Αρχή σοφίας ονομάτων επίσκεψις: Μετάθεση (Commutation) και Αντιμετάθεση (Anticommutation)

Χρόνος Ανάγνωσης 6 Λεπτά

Στο άρθρο αυτό δείχνουμε τις συνέπειες της λανθασμένης χρήσης όρων στην επιστήμη μέσα από ένα παράδειγμα χρήσης μαθηματικών εννοιών στη κβαντική φυσική. Εξηγούμε τις έννοιες μετάθεση και αντιμετάθεση, πώς αυτές σχετίζονται με τις δύο βασικές κατηγορίες κβαντικών σωματιδίων, τα μποζόνια και τα φερμιόνια, αλλά και από σημειολογική και γλωσσική άποψη.

Το άρθρο αυτό αφορά ένα κυριολεκτικά σημειολογικό, εννοιολογικό και γλωσσικό λάθος, το οποίο γίνεται στα βιβλία μαθηματικών της πρωτοβάθμιας, δευτεροβάθμιας αλλά και (εν μέρει) τριτοβάθμιας εκπαιδεύσεως. Θα προσπαθήσω, λοιπόν, να εξηγήσω γιατί είναι παραπλανητική και γλωσσικά λανθασμένη η χρήση του όρου «αντιμεταθετική ιδιότητα» στα «ελληνικά» για την ιδιότητα

$\begin{equation*} A \quad \textrm{(πράξη)} \quad B \quad = \quad B \quad \textrm{(πράξη)} \quad A, \end{equation*}$

ενώ, το σωστό είναι μεταθετική ιδιότητα. Παρακάτω, για απλότητα παραλείπουμε το «(πράξη)», δηλαδή όταν γράφουμε $AB$ θα εννοούμε $A$ (πράξη) $B$ . Η πράξη μπορεί να είναι στις απλούστερες περιπτώσεις πρόσθεση ή πολλαπλασιασμός αριθμών ή πινάκων, αλλά μπορεί να είναι και οποιαδήποτε «εξωτική»πράξη. Έγραψα τη λέξη «ελληνικά» εντός εισαγωγικών για να τονίσω πως πρόκειται για ατυχή ελληνικά. Συνοπτικά, χαθήκαμε στη μετάφραση κάποιες γενεές πριν, όταν το επίπεδο γνώσεως της αγγλικής ήταν στην Ελλάδα χαμηλότερο, αλλά επίσης χαμηλότερο ήταν και το επίπεδο της ελληνικής μαθηματικής παιδείας και έρευνας, όπως και της φυσικής παιδείας και έρευνας, ιδιαίτερα στη κβαντική μηχανική και στη γραμμική άλγεβρα. Είναι λυπηρό να συνεχίζεται, από τη δύναμη της αδράνειας, της συνήθειας, ένα τέτοιο λάθος. Εξηγούμαι: Δυστυχώς στην ελληνική κατώτερη, μέση, αλλά και εν μέρει ανώτερη εκπαίδευση, συνεχίζουμε να διδάσκουμε, ατυχώς, τη μεταθετική ιδιότητα ως «αντιμεταθετική». Είναι καιρός να αλλάξει επιτέλους.

Ας πούμε, λοιπόν, μερικά λόγια για τη μετάθεση (commutation) και την αντιμετάθεση (anticommutation). Οι αναγνώστες-στριες μπορούν να κοιτάξουν, φερειπείν, τις πηγές (Dirac, 1998), (Gilmore, 1974), (Schiff, 1968), (Mandel and Wolf, 1995), (Σιμσερίδης, 2015), (Σιμσερίδης, 2021), (Kryszewski, 2010), (McMillan, 1996), (Σιμσερίδης, 2022).

Ορίζονται λοιπόν τα εξής αντικείμενα, ο μεταθέτης (commutator):

$\left[A,B\right]{:=}AB-BA,$

και ο αντιμεταθέτης (anticommutator):

$\lbrace A,B\rbrace:=AB+BA$ .

Αν ο μεταθέτης μηδενίζεται, δηλαδή $\left[A,B\right]=0$ , τότε $AB=BA$ , δηλαδή τα αντικείμενα $A$ και $B$ μετατίθενται (commute), με άλλα λόγια, το $AB$ δεν διαφέρει από το $BA$ . Αυτό λέγεται διεθνώς μεταθετική ιδιότητα (commutative property).

Αν ο αντιμεταθέτης μηδενίζεται, δηλαδή $\lbrace A,B \rbrace=0$ , τότε $AB=-BA$ , δηλαδή τα αντικείμενα $A$ και $B$ αντιμετατίθενται (anticommute), με άλλα λόγια, το $AB$ είναι αντίθετο του $BA$ . Αυτό λέγεται διεθνώς αντιμεταθετική ιδιότητα (anticommutative property).

Η αναπαράσταση με τελεστές (operators) καταστροφής ή καταβιβάσεως (annihilation or lowering) και δημιουργίας ή αναβιβάσεως (creation or raising), δηλαδή με τελεστές κλίμακας (ladder operators) ονομάζεται στη φυσική δεύτερη κβάντωση (second quantization). Υπάρχουν δύο κύριες κατηγορίες κβαντικών σωματιδίων, τα μποζόνια (bosons) και τα φερμιόνια (fermions). Έτσι, τα μποζόνια (bosons), όπως είναι τα φωτόνια (photons), μετατίθενται (commute), δηλαδή οι τελεστές οι οποίοι περιγράφουν καταστροφή και δημιουργία μποζονίων ακολουθούν σχέσεις μεταθέσεως, με αντικείμενα $[,]$ , ενώ τα φερμιόνια (fermions), όπως είναι τα ηλεκτρόνια (electrons), αντιμετατίθενται (anticommute), δηλαδή οι τελεστές οι οποίοι περιγράφουν καταστροφή και δημιουργία φερμιονίων ακολουθούν σχέσεις αντιμεταθέσεως, με αντικείμενα $\lbrace , \rbrace$ . Συνοψίζοντας, στη θεωρητική φυσική (κβαντική μηχανική, στατιστική φυσική), μεταξύ άλλων, ασχολούμαστε με μποζόνια, φερμιόνια, μεταθέσεις, αντιμεταθέσεις, τελεστές κλίμακας και δεύτερη κβάντωση. Μας ενδιαφέρουν:

ο μεταθέτης (commutator), $\left[A,B\right]=AB-BA$ και
ο αντιμεταθέτης (anticommutator) , $\lbrace A,B \rbrace=AB+BA.$
Αν μηδενίζεται ο μεταθέτης, $AB=BA,$
έχουμε τη μεταθετική ιδιότητα (commutative property).
Αν μηδενίζεται ο αντιμεταθέτης, $AB=-BA,$
έχουμε την αντιμεταθετική ιδιότητα (anticommutative property).

Ας περιγράψουμε, εν τάχει, τις σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων και τις σχέσεις αντιμεταθέσεως φερμιονίων.

Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων (π.χ. φωτονίων): Αν ονομάσουμε ${\hat{a}}_m$ τον τελεστή καταστροφής (annihilation operator) μποζονίων και ${\hat{a}}_m^\dag$ τον τελεστή δημιουργίας μποζονίων στην κατάσταση ή τρόπο $m,$ όπου $\hbar\omega_m$ είναι η ενέργεια του δημιουργούμενου ή καταστρεφόμενου μποζονίου, τότε για τα μποζόνια ισχύουν οι σχέσεις μεταθέσεως (commutation relations):

$\begin{matrix}&\left[{\hat{a}}_m,{\hat{a}}_\ell^\dag\right]=\delta_{ml}\\&\left[{\hat{a}}_m,{\hat{a}}_\ell\right]=0\\&\left[{\hat{a}}_m^\dag,{\hat{a}}_\ell^\dag\right]=0\\\end{matrix}$

Εδώ $\delta_{ml}=0$ όταν $m\neq l$ και $\delta_{ml}=1$ όταν $m=l$ . Όταν $\left[A,B\right]=0\Rightarrow AB-BA=0\Rightarrow AB=BA$ , δηλαδή, οι ποσότητες $A$ και $B$ μετατίθενται, πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας. Ταυτοχρόνως, ο ${\hat{a}}_m^\dag$ μπορεί να ονομαστεί τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζει την ενέργεια κατά $\hbar\omega_m$ , ο ${\hat{a}}_m$ μπορεί να ονομαστεί τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) διότι καταβιβάζει την ενέργεια κατά $\hbar\omega_m$ και επομένως, αφού πρόκειται για μία σκάλα (κλίμακα) αναβιβάσεων και καταβιβάσεων, οι τελεστές ${\hat{a}}_m$ , ${\hat{a}}_m^\dag$ ονομάζονται τελεστές κλίμακας (ladder operators).
Σχέσεις αντιμεταθέσεως φερμιονίων (π.χ. ηλεκτρονίων): Αν ονομάσουμε $\hat{\textlatin{a}}_i$ τον τελεστή καταστροφής (annihilation operator) φερμιονίων και $\hat{\textlatin{a}}_i^\dagger$ τον τελεστή δημιουργίας (creation operator) φερμιονίων στην κατάσταση $i$ , όπου $\hbar\mathrm{\Omega}_i$ είναι η ενέργεια του δημιουργούμενου ή καταστρεφόμενου φερμιονίου, τότε για τα φερμιόνια ισχύουν οι σχέσεις αντιμεταθέσεως:

$\begin{aligned} &\lbrace \hat{\textlatin{a}}_i,\hat{\textlatin{a}}_j^\dagger \rbrace = \delta_{ij} \\ &\lbrace \hat{\textlatin{a}}_i ,\hat{\textlatin{a}}_j \rbrace = 0 \\ &\lbrace \hat{\textlatin{a}}_i^\dagger ,\hat{\textlatin{a}}_j^\dagger \rbrace =0 \end{aligned}$

Εδώ $\delta_{ij}=0$ όταν $i\neq j$ και $\delta_{ij}=1$ όταν $i=j$ . Όταν $\lbrace A,B \rbrace =0\Rightarrow AB+BA=0\Rightarrow AB=-BA$ , δηλαδή οι ποσότητες $A$ , $B$ αντιμετατίθενται [υπάρχει ένα «πλην», δηλόν αντίθεση…] πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας. Ίσως οι αλλοδαποί φιλέλληνες που χρησιμοποιήσαν τη λέξη anticommutation ήξεραν καλύτερα ελληνικά από τους εν Ελλάδι μεταφραστές. Ταυτοχρόνως, ο $\hat{\textlatin{a}}_i^\dagger$ μπορεί να ονομαστεί τελεστής αναβιβάσεως διότι αναβιβάζει την ενέργεια κατά $\hbar\mathrm{\Omega}_i$ , , ο $\hat{\textlatin{a}}_i$ μπορεί να ονομαστεί τελεστής καταβιβάσεως διότι καταβιβάζει την ενέργεια κατά $\hbar\mathrm{\Omega}_i$ και επομένως αφού πρόκειται για μία σκάλα (κλίμακα) αναβιβάσεων και καταβιβάσεων, οι τελεστές $\hat{\textlatin{a}}_i$ , $\hat{\textlatin{a}}_i^\dagger$ ονομάζονται κι αυτοί τελεστές κλίμακας. Ας σημειωθεί πως αν εφαρμόσουμε τη σχέση $\lbrace \hat{\textlatin{a}}_i^\dagger ,\hat{\textlatin{a}}_j^\dagger \rbrace = 0$ για την ίδια κατάσταση, π.χ. θέτοντας $i=j=r$ , έχουμε $\lbrace \hat{\textlatin{a}}_r^\dagger ,\hat{\textlatin{a}}_r^\dagger \rbrace = 0 \Rightarrow \hat{\textlatin{a}}_r^\dagger \hat{\textlatin{a}}_r^\dagger = 0$ , το οποίο σημαίνει ότι δεν μπορούμε να βάλουμε δύο φερμιόνια στην ίδια κατάσταση, πράγμα που είναι η απαγορευτική αρχή Pauli.

Να σημειωθεί ακόμα πως στα ελληνικά μεταφράζεται συχνά η λέξη permutation = rearrangement of a sequence ως «μετάθεση». Είναι και αυτή ατυχής μετάφραση, θα έπρεπε να λέγεται αναδιάταξη. Αλλά, ούτως ή άλλως αυτό αφορά άλλη περιοχή των μαθηματικών, δηλαδή τις πιθανότητες.

Επίλογος

Συνοψίζοντας, στη γραμμική άλγεβρα καθώς και στις εφαρμογές της στην κβαντική μηχανική, ορίζεται ο τελεστής αναβιβάσεως (raising operator), ο οποίος αυξάνει την ιδιοτιμή ενός άλλου τελεστή και ο τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator), ο οποίος μειώνει την ιδιοτιμή ενός άλλου τελεστή. Αυτοί συλλογικά ονομάζονται τελεστές κλίμακας (ladder operators). Στην κβαντομηχανική, ο τελεστής αναβιβάσεως καλείται συχνά τελεστής δημιουργίας (creation operator), και ο τελεστής καταβιβάσεως καλείται συχνά τελεστής καταστροφής (annihilation operator). Γνωστές εφαρμογές των τελεστών κλίμακας είναι στον απλό αρμονικό ταλαντωτή και στη στροφορμή. Σε πολλές περιοχές της φυσικής και της χημείας η χρήση αυτών των τελεστών αντί κυματοσυναρτήσεων είναι γνωστή ως δεύτερη κβάντωση (second quantization).

Συμπερασματικά, πέρα από τα μαθηματικά αυτά καθ’ εαυτά, οι έννοιες αυτές έχουν και θεμελιώδεις συνέπειες στη φυσική. Όπως είπαμε, η αναπαράσταση με τελεστές (operators) καταστροφής ή καταβιβάσεως (annihilation or lowering) και δημιουργίας ή αναβιβάσεως (creation or raising), δηλαδή με τελεστές κλίμακας (ladder operators) ονομάζεται στη φυσική δεύτερη κβάντωση (second quantization). Έτσι, τα μποζόνια (bosons) όπως είναι τα φωτόνια (photons) μετατίθενται (commute), δηλαδή οι τελεστές, οι οποίοι περιγράφουν καταστροφή και δημιουργία μποζονίων ακολουθούν σχέσεις μεταθέσεως, με αντικείμενα $[,]$ , ενώ, τα φερμιόνια (fermions) όπως είναι τα ηλεκτρόνια (electrons) αντιμετατίθενται (anticommute), δηλαδή οι τελεστές, οι οποίοι περιγράφουν καταστροφή και δημιουργία φερμιονίων ακολουθούν σχέσεις αντιμεταθέσεως, με αντικείμενα $\lbrace , \rbrace$ .

Για περαιτέρω μελέτη, οι αναγνώστες-στριες μπορούν να συμβουλευτούν, επί παραδείγματι, τις πηγές (Dirac, 1998), (Gilmore, 1974), (Schiff, 1968), (Mandel and Wolf, 1995), (Σιμσερίδης, 2015), (Σιμσερίδης, 2021), (Kryszewski, 2010), (McMillan, 1996), (Σιμσερίδης, 2022).

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Σιμσερίδης, Κ., 2015. Κβαντική Οπτική και Lasers. ISBN 9789606030734.Αθήνα: Κάλλιπος, Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών Βιβλιοθηκών. http://hdl.handle.net/11419/2108

Σιμσερίδης, Κ., 2021. Νεότερες Σημειώσεις του μαθήματος Κβαντική Οπτική και Lasers. Αθήνα: Τμήμα Φυσικής, Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών https://eclass.uoa.gr/courses/PHYS107/

Σιμσερίδης, Κ., 2022. Κβαντική Οπτική. Αθήνα: Κάλλιπος, Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών Βιβλιοθηκών, υπό ετοιμασία.

Dirac, P. A. M., 1998. The Principles of Quantum Mechanics. ISBN 019852015, 4th edition. Oxford: Clarendon Press.

Gilmore, R., 1974. Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Applications. ISBN 0471301795. New York: John Wiley & Sons.

Schiff, L., 1968. Quantum Mechanics ISBN 007Y856435, 3rd edition. Singapore: McGraw-Hill.

Mandel, L. and Wolf, E., 1995. Optical Coherence and Quantum Optics. ISBN 0521417112. Cambridge, USA: Cambridge University Press.

Kryszewski, S., 2010. Quantum Optics Lecture notes for students. Gdańsk, Poland: Institute of Theoretical Physics and Astrophysics University of Gdańsk.

McMillan, M., 1996. Quantum Leaps and Bounds. Vancouver, Canada: Department of Physics, The University of British Columbia.

Tags:

Αρχή σοφίας ονομάτων επίσκεψις:
Μετάθεση (Commutation) και
Αντιμετάθεση (Anticommutation)

Tags:

Κώστας Σιμσερίδης

Previous PostΜΕΤΑΒΟΛΩΜΑ ΚΑΙ ΜΙΚΡΟΒΙΩΜΑ Η εξατομικευμένη ιατρική από το έμβρυο έως τον ενήλικα

Next PostΚΒΑΝΤΙΚΑ ΑΕΡΙΑ ΑΤΟΜΩΝ (ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ): Από τη θεωρητική σύλληψη στην πειραματική επιβεβαίωση.

Leave a Reply Cancel Reply

Νεότερα αρθρα

Θεματικές Ενότητες

Αρχή σοφίας ονομάτων επίσκεψις: Μετάθεση (Commutation) και Αντιμετάθεση (Anticommutation)

Tags:

Κώστας Σιμσερίδης

Previous PostΜΕΤΑΒΟΛΩΜΑ ΚΑΙ ΜΙΚΡΟΒΙΩΜΑ Η εξατομικευμένη ιατρική από το έμβρυο έως τον ενήλικα

Next PostΚΒΑΝΤΙΚΑ ΑΕΡΙΑ ΑΤΟΜΩΝ (ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ): Από τη θεωρητική σύλληψη στην πειραματική επιβεβαίωση.

Recommended For You

ΤΑ ΑΝΟΙΧΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΝΗΠΙΑ – Λογική, μαθηματική και κριτική σκέψη

ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑΣ

Leave a Reply Cancel Reply

Νεότερα αρθρα

Θεματικές Ενότητες

Αρχή σοφίας ονομάτων επίσκεψις:
Μετάθεση (Commutation) και
Αντιμετάθεση (Anticommutation)