. Κάθε στιγμή ένας κόκκος άμμου έχει μια συγκεκριμένη θέση και ταχύτητα. Αυτό δεν συμβαίνει με ένα ηλεκτρόνιο. Αν η θέση του προσδιορίζεται με αυξανόμενη ακρίβεια, η δυνατότητα εξακρίβωσης της ταχύτητας μειώνεται και αντίστροφα. Θα επανέλθω σύντομα σε αυτά τα προβλήματα σε γενικότερο πλαίσιο, αλλά θα ήθελα πρώτα να πω λίγα λόγια για τη θεωρία των κρούσεων.

Οι μαθηματικές μέθοδοι προσέγγισης που χρησιμοποίησα ήταν αρκετά ξεπερασμένες και σύντομα βελτιώθηκαν. Από τη βιβλιογραφία, η οποία έχει αυξηθεί σε σημείο που δεν μπορώ να την διαχειριστώ, θα ήθελα να αναφέρω μόνο μερικούς από τους πρώτους συγγραφείς στους οποίους η θεωρία οφείλει μεγάλη πρόοδο: Faxén στη Σουηδία, Holtsmark στη Νορβηγία²⁰, Bethe στη Γερμανία²¹, Mott και Massey στην Αγγλία²².

Σήμερα, η θεωρία των κρούσεων είναι μια ειδική επιστήμη με τα δικά της μεγάλα, ολοκληρωμένα εγχειρίδια, τα οποία είναι εντελώς πάνω από τις δυνάμεις μου. Βέβαια, σε τελευταία ανάλυση, όλοι οι σύγχρονοι κλάδοι της φυσικής, η κβαντική ηλεκτροδυναμική, η θεωρία των μεσονίων, των πυρήνων, των κοσμικών ακτίνων, των στοιχειωδών σωματιδίων και των μετασχηματισμών τους, όλα ανήκουν στο πεδίο εφαρμογής αυτών των ιδεών και δεν θα μπορούσαν να τεθούν όρια σε μια συζήτηση επ’ αυτών.

Θα ήθελα επίσης να αναφέρω ότι το 1926 και το 1927 δοκίμασα έναν άλλο τρόπο υποστήριξης της στατιστικής έννοιας της κβαντομηχανικής, εν μέρει σε συνεργασία με τον Ρώσο φυσικό Fock²³. Στην προαναφερθείσα εργασία τριών συγγραφέων υπάρχει ένα κεφάλαιο που προδικάζει τη συνάρτηση Schrödinger, με τη διαφορά ότι δεν θεωρείται ως συνάρτηση ψ(x) στο χώρο, αλλά ως συνάρτηση ψ_n του διακριτού δείκτη n = 1, 2, . . . που απαριθμεί τις στάσιμες καταστάσεις. Αν το εξεταζόμενο σύστημα υπόκειται σε μια δύναμη η οποία μεταβάλλεται με το χρόνο, η ψ_n γίνεται επίσης χρονικά εξαρτώμενη, και το |ψ_n(t)|² δηλώνει την πιθανότητα για την ύπαρξη της κατάστασης n τη χρονική στιγμή t. Ξεκινώντας από μια αρχική κατανομή όπου υπάρχει μόνο μια κατάσταση, λαμβάνονται οι πιθανότητες μετάβασης και μπορούν να εξεταστούν οι ιδιότητές τους. Αυτό που με ενδιέφερε, ιδιαίτερα τότε, ήταν τι συμβαίνει στην αδιαβατική οριακή περίπτωση, δηλαδή στην πολύ αργά μεταβαλλόμενη δράση. Ήταν δυνατό να δείξω ότι, όπως ήταν αναμενόμενο, η πιθανότητα των μεταβάσεων γίνεται όλο και μικρότερη. Η θεωρία των πιθανοτήτων μετάβασης αναπτύχθηκε ανεξάρτητα από τον Dirac με μεγάλη επιτυχία. Μπορεί να ειπωθεί ότι ολόκληρη η ατομική και πυρηνική φυσική λειτουργεί με αυτό το σύστημα εννοιών, ιδίως με την πολύ κομψή μορφή που τους έδωσε ο Dirac²⁴. Σχεδόν όλα τα πειράματα οδηγούν σε συμπεράσματα για τις σχετικές συχνότητες των γεγονότων, ακόμη και όταν αυτά συμβαίνουν κρυφά με ονόματα όπως ενεργός διατομή ή παρόμοια.

Πώς γίνεται, λοιπόν, μεγάλοι επιστήμονες όπως ο Einstein, ο Schrödinger και ο De Broglie να είναι δυσαρεστημένοι με την κατάσταση; Φυσικά, όλες αυτές οι αντιρρήσεις διατυπώνονται όχι κατά της ορθότητας των τύπων, αλλά κατά της ερμηνείας τους. Δύο στενά συνδεδεμένες απόψεις πρέπει να διακριθούν: το ζήτημα του ντετερμινισμού και το ζήτημα της πραγματικότητας.

Η νευτώνεια μηχανική είναι ντετερμινιστική με την ακόλουθη έννοια:

Εάν η αρχική κατάσταση (θέσεις και ταχύτητες όλων των σωματιδίων) ενός συστήματος είναι δεδομένη με ακρίβεια, τότε η κατάσταση σε οποιαδήποτε άλλη χρονική στιγμή (νωρίτερα ή αργότερα) μπορεί να υπολογιστεί από τους νόμους της μηχανικής. Όλοι οι άλλοι κλάδοι της κλασικής φυσικής έχουν δημιουργηθεί σύμφωνα με αυτό το μοντέλο. O μηχανιστικός ντετερμινισμός έγινε σταδιακά ένα είδος άρθρου της πίστης: ο κόσμος ως μια μηχανή, ως ένα αυτόματο. Απ’ όσο μπορώ να δω, αυτή η ιδέα δεν έχει προδρόμους στην αρχαία και μεσαιωνική φιλοσοφία. Η ιδέα είναι προϊόν της τεράστιας επιτυχίας της νευτώνειας μηχανικής, ιδίως στην αστρονομία. Τον 19ο αιώνα έγινε βασική φιλοσοφική αρχή για το σύνολο των θετικών επιστημών. Αναρωτήθηκα αν αυτό ήταν πραγματικά δικαιολογημένο. Μπορούν πράγματι να γίνουν απόλυτες προβλέψεις για πάντα με βάση τις κλασικές εξισώσεις κίνησης; Γίνεται εύκολα αντιληπτό, με απλά παραδείγματα, ότι αυτό ισχύει μόνο όταν δεχτούμε τη δυνατότητα της απόλυτα ακριβούς μέτρησης (της θέσης, της ταχύτητας ή άλλων μεγεθών). Ας θεωρήσουμε ένα σωματίδιο που κινείται χωρίς τριβές σε μια ευθεία γραμμή μεταξύ δύο ακραίων σημείων (τοίχων), στα οποία υφίσταται απολύτως ελαστική κρούση. Το σωματίδιο κινείται με σταθερή ταχύτητα ίση με την αρχική του ταχύτητα v₀ προς τα πίσω και προς τα εμπρός, και μπορεί να καθοριστεί ακριβώς πού θα βρίσκεται σε δεδομένη χρονική στιγμή, υπό την προϋπόθεση ότι η v₀ είναι επακριβώς γνωστή. Αν όμως επιτραπεί μια μικρή απροσδιοριστία Δv₀, τότε η απροσδιοριστία στην πρόβλεψη tΔv₀ της θέσης τη χρονική στιγμή t, αυξάνεται με το t. Αν κάποιος περιμένει αρκετά μέχρι τον χρόνο t_c=l/Δv₀, όπου l είναι η απόσταση μεταξύ των ελαστικών τοιχωμάτων, η απροσδιοριστία θα έχει γίνει ίση με ολόκληρο το διάστημα l. Έτσι, είναι αδύνατο να προβλέψει κανείς οτιδήποτε για τη θέση σε χρόνο που είναι μεταγενέστερος από τον t_c. Οπότε, ο ντετερμινισμός μετατρέπεται πλήρως σε απροσδιοριστία μόλις επιτραπεί η παραμικρή ανακρίβεια στα δεδομένα για την ταχύτητα. Υπάρχει κάποια έννοια – και εννοώ οποιαδήποτε φυσική έννοια, όχι μεταφυσική – υπό την οποία μπορεί κανείς να μιλήσει για απόλυτα δεδομένα; Δικαιολογείται κανείς να πει ότι η συντεταγμένη x = π cm όπου π = 3.1415. . είναι ο γνωστός υπερβατικός αριθμός που καθορίζει τον λόγο της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του; Ως μαθηματικό εργαλείο η έννοια του πραγματικού αριθμού που αντιπροσωπεύεται από ένα μη τερματικό δεκαδικό κλάσμα είναι εξαιρετικά σημαντικό και γόνιμο. Ως μέτρο μιας φυσικής ποσότητας είναι ανοησία. Εάν το π ληφθεί στην 20η ή 25η θέση των δεκαδικών ψηφίων, προκύπτουν δύο αριθμοί που δεν διακρίνονται μεταξύ τους, καθώς και η πραγματική τιμή του π με οποιαδήποτε μέτρηση. Σύµφωνα µε την ευρετική αρχή που χρησιµοποιήθηκε από τον Einstein στη θεωρία της σχετικότητας και από τον Heisenberg στην κβαντική θεωρία, οι έννοιες που δεν αντιστοιχούν σε κάποια πιθανή παρατήρηση πρέπει να εξαλειφθούν από τη φυσική. Αυτό είναι δυνατό χωρίς δυσκολία και στην παρούσα περίπτωση. Αρκεί να αντικαταστήσουμε δηλώσεις όπως x = π cm με: η πιθανότητα κατανομής των τιμών του x έχει ένα απότομο μέγιστο στο x = π cm – και (αν θέλουμε να είμαστε πιο ακριβείς) να προσθέσουμε: τέτοιου και τόσου πλάτους. Εν ολίγοις, η συνήθης μηχανική πρέπει επίσης να διατυπώνεται στατιστικά. Ασχολήθηκα λίγο πρόσφατα με το πρόβλημα αυτό και διαπίστωσα ότι είναι εφικτό χωρίς δυσκολία. Εδώ δεν είναι ο κατάλληλος χώρος για να εμβαθύνω περισσότερο στο θέμα. Θα ήθελα μόνο να πω το εξής: ο ντετερμινισμός της κλασικής φυσικής αποδεικνύεται ότι είναι μια ψευδαίσθηση, που δημιουργήθηκε από την υπερεκτίμηση των μαθηματικών-λογικών εννοιών. Είναι ένα είδωλο, όχι ένα ιδανικό στην επιστημονική έρευνα και δεν μπορεί, ως εκ τούτου, να χρησιμοποιηθεί ως αντίρρηση στην ουσιαστικά μη νομοτελειακή στατιστική ερμηνεία της κβαντομηχανικής.

Πολύ δυσκολότερη είναι η ένσταση που βασίζεται στην πραγματικότητα. Η έννοια ενός σωματιδίου, π.χ. ενός κόκκου άμμου, εμπεριέχει ανεπιφύλακτα την ιδέα ότι βρίσκεται σε μια καθορισμένη θέση και έχει μια καθορισμένη κίνηση. Αλλά σύμφωνα με την κβαντομηχανική είναι αδύνατο να προσδιοριστούν ταυτόχρονα με οποιαδήποτε επιθυμητή ακρίβεια τόσο η θέση όσο και η ταχύτητα (ακριβέστερα : η ορμή, δηλαδή η μάζα επί την ταχύτητα). Προκύπτουν λοιπόν δύο ερωτήματα: τι μας εμποδίζει, παρά τον θεωρητικό ισχυρισμό, να μετρήσουμε και τα δύο μεγέθη με οποιαδήποτε επιθυμητή ακρίβεια μέσω βελτιωμένων πειραμάτων; Δεύτερον, αν όντως αποδειχθεί ότι αυτό δεν είναι εφικτό, δικαιολογούμαστε ακόμα να εφαρμόζουμε στο ηλεκτρόνιο την έννοια του σωματιδίου και επομένως τις ιδέες που συνδέονται με αυτό;

Αναφερόμενοι στο πρώτο ερώτημα, είναι σαφές ότι αν η θεωρία είναι σωστή – και έχουμε αρκετούς λόγους να το πιστεύουμε αυτό – το εμπόδιο στην ταυτόχρονη μέτρηση της θέσης και της κίνησης (και άλλων τέτοιων ζευγών των λεγόμενων συζυγών μεγεθών) πρέπει να βρίσκεται στους ίδιους τους νόμους της κβαντομηχανικής. Πράγματι, έτσι είναι. Αλλά δεν είναι απλό θέμα να αποσαφηνιστεί η κατάσταση. Ο ίδιος ο Niels Bohr έχει καταβάλλει μεγάλο κόπο και εφευρετικότητα²⁵ για να αναπτύξει μια θεωρία μετρήσεων που να ξεκαθαρίζει το θέμα και να ανταποκρίνεται στις πιο βελτιωμένες και ευφυείς επιθέσεις του Einstein, ο οποίος προσπάθησε επανειλημμένα να σκεφτεί μεθόδους μέτρησης με τις οποίες θα μπορούσαν να μετρηθούν η θέση και η κίνηση ταυτόχρονα και με ακρίβεια. Από αυτές τις προσπάθειες προκύπτει το εξής: για τη μέτρηση των χωρικών συντεταγμένων και των χρονικών στιγμών απαιτούνται άκαμπτες μετρητικές ράβδοι και ρολόγια. Από την άλλη πλευρά, για τη μέτρηση των ορμών και των ενεργειών, απαιτούνται συσκευές με κινητά μέρη που απορροφούν την κρούση του δοκιμαστικού αντικειμένου και δείχνουν το μέγεθος της ορμής του. Λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι η κβαντομηχανική είναι αρμόδια για την αντιμετώπιση της αλληλεπίδρασης αντικειμένου και συσκευής, γίνεται αντιληπτό ότι δεν είναι δυνατή καμία διάταξη που να ικανοποιεί ταυτόχρονα και τις δύο απαιτήσεις. Υπάρχουν, επομένως, αμοιβαία αποκλειόμενα αν και συμπληρωματικά πειράματα, που μόνο ως σύνολο εμπερικλείουν όλα όσα συμβαίνουν σε σχέση με ένα αντικείμενο.

Αυτή η ιδέα της συμπληρωματικότητας θεωρείται σήμερα από τους περισσότερους φυσικούς ως το κλειδί για την καθαρή κατανόηση των κβαντικών διαδικασιών. Ο Bohr γενίκευσε την ιδέα αυτή σε αρκετά διαφορετικά πεδία γνώσης, π.χ. στη σχέση μεταξύ συνείδησης και εγκεφάλου, στο πρόβλημα της ελεύθερης βούλησης και σε άλλα βασικά προβλήματα της φιλοσοφίας. Για να έρθουμε τώρα στο τελευταίο σημείο: μπορούμε να ονομάσουμε κάτι με το οποίο οι έννοιες της θέσης και της κίνησης δεν μπορούν να συσχετιστούν με τον συνήθη τρόπο, πράγμα ή σωματίδιο; Και αν όχι, ποια είναι η πραγματικότητα, που η θεωρία μας επινοήθηκε για να περιγράψει;

Η απάντηση σε αυτό δεν είναι πλέον η φυσική, αλλά η φιλοσοφία, και η διεξοδική αντιμετώπισή της θα σήμαινε ότι θα ξεπερνούσε κατά πολύ τα όρια αυτής της διάλεξης. Έχω εκθέσει τις απόψεις μου επ’ αυτού αλλού²⁶. Εδώ θα πω μόνο ότι είμαι κατηγορηματικά υπέρ της διατήρησης της ιδέας των σωματιδίων. Φυσικά, είναι απαραίτητο να επαναπροσδιορίσουμε τι εννοείται. Για το σκοπό αυτό, υπάρχουν διαθέσιμες, καλά αναπτυγμένες έννοιες που εμφανίζονται στα μαθηματικά με το όνομα, αναλλοίωτες σε μετασχηματισμούς. Κάθε αντικείμενο που αντιλαμβανόμαστε εμφανίζεται σε αναρίθμητες όψεις. Η έννοια του αντικειμένου είναι η αναλλοίωτη όλων αυτών των όψεων. Από αυτή την άποψη, το σημερινό παγκοσμίως χρησιμοποιούμενο σύστημα εννοιών στο οποίο τα σωματίδια και τα κύματα εμφανίζονται ταυτόχρονα, μπορεί να δικαιολογηθεί πλήρως.

Οι τελευταίες έρευνες σχετικά με τους πυρήνες και τα στοιχειώδη σωμάτια μας οδήγησαν, ωστόσο, σε όρια πέρα από τα οποία αυτό το ίδιο το σύστημα εννοιών δεν φαίνεται να επαρκεί. Το μάθημα που πρέπει να πάρουμε από όσα διηγήθηκα για την προέλευση της κβαντομηχανικής είναι ότι οι πιθανές βελτιώσεις των μαθηματικών μεθόδων δεν αρκούν για να παραγάγουμε μια ικανοποιητική θεωρία, αλλά ότι κάπου στο δόγμα μας κρύβεται μια αντίληψη, αδικαιολόγητη από την εμπειρία, την οποία πρέπει να εξαλείψουμε για να ανοίξει ο δρόμος.

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ

Ευχαριστούμε τον καθηγητή του ΕΚΠΑ Θόδωρο Αραμπατζή για τη βοήθειά του στην ακριβή απόδοση όρων του κειμένου.

Το πορτραίτο του Born φιλοτέχνησε ο εικαστικός Χρήστος Αλαβέρας από τη Θεσσαλονίκη.

ΠΑΡΑΠΟΜΠΕΣ

[1] Ladenburg, R., 1921. Die quantentheoretische Deutung der Zahl der Dispersionselektronen. Z. Physik, 4, 451, http://dx.doi.org/10.1007/BF01331244; Ladenburg, R., and Reiche, F., 1923. Absorption, Zerstreuung und Dispersion in der Bohrschen Atomtheorie. Naturwiss., 11584, https://link.springer.com/article/10.1007/BF01554355.

[2] Kramers, H., A., 1924. The Law of Dispersion and Bohr’s Theory of Spectra. Nature, 113, 673, https://www.nature.com/articles/113673a0.

[3] Kramers, H., A., and Heisenberg, W., 1925. Über die Streuung von Strahlung durch Atome. Z. Physik, 31, 681, https://link.springer.com/article/10.1007/BF02980624.

[4]; Born, M., 1924. Über Quantenmechanik. Z. Physik, 26, 379, https://link.springer.com/article/10.1007/BF01327341; Born, M., and Jordan, P., 1925. Absorption, Zerstreuung und Dispersion in der Bohrschen Atomtheorie. Naturwiss., 11584,
https://doi.org/10.1007/BF01554355.

[5] Heisenberg, W., 1925. Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen. Z. Physik, 33, 879, https://doi.org/10.1007/BF01328377.

[6] Born, M., and Jordan, P., 1925. Zur Quantenmechanik. Z. Physik, 34, 858, https://link.springer.com/article/10.1007/BF01328531.

[7] Born, M., Heisenberg, W., and Jordan, P., 1926. Zur Quantenmechanik. II.. Z. Physik, 35, 557, https://link.springer.com/article/10.1007/bf01379806.

[8] Dirac, P., A., M., 1925. The fundamental equations of quantum mechanics. Proc. Roy. Soc., A109, 642, https://doi.org/10.1098/rspa.1925.0150.

[9] Pauli, W., 1926. Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik. Z. Physik, 36, 336, https://doi.org/10.1007/BF01450175.

[10] Schrödinger, E., 1926. Über das Verhältnis der Heisenberg Born Jordanischen Quantenmechanik zu der meinen. Ann. Physik, 79 (8), 734, https://doi.org/10.1002/andp.19263840804.

[11] De Broglie, L., 1925. Recherches sur la théorie des quanta (Researches on the quantum theory). Ann. Phys., 10 (3), 22-128, https://doi.org/10.1051/anphys/192510030022.

[12] Elsasser, W., 1925. Bemerkungen zur Quantenmechanik freier Elektronen. Naturwissenschaften 13, 711, https://doi.org/10.1007/BF01558853.

[13] Davisson, C., and Germer, L., H., 1927. Diffraction of Electrons by a Crystal of Nickel. Phys. Rev., 30, 707, https://doi.org/10.1103/PhysRev.30.705.

[14] Thomson, G., P., and Reid, A., 1927. Diffraction of Cathode Rays by a Thin Film. Nature, 119, 890, https://doi.org/10.1038/119890a0; Thomson, G., P., 1928 Experiments on the diffraction of cathode ray. Proc. Roy. Soc., A 117, 600, https://doi.org/10.1098/rspa.1928.0022.

[15] Schrödinger, E., 1952. Are there quantum jumps? Part II. Brit. J. Phil. Sci., 3, 109, 233, https://www.jstor.org/stable/685266.

[16] Born, M., and Wiener, N., 1926. Eine neue Formulierung der Quantengesetze für periodische und nicht periodische Vorgänge. Z. Physik, 36, 174, https://doi.org/10.1007/BF01382261.

[17] Born, M., 1926. Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge. Z. Physik, 37, 863-867, https://doi.org/10.1007/BF01397477; Göttinger Nachr. Math. Phys. Kl., 146.

[18] Wentzel, G., 1926. Zwei Bemerkungen über die Zerstreuung korpuskularer Strahlen als Beugungserscheinung. Z. Physik, 40, 590, https://doi.org/10.1007/BF01390457.

[19] Heisenberg, W., 1927. Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik. Z. Physik, 43, 172, http://dx.doi.org/10.1007/BF01397280.

[20] Faxén, H., and Holtsmark, J., 1927. Beitrag zur Theorie des Durchganges langsamer Elektronen durch Gase. Z. Physik, 45, 307, https://doi.org/10.1007/BF01343053.

[21] Bethe, H., A., 1930. On the Theory of the Passage of Fast Corpuscular Rays through Matter. Ann. Physik, 5, 325, https://doi.org/10.1002/andp.19303970303.

[22] Mott, N., F., 1929. The scattering of fast electrons by atomic nuclei. Proc. Roy. Soc.,A 124, 422, 425, http://dx.doi.org/10.1098/rspa.1929.0127; The Quantum Theory of electronic scattering by Helium. Proc. Cambridge Phil. Soc., 25, 304, https://doi.org/10.1017/S030500410001402X.

[23] Born, M., 1927. Das Adiabatenprinzip in der Quantenmechanik. Z. Physik, 40, 167, https://doi.org/10.1007/BF01400360; Born, M., and Fock, V., 1928. Beweis des Adiabatensatzes. Z. Physik 51, 165, https://doi.org/10.1007/BF01343193.

[24] Dirac, P., A., M., 1925. The fundamental equations of quantum mechanics. Proc. Roy. Soc., A 109, 642, https://doi.org/10.1098/rspa.1925.0150; 1926. Quantum mechanics and a preliminary investigation of the hydrogen atom, 110, 561, https://doi.org/10.1098/rspa.1926.0034; 1926. The elimination of the nodes in quantum mechanics, 111, 281, https://doi.org/10.1098/rspa.1926.0068; 1926. On the theory of quantum mechanics, 112, 674, https://doi.org/10.1098/rspa.1926.0133.

[25] Bohr, N., 1928. Das Quantenpostulat und die neuere Entwicklung der Atomistik. Naturwissenschaften, 16, 245, https://doi.org/10.1007/BF01504968; 1936. Kausalität und Komplementarität» (Causality and Complementarity), Die Erkenntnis, 6, 293, https://www.jstor.org/stable/20011824.

[26] Born, N., 1953. Physical Reality. Phil. Quart., 3, 134, https://doi.org/10.2307/2216882; 1954, Physik. Bl., I0, 49.